"Sferopłatki"

W ostatnim filmiku

żartowałam o zginaniu i cięciu

sfer zamiast papieru.

Potem pomyślałam,
dlaczego nie?

Skończone grupy symetrii

w przestrzeni euklidesowej są fajne.

Ale tak naprawdę są tylko dwa typy:

pewna ilość osi symetrii

wokół punktu
i pewna ilość obrotów wokół punktu.

Sferyczne wzorki są dużo bardziej fajne.

I ja stałam się ogromną fanką

tych pewnych grup symetrii
-może właśnie troszeczkę.

Chociaż płatki śniegu

są właśnie trójwymiarowe.

Ten płatek śniegu nie tylko ma osie

symetrii, ale

także płaszczyzny symetrii.

A tu jest jedna więcej
płaszczyzna symetrii,

idzie ona prosto przez płatek,
ponieważ jedna strona

papieru jest odbiciem drugiej.

Wyobraź sobie, że ten płatek

zawieszamy
w tej sferze

więc możemy narysować
oś symetrii dużo łatwiej.

Teraz, ta sfera
ma takie same symetrie, jak

ten 3D płatek.

Jeśli studiujesz teorię grup,
możesz określić to

mianem materiału z teorii grup,
lub jakkolwiek.

Zamierzam zgiąć tą sferę

na tych liniach

i przeciąć je, co da mi

coś z taką samą symetrią,

jak symetria płatka -oprócz tej sfery.

Co za mętlik.

Więc sklejmy to do innej sfery.

Teraz jest to perfekcyjne
i piękne, na każdy sposób.

Ale ten punkt jest równoważny
temu płatkowi

tak długo, jak zachowujemy symetrię.

Okej, więc to jest regularny,
stary płatek z 6 płaszczyznami symetrii.

Ale, ja zobaczyłam obraz z płatkiem,
który ma 12 płaszczyzn symetrii.

Na czym to polega?

Czasami rzeczy układają się

dziwnie, na samym początku formowania

płatka, w zasadzie dwóch płatków,

na szczycie każdego z nich

-ale obróconego o 30 stopni,
jeśli myślisz o nich, jako

o rzeczach płaskich, to mają

12 osi symetrii.
Ale w 3D, to nie jest prawdą.

Warstwy sprawiają, że nie ma tu

płaszczyzny symetrii.

Zobacz. Część na lewo jest na górze.

A po odbiciu w lustrze

część na prawo
jest na górze. Więc to ta

sama symetria, jak u

zwykłego płatka
z 6 płaszczyznami symetrii.

Co z siódmą płaszczyzną symetrii?

Ale nie, przez tę płaszczyznę,

jedna strona nie odbija drugiej.

Tu nie ma dodatkowych
płaszczyzn symetrii.

Ale jest coś fajniejszego,

symetria po obrocie.
Jeśli obrócisz to

wokół tej linii, dostaniesz

tą samą rzecz -część na lewo

jest wciąż na górze.

Jeśli wyobrazisz sobie
to unoszące się na sferze,

możesz narysować osie symetrii,

a następnie masz 12 punktów

symetrii z obrotem.

Mogę to pozaginać, następnie rozłożyć to, mogę [niewyraźnie]

wokół punktu, wokoło którego obracamy.

I wyciąć każdy "sferopłatek"

z tą samą symetrią, jak to.

Doskonale. Możesz zgiąć sferę

w inny sposób, aby dostać inne wzorki.

Okej. Co myślisz o czymś

więcej, niż to?
Wszystko, co potrzebuję, aby rozgryźć

symetrie, to pozaginać to.

Powiedzmy, że mamy sześcian.

Jakie są płaszczyzny symetrii?

Jest symetria wokół tego,

i tego i tego.

Coś jeszcze?

A co po przekątnej, w ten sposób?

Ale na końcu,
mamy wszystkie linie zgięcia.

A teraz, potrzebujemy

zgiąć sferę wzdłuż tych linii,

aby dostać tylko jedną,
małą, trójkątną rzecz.

Zaraz, możemy to

rozgiąć, by dostać coś z taką samą

symetrią, jak symetria sześcianu.

Oczywiście musisz coś zrobić

z tetraedryczną symetrią,

tak długo, jak jesteś tutaj.

Pewnie chcesz zrobić

dwudziestościan foremny.

Ale plastik jest cienki, niedoskonały

i całkowicie nieuporządkowany.

Kto wie, jak to zrobić.

Ale przynajmniej możesz spróbować coś innego

z symetrią wokół punktu i z innymi rzeczami

i zrobić bałagan.

Wkrótce, gdy będziesz chciał zginać i ciąć

sam materiał, aby dostać wspaniałą

skończoną, trójwymiarową grupę symetrii,

taką, jak gdy obserwujemy pojedyncze cząsteczki wody,

które łączę się, w stałe kryształki lodu.

Wcześniej wiedziałeś to,

że będziesz bawił się z wielowymiarowymi

kwazikryształami,

lub algebrą Liego, lub czymś.

Zatem, powinieneś pewnie już przestać to robić.