Qu'est-ce qu'un vecteur ? - David Huynh

Leçon complète : http://ed.ted.com/lessons/what-is-a-vector-david-huynh

Les physiciens, les contrôleurs aériens et les créateurs de jeux vidéo ont tous au moins une chose en commun : les vecteurs. Que sont-il exactement et pourquoi sont-ils importants ? David Huynh explique comment les vecteurs sont un bon exemple de l'élégance, la beauté et l'utilité fondamentale des mathématiques.

Leçon de David Huynh, animation d'Anton Trofimov.

Les physiciens,

les contrôleurs aériens

et les créateurs de jeux vidéo

ont tous au moins une chose en commun :

les vecteurs.

Que sont-ils exactement,
et pourquoi sont-ils importants ?

Pour répondre, nous avons d'abord besoin
de comprendre les scalaires.

Un scalaire est une quantité
ayant une grandeur.

Il nous donne la quantité d'une chose.

La distance entre vous et un banc,

le volume et la température
de la boisson dans votre tasse

sont tous décrits par scalaires.

Les quantités vectorielles ont aussi
une grandeur plus une autre information :

une direction.

Pour naviguer jusqu'au banc,

vous devez savoir à quelle distance il est
et dans quelle direction,

pas seulement la distance
mais le déplacement.

Ce qui rend les vecteurs spéciaux
et utiles dans tous genres de domaines

est qu'ils ne changent pas
selon la perspective

mais demeurent invariants
dans tous les systèmes de coordonnées.

Qu'est-ce que cela signifie ?

Disons que vous et un ami
déplaciez votre tente.

Vous êtes à des côtés opposés
et faites face à des directions opposées.

Votre ami fait deux pas sur la droite
et trois pas en avant

alors que vous faites deux pas à gauche
et trois pas en arrière.

Bien qu'il semble
que vous bougiez différemment,

vous bougez tous les deux
de la même distance dans la même direction

selon le même vecteur.

Peu importe vers où vous regardez

ou quel système de coordonnées
vous placez sur le terrain,

le vecteur ne change pas.

Utilisons le système
des coordonnées cartésiennes

avec ses axes x et y.

Nous appelons ces deux directions
notre base de coordonnées

car elles servent à décrire
tout ce que nous traçons.

Disons que la tente commence à l'origine
et finit à un point B.

La flèche directe
connectant ces deux points

est un vecteur de l'origine à B.

Quand votre ami pense
à vers où il doit se déplacer,

on peut l'écrire
mathématiquement : 2x + 3y

ou, comme ceci, ce qui est un tableau.

Regardant dans l'autre direction,

votre base de coordonnées
pointe dans des directions opposées,

que nous pouvons appeler
x prime et y prime,

et votre mouvement peut être écrit ainsi

ou avec ce tableau.

Si nous regardons les deux tableaux,
ce ne sont pas les mêmes,

mais un tableau seul
ne décrit pas complètement un vecteur.

Chacun a besoin d'une base
pour le replacer dans son contexte,

en les assignant correctement,

nous voyons qu'en fait
ils décrivent le même vecteur.

Vous pouvez voir les éléments
du tableau comme différentes lettres.

De la même manière qu'une séquence
de lettres ne devient un mot

que dans le contexte
d'un langage particulier,

un tableau ne prend son sens de vecteur
qu'assigné à une base de coordonnées.

Comme différents mots dans deux langages
peuvent transmettre une même idée,

différentes représentations de deux bases
peuvent décrire le même vecteur.

Le vecteur est l'essence
de ce qui est communiqué,

peu importe le langage
utilisé pour le décrire.

Les scalaires partagent cette propriété
d'invariance selon les coordonnées.

Toutes les quantités ayant cette propriété
font partie du groupe des tenseurs.

Divers types de tenseurs contiennent
différentes quantités d'information.

Y a-t-il quelque chose pouvant transmettre
plus d'information que les vecteurs ?

Absolument.

Si vous concevez un jeu vidéo,

vous voulez un modèle réaliste
du comportement de l'eau.

Même si vous avez des forces agissant
dans la même direction

et avec la même magnitude,

selon leur orientation,
vous voyez des vagues ou des tourbillons.

Quand une force, un vecteur, est combinée
à un autre vecteur ayant une orientation,

nous avons une grandeur physique
appelée stress,

c'est un exemple
de tenseur du second ordre.

Ces tenseurs sont aussi utilisés
à d'autres fins que les jeux vidéo,

comme des simulations scientifiques,

la conception de voitures

et l'imagerie cérébrale.

Les scalaires, les vecteurs
et la famille des tenseurs

nous offrent une façon relativement simple

de donner du sens à des idées
et des interactions complexes.

En tant que tels, ils sont un bon exemple
de l'élégance, la beauté

et de l'utilité fondamentale
des mathématiques.