Introdução à Teoria dos Grupos : Tocando o cubo de Rubik como um piano - Michael Staff
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0:06 - 0:09Como poderíamos tocar um cubo de Rubik?
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0:09 - 0:13Não brincar com ele,
mas tocá-lo como um piano? -
0:13 - 0:16Essa pergunta parece não fazer
muito sentido, -
0:16 - 0:20mas uma área da matemática abstrata
chamada teoria de grupo tem a resposta. -
0:20 - 0:22Então vamos lá.
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0:22 - 0:26Na matemática, um grupo é
uma coleção especial de elementos. -
0:26 - 0:29Pode ser um conjunto de números inteiros,
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0:29 - 0:30a face de um cubo de Rubik,
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0:30 - 0:32ou qualquer coisa,
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0:32 - 0:36contanto que siga
quatro regras específicas, ou axiomas. -
0:36 - 0:38Axioma um:
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0:38 - 0:43todas as operações do grupo devem
ser restritas apenas a elementos do grupo. -
0:43 - 0:47Em nosso quadrado,
para qualquer operação que se faça, -
0:47 - 0:49como girar para um lado ou para o outro,
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0:49 - 0:52sempre resultará num elemento do grupo.
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0:52 - 0:53Axioma dois:
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0:53 - 0:58não importa onde colocamos os parênteses
ao fazer uma única operação de grupo, -
0:58 - 1:01pois isto não mudará o resultado.
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1:01 - 1:05Ou seja, se girarmos o quadrado
para a direita duas vezes, depois uma, -
1:05 - 1:08é o mesmo que girar uma vez, depois duas,
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1:08 - 1:13ou com números, 1 + 2
é o mesmo que 2 + 1. -
1:13 - 1:14Axioma três:
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1:14 - 1:18para toda operação, há um elemento
do grupo chamado de elemento neutro. -
1:18 - 1:21Quando o aplicamos
a qualquer outro elemento do grupo, -
1:21 - 1:23obtemos esse mesmo elemento.
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1:23 - 1:27Tanto para girar o quadrado
como para somar números inteiros, -
1:27 - 1:29o elemento neutro é o zero.
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1:29 - 1:32Nada muito emocionante.
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1:32 - 1:33Axioma quatro:
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1:33 - 1:38cada elemento do grupo tem um elemento
chamado inverso, também do grupo. -
1:38 - 1:42Quando os dois são juntados
usando operação de adição do grupo, -
1:42 - 1:45resultam no elemento neutro, zero,
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1:45 - 1:49é como se eles se cancelassem mutuamente.
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1:49 - 1:52Então tudo certo,
mas qual é o sentido disso tudo? -
1:52 - 1:55Bem, quando vamos além
dessas regras básicas, -
1:55 - 1:58algumas propriedades
interessantes emergem. -
1:58 - 2:03Por exemplo, vamo expandir nosso quadrado
de volta para um cubo de Rubik completo. -
2:03 - 2:07Isso ainda é um grupo
que satisfaz todos os nossos axiomas, -
2:07 - 2:10mesmo que agora
com muito mais elementos -
2:10 - 2:12e mais operações.
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2:12 - 2:16Podemos girar cada linha
e coluna de cada face. -
2:16 - 2:19Cada posição é chamada uma permutação,
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2:19 - 2:24e quanto mais elementos um grupo tem,
mais permutações possíveis existem. -
2:24 - 2:28Um cubo de Rubik tem mais
de 43 quintilhões de permutações, -
2:28 - 2:32então tentar resolver de forma aleatória
não vai funcionar muito bem. -
2:32 - 2:36No entanto, usando a teoria do grupo
podemos analisar o cubo -
2:36 - 2:41e determinar uma sequência de permutações
que vai resultar em uma solução. -
2:41 - 2:44Na verdade, é exatamente isso
o que a maioria dos solucionadores faz, -
2:44 - 2:49até mesmo usando notação
de teoria de grupo para indicar os giros. -
2:49 - 2:52E ela não serve só para resolver
quebra-cabeças. -
2:52 - 2:57A teoria de grupo está profundamente
enraizada na música também. -
2:57 - 3:01Uma forma de visualizar um acorde
é escrever as 12 notas musicais -
3:01 - 3:04e desenhar um quadrado dentro delas.
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3:04 - 3:08Podemos começar em qualquer nota,
mas vamos usar o Dó, que está no topo. -
3:08 - 3:12O acorde resultante é chamado
de uma sétima diminuta. -
3:12 - 3:17Esse acorde é um grupo
cujos elementos são essas quatro notas. -
3:17 - 3:22Uma operação que podemos fazer
é colocar a nota base no topo. -
3:22 - 3:24Na música isso se chama inversão,
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3:24 - 3:27é o equivalente da adição.
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3:27 - 3:30Cada inversão muda o som do acorde,
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3:30 - 3:34mas ele nunca deixa de ser
um Dó com sétima diminuta. -
3:34 - 3:37Em outras palavras,
ele satisfaz o axioma um. -
3:37 - 3:42Compositores usam inversões para manipular
uma seqüência de acordes -
3:42 - 3:50e evitar uma progressão
monótona e estranha -
3:51 - 3:55Numa partitura musical,
uma inversão parece com isso. -
3:55 - 4:00Mas também podemos colocá-la
em nosso quadrado e obter isso. -
4:00 - 4:04Então, se você cobrir
o cubo de Rubik inteiro com notas -
4:04 - 4:09de modo que cada face do cubo resolvido
formasse um acorde harmônico, -
4:09 - 4:13você poderia expressar a solução
como uma progressão de acordes -
4:13 - 4:17que se move gradualmente
da dissonância para a harmonia -
4:17 - 4:21e assim tocar o cubo de Rubik,
se é disso que gosta.
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- Introdução à Teoria dos Grupos : Tocando o cubo de Rubik como um piano - Michael Staff
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Veja a lição completa: http://ed.ted.com/lessons/group-theory-101-how-to-play-a-rubik-s-cube-like-a-piano-michael-staff
A matemática explica o funcionamento do universo, desde a física das partículas à engenharia e economia. A matemática é até mesmo intimamente ligada à música, e essas duas têm algo em comum com o cubo de Rubik. Michael Staff explica como a teoria de grupos pode nos ensinar a tocar o cubo de Rubik como se fosse um piano.
Lição de Michael Staff, animação de Shixie.
- Video Language:
- English
- Team:
- closed TED
- Project:
- TED-Ed
- Duration:
- 04:37