Zbiory liczbowe 2

U12_L1_T1_we2 Number Sets 2

Do jakiego zbioru liczb należy ułamek dziesiętny okresowy 3.4028,

z tą tajemniczą kreską nad 28?

Zanim odpowiemy na to pytanie, zastanówmy się.

co to za liczba.

A zwłaszcza, co oznacza ta kreska nad 28.

Ta kreska oznacza, że 28

powtarza się nieskończenie wiele razy.

Więc mogę wyrazić tą liczbę jako 3.4028, z grupą cyfr 28

powtarzającą się nieskończenie wiele razy.

Powtarzają się, powtarzają, nieskończenie wiele razy.

Mógłbym zapisywać je bez końca..

Oczywiście, znacznie łatwiej jest napisać tą kreskę powyżej

28 i umówić się, że oznacza to, że ta grupa cyfr powtarza się nieskończenie wiele razy.

Zastanówmy się do jakiego zbioru należy ta liczba.

Najszerszy zbiór liczb, z którym do tej pory mieliśmy do czynienia

to liczby rzeczywiste.

Nasza liczba z z pewnością należy do liczb rzeczywistych.

Liczby rzeczywiste wypełniają całą

oś liczbową, którą już poznaliśmy.

Ułamek dziesiętny okresowy 3.4028 znajduje się gdzieś tutaj.

Jeśli tu jest minus 1, dalej mamy 0, 1, 2, 3, 4.

3.4028 to trochę więcej niż 3,4,

i odrobinę mniej, niż 3.41.

To będzie gdzieś tutaj.

Z całą pewnością można ją znaleźć na osi liczbowej.

Jest to liczba rzeczywista.

Zdecydowanie jest liczbą rzeczywistą.

To naprawdę liczba rzeczywista.

Ale już nie tak oczywistym pytaniem jest, czy należy ona do

liczb wymiernych

Pamiętasz, liczba wymierna, to taka, którą możesz wyrazić jako

wymierne wyrażenie lub jako ułamek.

Jeśli powiem, że p jest wymierne, znaczy to, że p

może być wyrażone jako iloraz dwóch liczb całkowitych.

To oznacza, że p może być wyrażone jako iloraz dwóch

liczb całkowitych, m/n.

Pytanie więc brzmi: czy możemy wyrazić tą liczbę jako iloraz

dwóch całkowitych?

Albo inny sposób myślenia o tym zadaniu jest taki:

czy mogę przedstawić tą liczbę jako ułamek?

I żeby ten problem rozwiązać spróbujemy teraz wyrazić tą liczbę jako ułamek.

Niech x będzie równa naszej liczbie.

Więc x jest równy 3.4028 z powtarzającą się grupą cyfr 28.

Pomyślmy, ile to to będzie x razy 10000.

Jedynym powodem, dlaczego mnożę to przez 10 000 jest to, że chcę

przesunąć przecinek, do tego miejsca.

Więc mnożę razy 10000.

Czemu to będzie równe?

Zawsze jeśli mnożysz przez 10, przesuwasz

przecinek o jedno miejsce na prawo.

10 000 równa się 10 do potęgi czwartej.

To tak, jakby przesunąć przeninek

o cztery miejsca na prawo.

1, 2, 3, 4.

Więc to będzie 34,028.

Ale 28 ciągle się powtarza.

Więc nadal mamy 28 powtarzające się raz, drugi,.

trzeci, w nieskończoność.

Po prostu przesunęły się w lewo w stosunku do kropki, oznaczającej początek cyfr dziesiętnych

o 4 miejsca.

Można to tak rozumieć.

To ma sens.

To prawie 3,5.

Jeśli pomnożysz jeszcze raz przez 10 000, dostaniesz prawie 35 000.

Więc to jest razy 10 000 razy x.

A teraz zastanówmy się ile to będzie 100 razy x.

Robię to wszystko, by otrzymać takie dwie liczby.

wyrażone przez x, które jeśli odejmę je od siebie,

to ta część powtarzająca się nieskończenie wiele razy się uprości.

Ale kiedy chcemy traktować to jako tradycyjną liczbę.

Pomyślmy nad tym ile to jest 100 razy x.

100 razy x.

To zmienia punkt dziesiętny.

Pamiętacie, punkt dziesiętny był tutaj.

Przesuwa się w prawo o dwa miejsca.

Więc mnożąc to przez 100, dostanę 300. - zapisze to w ten sposób.

To byłoby 340,28 z powtarzaniem 28 nieskończoną ilość razy.

Moglibyśmy zapisać kreskę nad 28 w tym miejscu,

ale to nie miałoby sensu o tyle,

że zawsze zapisujemy część powtarzającą się za punktem dziesiętnym.

Więc piszemy 28 ponownie, by pokazać, że się powtarza.

A teraz popatrzcie, stało się coś ciekawego.

Te dwie liczby są wielokrotnościami x.

I jeśli odejmiemy dolną liczbę od górnej,

co się stanie?

Ta powtarzająca się część się uprości.

Więc zróbmy to!

Wykonajmy tą operację po obu stronach równania.

Zróbmy tak.

Więc po lewej stronie równania mamy 10 000x minus

100x da nam 9.900x.

A po prawej stronie, zobaczmy - część dziesiętna

się uprości.

Musimy wyliczyć ile wynosi 34.028 minus 340.

Obliczmy to...

8 jest większe od 0, więc nie możemy

nic tu przegrupować.

2 jest mniejsze od 4.

Więc musimy to trochę przegrupować, ale nie możemy

tu nic pożyczyć, ponieważ mamy tutaj 0.

Skoro 0 jest mniejsze niż 3, przegrupujmy to

tutaj lub pożyczmy...

Pożyczmy z pierwszej 4-ki.

Jeśli pożyczymy z czwórki, tu wychodzi 4, a dalej

wychodzi 10.

Wtedy 2 możemy pożyczyć od 10.

Tutaj wychodzi 9, a to staje się 12-tką.

Teraz możemy wykonać odejmowanie.

8 odjąć 0 jest 8.

12 minus 4 to 8.

9 minus 4 to 6.

3 minus 0 to 3.

3 minus 0 to 3.

Więc 9900x jest równe 33688.

Po prostu odjęliśmy 340 od tego powyżej.

Więc otrzymaliśmy 33688.

Teraz, by znaleźć, ile wynosi x, musimy tylko podzielić

dwie strony przez 9900.

Podzielić lewą stronę przez 9900.

Podzielić prawą stronę przez 9900.

I teraz, co mamy po prawej stronie?

Otrzymaliśmy, że x równa się 33288 przez 9900.

Co to znaczy?

Więc x był liczbą od której zaczęliśmy.

Liczbą, w której rozwinięciu dziesiętnym była powtarzające się cyfry.

Wykonując parę algebraicznych manipulacji,

odejmując a potem mnożąc, możemy

wyrazić tą samą liczbę x jako ułamek.

Ten ułamek da się jeszcze uprościć. Jego licznik i mianownik

zdecydowanie dzielą się przez 2 a wygląda na to, że także przez 4.

Więc moglibyśmy to wyrazić w prostszej formie, ale

nie musimy się tym przejmować.

To co jest ważne, to to że możemy przedstawić

x, możemy przedstawić liczbę x, jako ułamek.

Jako iloraz dwóch liczb.

Więc x jest także liczbą wymierną.

Jest to także liczba wymierna.

I ta metoda, którą się posłużyliśmy, można zastosować nie tylko

do liczby x.

Za każdym razem, kiedy tylko masz liczbę, której cyfry powtarzają się w nieskończoność,

możesz zrobić to samo.

A więc w ogólności ułamki dziesiętne okresowe są liczbami wymiernymi.

W rozwinięciu dziesiętnym liczb rzeczywistych, na przykład w rozwinięciu dziesiętnym pi, nie ma cyfr powtarzających

się nieskończoną ilość razy.

Inna rzecz, która jest dość oczywista,

że x to nie jest liczba całkowitą.

Liczby całkowite nie mają nic po przecinku,

więc to nie jest liczba całkowita.

Na osi liczbowej leży pomiędzy dwoma sąsiednimi liczbami naturalnymi.

To nie jest liczba całkowita ani liczba naturalna dodatnia. Liczby naturalne

czasem określa się jako podzbiór liczb całkowitych.

To z pewnością nie jest żadna z nich.

Więc jest ona liczbą rzeczywistą i wymierną.

To wszystko, co można o niej powiedzieć.