Como poderíamos tocar um cubo de Rubik?
Não brincar com ele, mas tocá-lo como um piano?
Essa pergunta parece não fazer muito sentido,
mas uma área da matemática abstrata chamada teoria de grupo tem a resposta.
Então vamos lá.
Na matemática, um grupo é uma coleção especial de elementos.
Pode ser um conjunto de números inteiros,
a face de um cubo de Rubik,
ou qualquer coisa,
contanto que siga quatro regras específicas, ou axiomas.
Axioma um:
todas as operações do grupo devem ser restritas apenas a elementos do grupo.
Em nosso quadrado, para qualquer operação que se faça,
como girar para um lado ou para o outro,
sempre resultará num elemento do grupo.
Axioma dois:
não importa onde colocamos os parênteses ao fazer uma única operação de grupo,
pois isto não mudará o resultado.
Ou seja, se girarmos o quadrado para a direita duas vezes, depois uma,
é o mesmo que girar uma vez, depois duas,
ou com números, 1 + 2 é o mesmo que 2 + 1.
Axioma três:
para toda operação, há um elemento do grupo chamado de elemento neutro.
Quando o aplicamos a qualquer outro elemento do grupo,
obtemos esse mesmo elemento.
Tanto para girar o quadrado como para somar números inteiros,
o elemento neutro é o zero.
Nada muito emocionante.
Axioma quatro:
cada elemento do grupo tem um elemento chamado inverso, também do grupo.
Quando os dois são juntados usando operação de adição do grupo,
resultam no elemento neutro, zero,
é como se eles se cancelassem mutuamente.
Então tudo certo, mas qual é o sentido disso tudo?
Bem, quando vamos além dessas regras básicas,
algumas propriedades interessantes emergem.
Por exemplo, vamo expandir nosso quadrado de volta para um cubo de Rubik completo.
Isso ainda é um grupo que satisfaz todos os nossos axiomas,
mesmo que agora com muito mais elementos
e mais operações.
Podemos girar cada linha e coluna de cada face.
Cada posição é chamada uma permutação,
e quanto mais elementos um grupo tem, mais permutações possíveis existem.
Um cubo de Rubik tem mais de 43 quintilhões de permutações,
então tentar resolver de forma aleatória não vai funcionar muito bem.
No entanto, usando a teoria do grupo podemos analisar o cubo
e determinar uma sequência de permutações que vai resultar em uma solução.
Na verdade, é exatamente isso o que a maioria dos solucionadores faz,
até mesmo usando notação de teoria de grupo para indicar os giros.
E ela não serve só para resolver quebra-cabeças.
A teoria de grupo está profundamente enraizada na música também.
Uma forma de visualizar um acorde é escrever as 12 notas musicais
e desenhar um quadrado dentro delas.
Podemos começar em qualquer nota, mas vamos usar o Dó, que está no topo.
O acorde resultante é chamado de uma sétima diminuta.
Esse acorde é um grupo cujos elementos são essas quatro notas.
Uma operação que podemos fazer é colocar a nota base no topo.
Na música isso se chama inversão,
é o equivalente da adição.
Cada inversão muda o som do acorde,
mas ele nunca deixa de ser um Dó com sétima diminuta.
Em outras palavras, ele satisfaz o axioma um.
Compositores usam inversões para manipular uma seqüência de acordes
e evitar uma progressão monótona e estranha
Numa partitura musical, uma inversão parece com isso.
Mas também podemos colocá-la em nosso quadrado e obter isso.
Então, se você cobrir o cubo de Rubik inteiro com notas
de modo que cada face do cubo resolvido formasse um acorde harmônico,
você poderia expressar a solução como uma progressão de acordes
que se move gradualmente da dissonância para a harmonia
e assim tocar o cubo de Rubik, se é disso que gosta.