எண் தொகுதிகள் 2

எண் தொகுதிகள் எடுத்துக்காட்டுடன் விளக்கப்பட்டுள்ளது.

-

3.4028 மீள் தொடர் எண்

எந்த எண் தொகுதியை சார்ந்தது?

இதற்கு விடை அளிப்பதற்கு முன், இந்த எண்

எதைக் குறிக்கிறது எனப் பார்ப்போம்.

குறிப்பாக மேலே உள்ள இந்தக் கோட்டின் அர்த்தம் என்ன.

மேலே உள்ள கோடு, இந்த 28 முடியாமல்,

நீண்டு கொண்டே வரும் என்பதைக் குறிக்கிறது.

இந்த எண்ணை 3.4028 என்று வெளிப்படுத்தலாம்.

ஆனால் 28 முடியாமல் தொடர்ந்து வரும்.

மீண்டும் மீண்டும் வந்துகொண்டே இருக்கும்.

28 ஐ மீண்டும் மீண்டும் எழுதிக்கொண்டே போகலாம்.

அதைவிட, 28-ன் மேல் இப்படி ஒரு கோடு வரைந்தால்,

அது தொடர்ந்து கொண்டே இருக்கும் என அர்த்தம்.

இப்பொழுது இது, எந்த எண் தொகுதியை சேர்ந்தது என்று பார்ப்போம்.

நாம் பார்த்ததிலே பெரிய அளவு எண் தொகுதிகளை கொண்டது

மெய்யெண்கள் தான்.

இது, இந்த எண் மெய்யெண்கள் தொகுதியைச் சார்ந்தது.

மெய்யெண்களில் நமது அனைத்து எண் வரிசைகலும்

இதில் அடங்கும்.

3.4028 தொடரும் எண்ணும் இதில் தான் உள்ளது.

இது எதிர்மறை 1. இது 0,1,2,3,4,

3.4028 இங்கு 3.4 க்கு சற்று அதிகமாக இருக்கும்.

3.41 க்கு சற்று குறைவாக இருக்கும்.

இது இந்த இடத்தில் இருக்கும்.

எனவே இது கண்டிப்பாக எண் கோட்டில் வருகிறது.

இது ஒரு மெய்யெண்.

இந்த எண் கண்டிப்பாக

ஒரு மெய் எண்ணாக இருக்கும்.

ஆனால், நாம் தெரிந்து கொள்ள வேண்டியது,

இது ஒரு விகிதமுறு எண்ணா என்று தான்.

விகிதமுறு எண் என்பதன் பொருள்,

விகிதமாகவோ அல்லது பின்னமாகவோ பிரிக்க முடிந்தது.

p என்பது விகிதமுறு எண்ணாக இருந்தால்,

அது இரண்டு முழு எண்களின் விகிதமாக இருக்க வேண்டும்.

அப்படியென்றால், p என்பது

m/n, ஆகிய இரண்டு எண்களின் விகிதமாக இருக்க வேண்டும்.

இந்த 2 முழு எண்களை நான் இப்போது விகிதத்தில் கூறமுடியுமா?

என்பதுதான் நமது கேள்வி.

வேறு வழியில் இதை யோசிக்கிறேன்.

இதை நாம் பின்னமாக மாற்ற முடியுமா?

இதை இப்பொழுது பின்னமாக வெளிப்படுத்தலாம்.

x ஐ இந்த எண்ணுக்கு சமமாக எடுத்துக் கொள்வோம்.

x = 3.4028 தொடரும் எண் எனலாம்.

10,000x என்றால் என்ன என்று பார்ப்போம்.

10,000x -ஐ ஏன் எடுத்தேன் என்றால்,

தசமப் புள்ளியை வலதுபக்கம் நகர்த்தவேண்டும்.

எனவே, 10,000x

இது எதற்கு சமம்?

ஒவ்வொரு முறை 10 ஆல் பெருக்கும் பொழுதும் தசமப்புள்ளியை

வலதுபக்கம் ஒரு இடம் நகர்த்த வேண்டும்.

10,000 என்பது 10ன் 4 அடுக்குக்குச் சமம்.

எனவே, தசமப்புள்ளியை வலதுபக்கம் நான்கு

இடம் நகர்த்த வேண்டும்.

1,2,3,4

எனவே, இந்த எண் 34,028 ஆகும்.

ஆனால், இங்கு 28 தொடருகிறது.

எனவே, 28 தொடர்ந்து கொண்டே செல்லுகிறது.

தொடர்ந்துகொண்டே இருக்கிறது.

இவை அனைத்தும் தசமப்புள்ளியின் இடதுபக்கம்

5 இடங்கள் நகர்கிறது.

இந்த கண்ணோட்டத்தில் பார்த்தால்,

இது உங்களுக்கு புரியும்.

இது தோராயமாக 3 1/2.

10,000 -ஆல் பெருக்கும்போது சராசரியாக 35,000 வரும்.

இது தான் 10,000x.

இப்பொழுது 100x என்ன என்று யோசிப்போம்.

இப்பொழுது நான் என்ன செய்ய முயல்கிறேன் என்றால்

கழிக்கும் பொழுது x-ன் உருவில் வரும் இரண்டு எண்கள் தேவை.

அதன் தொடரும் பகுதி மறைய வேண்டும்.

பிறகு அந்த எண்ணை சராசரி எண்ணாகக் கருதலாம்.

இப்பொழுது 100 x என்பது என்ன என்று யோசிப்போம்.

100x.

இது தசமப்புள்ளியை நகர்த்தும்.

நினைவு கொள்ளவும், தசமப்புள்ளி முன்பு இங்கு இருந்தது.

இது தசமப்புள்ளியை வலதுபக்கமாக இரண்டு இடம் தள்ளி நகர்த்துகிறது.

ஆகவே,100x என்பது - இதை இப்படி எழுதுகிறேன்.

340.28. இதில் 28 தொடர்கிறது.

28 இங்கு மீள்நிகழ்வு எண்ணாகப் போடலாம்

ஆனால், அது அர்த்தமுள்ளதாகத் தெரியவில்லை.

இதை தசமப்புள்ளிக்கு அடுத்ததாக எழுதவேண்டும்.

ஆகவே, 28ஐ எழுதி அது மீண்டும் மீண்டும் தொடர்வதைக் காட்டுகிறோம்.

மிகவும் சுவாரஸ்யமான ஒன்றை இங்கு பார்க்கப் போகிறோம்.

இந்த இரண்டு எண்களும் xன் பெருக்குத் தொகைகள்.

இப்பொழுது கீழுள்ள எண்ணை மேலுள்ள எண்ணால்

கழித்தால் என்னவாகும்?

இந்த தொடரும் எண் மறைந்துவிடும்.

இதை இப்பொழுது செய்வோம்.

இதை சமன்பாட்டின் இருபக்கமும் செய்யவேண்டும்.

இப்பொழுது செய்துபார்ப்போம்.

ஆகவே, இப்பொழுது இடதுபக்கத்தில் உள்ள 10,000x ல்

இருந்து 100xஐ கழித்தால் வருவது 9,900x.

இப்பொழுது வலதுபக்கம் பார்த்தோமானால்

தசமப்பகுதி நீங்கிவிடும்.

அடுத்து 34,028 ல் இருந்து 340ஐக் கழித்தால் என்ன வரும் எனக் கணக்கிட வேண்டும்.

இப்பொழுது அதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

8, 0 வைவிட பெரியது. எனவே, எதையும்

மாற்றி அமைக்கத்தேவையில்லை.

2, 4 ஐவிடச் சிறியது.

அதனால், இதை மாற்றி அமைக்கவேண்டும்.

பக்கத்தில் உள்ள எண் 0 ஆக இருப்பதால் அங்கிருந்து கடன் வாங்க முடியாது.

இதில் 0, 3 ஐவிட குறைவாக உள்ளது. அதனால் அதையும்

மாற்றி அமைத்து கடன் வாங்க வேண்டும்.

முதலில் 4ல் இருந்து கடன் வாங்குவோம்.

4ல் இருந்து கடன் வாங்கும்பொழுது 4, 3 ஆகிறது

0, 10 ஆகிறது.

இப்பொழுது 2க்கு 10ல் இருந்து கடன் வாங்கலாம்.

2, 12 ஆகிறது. 10 ,9 ஆகிறது.

இப்பொழுது நாம் கழித்தலைச் செய்யலாம்.

8 கழித்தல் 0 என்பது 8 ஆகும்.

12 கழித்தல் 4 = 8.

9 கழித்தல் 3 = 6.

3 கழித்தல் பூஜ்யம் என்பது 3

3 கழித்தல் பூஜ்யம் என்பது 3.

ஆகையால், 9,900x என்பது 33,688 க்கு சமம்.

இங்கு, நாம் 340ஐ மேலுள்ள எண்ணில் இருந்து கழித்தோம்.

கழித்தலில் 33,688 கிடைக்கிறது.

இப்பொழுது x ஐக் கண்டுபிடிக்க

இரண்டு பக்கமும் 9,900 ஆல் வகுக்க வேண்டும்.

இடது பக்கமும் 9,900 ஆல் வகுக்க வேண்டும்.

வலது பக்கமும் 9,900 ஆல் வகுக்க வேண்டும்.

இப்பொழுது மீதம் என்ன வரும்?

x என்பது 33,688 ன் கீழ் 9,900 க்கு சமம்.

இதன் முக்கியத்துவம் என்ன?

x என்ற பெயரில் இந்த எண்ணைத்தான் (3.4028) எடுத்துக்கொண்டோம்

இதில்தான் மீள்நிகழ்வு எண் 28 உள்ளது.

கொஞ்சம் இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி

இரண்டின் பெருக்குத்தொகையையும் ஒன்றில் இருந்து ஒன்றைக் கழித்து

x ஐ ஒரு பின்னத்தில் வெளிப்படுத்திவிட்டோம்.

இதை நாம் இன்னும் எளிதாக்கவில்லை.

இவை 2 ஆல் வகுபடும். 4 ஆல் கூட வகுபடலாம்.

எனவே, இதை எளிதாக்கி குறைந்த மதிப்பில் கொண்டு வரலாம்.

ஆனால், அது நமக்குத் தேவையில்லை.

நமக்குத் தேவையானதெல்லாம் அவை x-ஐ குறிக்க வேண்டும்.

அதாவது, இந்த எண்ணை பின்னத்தில் குறிக்க வேண்டும்.

இரண்டு முழு எண்களின் விகிதமாக.

எனவே, இந்த எண் விகிதமுறு எண்.

இந்த எண்ணும் விகிதமுறு எண்.

நாம் இங்கு செய்த முறை இந்த ஒரு

எண்ணிற்கு மட்டும் இல்லை.

தொடர் எண்கள் இருக்கும் எந்த ஒரு எண்ணிற்கும் இந்த

செயல்முறையைப் பயன்படுத்திக் கொள்ளலாம்.

ஆகையால், தொடர் எண்கள் எப்பொழுதும் விகிதமுறு எண்களாகத்தான் இருக்கும்.

விகிதமுறா எண்களில் தொடர் எண்கள் இருக்காது.

உதாரணத்திற்கு, பை(pi).

இங்கு நாம் அறியும் மேலும் ஒன்று,

இவை முழு எண்கள் இல்லை.

ஒருங்கிணைந்த முழு எண்கள் தான்

நாம் எதிர்கொள்ளும் முழு எண்கள்.

இவை முழு எண்களுக்கு இடைப்பட்டவை.

இது இயல் எண்ணும் இல்லை, முழுஎண்ணும் இல்லை.

அது இருக்கும் இடத்தை வைத்து முழுக்களின் பகுதியாக கருத்தில் கொள்ளலாம்.

கண்டிப்பாக அந்த எண் இவற்றில் எதுவும் இல்லை.

இது ஒரு மெய் எண் மற்றும் விகிதமுறு எண்.

இதைப் பற்றி இவ்வளவு தான் கூற முடியும்.