Introdução à Teoria dos Grupos : Tocando o cubo de Rubik como um piano - Michael Staff

Veja a lição completa: http://ed.ted.com/lessons/group-theory-101-how-to-play-a-rubik-s-cube-like-a-piano-michael-staff

A matemática explica o funcionamento do universo, desde a física das partículas à engenharia e economia. A matemática é até mesmo intimamente ligada à música, e essas duas têm algo em comum com o cubo de Rubik. Michael Staff explica como a teoria de grupos pode nos ensinar a tocar o cubo de Rubik como se fosse um piano.

Lição de Michael Staff, animação de Shixie.

Como poderíamos tocar um cubo de Rubik?

Não brincar com ele,
mas tocá-lo como um piano?

Essa pergunta parece não fazer
muito sentido,

mas uma área da matemática abstrata
chamada teoria de grupo tem a resposta.

Então vamos lá.

Na matemática, um grupo é
uma coleção especial de elementos.

Pode ser um conjunto de números inteiros,

a face de um cubo de Rubik,

ou qualquer coisa,

contanto que siga
quatro regras específicas, ou axiomas.

Axioma um:

todas as operações do grupo devem
ser restritas apenas a elementos do grupo.

Em nosso quadrado,
para qualquer operação que se faça,

como girar para um lado ou para o outro,

sempre resultará num elemento do grupo.

Axioma dois:

não importa onde colocamos os parênteses
ao fazer uma única operação de grupo,

pois isto não mudará o resultado.

Ou seja, se girarmos o quadrado
para a direita duas vezes, depois uma,

é o mesmo que girar uma vez, depois duas,

ou com números, 1 + 2
é o mesmo que 2 + 1.

Axioma três:

para toda operação, há um elemento
do grupo chamado de elemento neutro.

Quando o aplicamos
a qualquer outro elemento do grupo,

obtemos esse mesmo elemento.

Tanto para girar o quadrado
como para somar números inteiros,

o elemento neutro é o zero.

Nada muito emocionante.

Axioma quatro:

cada elemento do grupo tem um elemento
chamado inverso, também do grupo.

Quando os dois são juntados
usando operação de adição do grupo,

resultam no elemento neutro, zero,

é como se eles se cancelassem mutuamente.

Então tudo certo,
mas qual é o sentido disso tudo?

Bem, quando vamos além
dessas regras básicas,

algumas propriedades
interessantes emergem.

Por exemplo, vamo expandir nosso quadrado
de volta para um cubo de Rubik completo.

Isso ainda é um grupo
que satisfaz todos os nossos axiomas,

mesmo que agora
com muito mais elementos

e mais operações.

Podemos girar cada linha
e coluna de cada face.

Cada posição é chamada uma permutação,

e quanto mais elementos um grupo tem,
mais permutações possíveis existem.

Um cubo de Rubik tem mais
de 43 quintilhões de permutações,

então tentar resolver de forma aleatória
não vai funcionar muito bem.

No entanto, usando a teoria do grupo
podemos analisar o cubo

e determinar uma sequência de permutações
que vai resultar em uma solução.

Na verdade, é exatamente isso
o que a maioria dos solucionadores faz,

até mesmo usando notação
de teoria de grupo para indicar os giros.

E ela não serve só para resolver
quebra-cabeças.

A teoria de grupo está profundamente
enraizada na música também.

Uma forma de visualizar um acorde
é escrever as 12 notas musicais

e desenhar um quadrado dentro delas.

Podemos começar em qualquer nota,
mas vamos usar o Dó, que está no topo.

O acorde resultante é chamado
de uma sétima diminuta.

Esse acorde é um grupo
cujos elementos são essas quatro notas.

Uma operação que podemos fazer
é colocar a nota base no topo.

Na música isso se chama inversão,

é o equivalente da adição.

Cada inversão muda o som do acorde,

mas ele nunca deixa de ser
um Dó com sétima diminuta.

Em outras palavras,
ele satisfaz o axioma um.

Compositores usam inversões para manipular
uma seqüência de acordes

e evitar uma progressão
monótona e estranha

Numa partitura musical,
uma inversão parece com isso.

Mas também podemos colocá-la
em nosso quadrado e obter isso.

Então, se você cobrir
o cubo de Rubik inteiro com notas

de modo que cada face do cubo resolvido
formasse um acorde harmônico,

você poderia expressar a solução
como uma progressão de acordes

que se move gradualmente
da dissonância para a harmonia

e assim tocar o cubo de Rubik,
se é disso que gosta.