W ostatnim filmiku
żartowałam o zginaniu i cięciu
sfer zamiast papieru.
Potem pomyślałam, dlaczego nie?
Skończone grupy symetrii
w przestrzeni euklidesowej są fajne.
Ale tak naprawdę są tylko dwa typy:
pewna ilość osi symetrii
wokół punktu i pewna ilość obrotów wokół punktu.
Sferyczne wzorki są dużo bardziej fajne.
I ja stałam się ogromną fanką
tych pewnych grup symetrii -może właśnie troszeczkę.
Chociaż płatki śniegu
są właśnie trójwymiarowe.
Ten płatek śniegu nie tylko ma osie
symetrii, ale
także płaszczyzny symetrii.
A tu jest jedna więcej płaszczyzna symetrii,
idzie ona prosto przez płatek, ponieważ jedna strona
papieru jest odbiciem drugiej.
Wyobraź sobie, że ten płatek
zawieszamy w tej sferze
więc możemy narysować oś symetrii dużo łatwiej.
Teraz, ta sfera ma takie same symetrie, jak
ten 3D płatek.
Jeśli studiujesz teorię grup, możesz określić to
mianem materiału z teorii grup, lub jakkolwiek.
Zamierzam zgiąć tą sferę
na tych liniach
i przeciąć je, co da mi
coś z taką samą symetrią,
jak symetria płatka -oprócz tej sfery.
Co za mętlik.
Więc sklejmy to do innej sfery.
Teraz jest to perfekcyjne i piękne, na każdy sposób.
Ale ten punkt jest równoważny temu płatkowi
tak długo, jak zachowujemy symetrię.
Okej, więc to jest regularny, stary płatek z 6 płaszczyznami symetrii.
Ale, ja zobaczyłam obraz z płatkiem, który ma 12 płaszczyzn symetrii.
Na czym to polega?
Czasami rzeczy układają się
dziwnie, na samym początku formowania
płatka, w zasadzie dwóch płatków,
na szczycie każdego z nich
-ale obróconego o 30 stopni, jeśli myślisz o nich, jako
o rzeczach płaskich, to mają
12 osi symetrii. Ale w 3D, to nie jest prawdą.
Warstwy sprawiają, że nie ma tu
płaszczyzny symetrii.
Zobacz. Część na lewo jest na górze.
A po odbiciu w lustrze
część na prawo jest na górze. Więc to ta
sama symetria, jak u
zwykłego płatka z 6 płaszczyznami symetrii.
Co z siódmą płaszczyzną symetrii?
Ale nie, przez tę płaszczyznę,
jedna strona nie odbija drugiej.
Tu nie ma dodatkowych płaszczyzn symetrii.
Ale jest coś fajniejszego,
symetria po obrocie. Jeśli obrócisz to
wokół tej linii, dostaniesz
tą samą rzecz -część na lewo
jest wciąż na górze.
Jeśli wyobrazisz sobie to unoszące się na sferze,
możesz narysować osie symetrii,
a następnie masz 12 punktów
symetrii z obrotem.
Mogę to pozaginać, następnie rozłożyć to, mogę [niewyraźnie]
wokół punktu, wokoło którego obracamy.
I wyciąć każdy "sferopłatek"
z tą samą symetrią, jak to.
Doskonale. Możesz zgiąć sferę
w inny sposób, aby dostać inne wzorki.
Okej. Co myślisz o czymś
więcej, niż to? Wszystko, co potrzebuję, aby rozgryźć
symetrie, to pozaginać to.
Powiedzmy, że mamy sześcian.
Jakie są płaszczyzny symetrii?
Jest symetria wokół tego,
i tego i tego.
Coś jeszcze?
A co po przekątnej, w ten sposób?
Ale na końcu, mamy wszystkie linie zgięcia.
A teraz, potrzebujemy
zgiąć sferę wzdłuż tych linii,
aby dostać tylko jedną, małą, trójkątną rzecz.
Zaraz, możemy to
rozgiąć, by dostać coś z taką samą
symetrią, jak symetria sześcianu.
Oczywiście musisz coś zrobić
z tetraedryczną symetrią,
tak długo, jak jesteś tutaj.
Pewnie chcesz zrobić
dwudziestościan foremny.
Ale plastik jest cienki, niedoskonały
i całkowicie nieuporządkowany.
Kto wie, jak to zrobić.
Ale przynajmniej możesz spróbować coś innego
z symetrią wokół punktu i z innymi rzeczami
i zrobić bałagan.
Wkrótce, gdy będziesz chciał zginać i ciąć
sam materiał, aby dostać wspaniałą
skończoną, trójwymiarową grupę symetrii,
taką, jak gdy obserwujemy pojedyncze cząsteczki wody,
które łączę się, w stałe kryształki lodu.
Wcześniej wiedziałeś to,
że będziesz bawił się z wielowymiarowymi
kwazikryształami,
lub algebrą Liego, lub czymś.
Zatem, powinieneś pewnie już przestać to robić.