Les physiciens,
les contrôleurs aériens
et les créateurs de jeux vidéo
ont tous au moins une chose en commun :
les vecteurs.
Que sont-ils exactement, et pourquoi sont-ils importants ?
Pour répondre, nous avons d'abord besoin de comprendre les scalaires.
Un scalaire est une quantité ayant une grandeur.
Il nous donne la quantité d'une chose.
La distance entre vous et un banc,
le volume et la température de la boisson dans votre tasse
sont tous décrits par scalaires.
Les quantités vectorielles ont aussi une grandeur plus une autre information :
une direction.
Pour naviguer jusqu'au banc,
vous devez savoir à quelle distance il est et dans quelle direction,
pas seulement la distance mais le déplacement.
Ce qui rend les vecteurs spéciaux et utiles dans tous genres de domaines
est qu'ils ne changent pas selon la perspective
mais demeurent invariants dans tous les systèmes de coordonnées.
Qu'est-ce que cela signifie ?
Disons que vous et un ami déplaciez votre tente.
Vous êtes à des côtés opposés et faites face à des directions opposées.
Votre ami fait deux pas sur la droite et trois pas en avant
alors que vous faites deux pas à gauche et trois pas en arrière.
Bien qu'il semble que vous bougiez différemment,
vous bougez tous les deux de la même distance dans la même direction
selon le même vecteur.
Peu importe vers où vous regardez
ou quel système de coordonnées vous placez sur le terrain,
le vecteur ne change pas.
Utilisons le système des coordonnées cartésiennes
avec ses axes x et y.
Nous appelons ces deux directions notre base de coordonnées
car elles servent à décrire tout ce que nous traçons.
Disons que la tente commence à l'origine et finit à un point B.
La flèche directe connectant ces deux points
est un vecteur de l'origine à B.
Quand votre ami pense à vers où il doit se déplacer,
on peut l'écrire mathématiquement : 2x + 3y
ou, comme ceci, ce qui est un tableau.
Regardant dans l'autre direction,
votre base de coordonnées pointe dans des directions opposées,
que nous pouvons appeler x prime et y prime,
et votre mouvement peut être écrit ainsi
ou avec ce tableau.
Si nous regardons les deux tableaux, ce ne sont pas les mêmes,
mais un tableau seul ne décrit pas complètement un vecteur.
Chacun a besoin d'une base pour le replacer dans son contexte,
en les assignant correctement,
nous voyons qu'en fait ils décrivent le même vecteur.
Vous pouvez voir les éléments du tableau comme différentes lettres.
De la même manière qu'une séquence de lettres ne devient un mot
que dans le contexte d'un langage particulier,
un tableau ne prend son sens de vecteur qu'assigné à une base de coordonnées.
Comme différents mots dans deux langages peuvent transmettre une même idée,
différentes représentations de deux bases peuvent décrire le même vecteur.
Le vecteur est l'essence de ce qui est communiqué,
peu importe le langage utilisé pour le décrire.
Les scalaires partagent cette propriété d'invariance selon les coordonnées.
Toutes les quantités ayant cette propriété font partie du groupe des tenseurs.
Divers types de tenseurs contiennent différentes quantités d'information.
Y a-t-il quelque chose pouvant transmettre plus d'information que les vecteurs ?
Absolument.
Si vous concevez un jeu vidéo,
vous voulez un modèle réaliste du comportement de l'eau.
Même si vous avez des forces agissant dans la même direction
et avec la même magnitude,
selon leur orientation, vous voyez des vagues ou des tourbillons.
Quand une force, un vecteur, est combinée à un autre vecteur ayant une orientation,
nous avons une grandeur physique appelée stress,
c'est un exemple de tenseur du second ordre.
Ces tenseurs sont aussi utilisés à d'autres fins que les jeux vidéo,
comme des simulations scientifiques,
la conception de voitures
et l'imagerie cérébrale.
Les scalaires, les vecteurs et la famille des tenseurs
nous offrent une façon relativement simple
de donner du sens à des idées et des interactions complexes.
En tant que tels, ils sont un bon exemple de l'élégance, la beauté
et de l'utilité fondamentale des mathématiques.