[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.49,0:00:05.43,Default,,0000,0000,0000,,Do jakiego zbioru liczb należy ułamek dziesiętny okresowy 3.4028,
Dialogue: 0,0:00:05.43,0:00:07.33,Default,,0000,0000,0000,,z tą tajemniczą kreską nad 28?
Dialogue: 0,0:00:07.33,0:00:09.15,Default,,0000,0000,0000,,Zanim odpowiemy na to pytanie, zastanówmy się.
Dialogue: 0,0:00:09.15,0:00:10.69,Default,,0000,0000,0000,,co to za liczba.
Dialogue: 0,0:00:10.69,0:00:13.00,Default,,0000,0000,0000,,A zwłaszcza, co oznacza ta kreska nad 28.
Dialogue: 0,0:00:13.00,0:00:15.77,Default,,0000,0000,0000,,Ta kreska oznacza, że 28
Dialogue: 0,0:00:15.77,0:00:17.42,Default,,0000,0000,0000,,powtarza się nieskończenie wiele razy.
Dialogue: 0,0:00:17.42,0:00:25.09,Default,,0000,0000,0000,,Więc mogę wyrazić tą liczbę jako 3.4028, z grupą cyfr 28
Dialogue: 0,0:00:25.09,0:00:26.11,Default,,0000,0000,0000,,powtarzającą się nieskończenie wiele razy.
Dialogue: 0,0:00:26.11,0:00:29.74,Default,,0000,0000,0000,,Powtarzają się, powtarzają, nieskończenie wiele razy.
Dialogue: 0,0:00:29.74,0:00:32.30,Default,,0000,0000,0000,,Mógłbym zapisywać je bez końca..
Dialogue: 0,0:00:32.30,0:00:35.21,Default,,0000,0000,0000,,Oczywiście, znacznie łatwiej jest napisać tą kreskę powyżej
Dialogue: 0,0:00:35.21,0:00:37.62,Default,,0000,0000,0000,,28 i umówić się, że oznacza to, że ta grupa cyfr powtarza się nieskończenie wiele razy.
Dialogue: 0,0:00:37.62,0:00:41.29,Default,,0000,0000,0000,,Zastanówmy się do jakiego zbioru należy ta liczba.
Dialogue: 0,0:00:41.29,0:00:44.60,Default,,0000,0000,0000,,Najszerszy zbiór liczb, z którym do tej pory mieliśmy do czynienia
Dialogue: 0,0:00:44.60,0:00:45.33,Default,,0000,0000,0000,,to liczby rzeczywiste.
Dialogue: 0,0:00:45.33,0:00:48.42,Default,,0000,0000,0000,,Nasza liczba z z pewnością należy do liczb rzeczywistych.
Dialogue: 0,0:00:48.42,0:00:50.30,Default,,0000,0000,0000,,Liczby rzeczywiste wypełniają całą
Dialogue: 0,0:00:50.30,0:00:51.99,Default,,0000,0000,0000,,oś liczbową, którą już poznaliśmy.
Dialogue: 0,0:00:51.99,0:00:55.66,Default,,0000,0000,0000,,Ułamek dziesiętny okresowy 3.4028 znajduje się gdzieś tutaj.
Dialogue: 0,0:00:55.66,0:01:01.34,Default,,0000,0000,0000,,Jeśli tu jest minus 1, dalej mamy 0, 1, 2, 3, 4.
Dialogue: 0,0:01:01.34,0:01:04.73,Default,,0000,0000,0000,,3.4028 to trochę więcej niż 3,4,
Dialogue: 0,0:01:04.73,0:01:06.49,Default,,0000,0000,0000,,i odrobinę mniej, niż 3.41.
Dialogue: 0,0:01:06.49,0:01:07.76,Default,,0000,0000,0000,,To będzie gdzieś tutaj.
Dialogue: 0,0:01:07.76,0:01:09.45,Default,,0000,0000,0000,,Z całą pewnością można ją znaleźć na osi liczbowej.
Dialogue: 0,0:01:09.45,0:01:11.09,Default,,0000,0000,0000,,Jest to liczba rzeczywista.
Dialogue: 0,0:01:11.09,0:01:13.87,Default,,0000,0000,0000,,Zdecydowanie jest liczbą rzeczywistą.
Dialogue: 0,0:01:13.87,0:01:16.37,Default,,0000,0000,0000,,To naprawdę liczba rzeczywista.
Dialogue: 0,0:01:16.37,0:01:19.08,Default,,0000,0000,0000,,Ale już nie tak oczywistym pytaniem jest, czy należy ona do
Dialogue: 0,0:01:19.08,0:01:20.18,Default,,0000,0000,0000,,liczb wymiernych
Dialogue: 0,0:01:20.18,0:01:25.04,Default,,0000,0000,0000,,Pamiętasz, liczba wymierna, to taka, którą możesz wyrazić jako
Dialogue: 0,0:01:25.04,0:01:26.89,Default,,0000,0000,0000,,wymierne wyrażenie lub jako ułamek.
Dialogue: 0,0:01:26.89,0:01:34.39,Default,,0000,0000,0000,,Jeśli powiem, że p jest wymierne, znaczy to, że p
Dialogue: 0,0:01:34.39,0:01:37.84,Default,,0000,0000,0000,,może być wyrażone jako iloraz dwóch liczb całkowitych.
Dialogue: 0,0:01:37.84,0:01:45.62,Default,,0000,0000,0000,,To oznacza, że p może być wyrażone jako iloraz dwóch
Dialogue: 0,0:01:45.62,0:01:47.90,Default,,0000,0000,0000,,liczb całkowitych, m/n.
Dialogue: 0,0:01:47.90,0:01:50.96,Default,,0000,0000,0000,,Pytanie więc brzmi: czy możemy wyrazić tą liczbę jako iloraz
Dialogue: 0,0:01:50.96,0:01:51.41,Default,,0000,0000,0000,,dwóch całkowitych?
Dialogue: 0,0:01:51.41,0:01:52.41,Default,,0000,0000,0000,,Albo inny sposób myślenia o tym zadaniu jest taki:
Dialogue: 0,0:01:52.41,0:01:53.99,Default,,0000,0000,0000,,czy mogę przedstawić tą liczbę jako ułamek?
Dialogue: 0,0:01:53.99,0:01:58.51,Default,,0000,0000,0000,,I żeby ten problem rozwiązać spróbujemy teraz wyrazić tą liczbę jako ułamek.
Dialogue: 0,0:01:58.51,0:02:01.31,Default,,0000,0000,0000,,Niech x będzie równa naszej liczbie.
Dialogue: 0,0:02:01.31,0:02:09.96,Default,,0000,0000,0000,,Więc x jest równy 3.4028 z powtarzającą się grupą cyfr 28.
Dialogue: 0,0:02:09.96,0:02:12.65,Default,,0000,0000,0000,,Pomyślmy, ile to to będzie x razy 10000.
Dialogue: 0,0:02:12.65,0:02:14.47,Default,,0000,0000,0000,,Jedynym powodem, dlaczego mnożę to przez 10 000 jest to, że chcę
Dialogue: 0,0:02:14.47,0:02:16.96,Default,,0000,0000,0000,,przesunąć przecinek, do tego miejsca.
Dialogue: 0,0:02:16.96,0:02:21.71,Default,,0000,0000,0000,,Więc mnożę razy 10000.
Dialogue: 0,0:02:21.71,0:02:23.38,Default,,0000,0000,0000,,Czemu to będzie równe?
Dialogue: 0,0:02:23.38,0:02:26.35,Default,,0000,0000,0000,,Zawsze jeśli mnożysz przez 10, przesuwasz
Dialogue: 0,0:02:26.35,0:02:27.42,Default,,0000,0000,0000,,przecinek o jedno miejsce na prawo.
Dialogue: 0,0:02:27.42,0:02:29.79,Default,,0000,0000,0000,,10 000 równa się 10 do potęgi czwartej.
Dialogue: 0,0:02:29.79,0:02:31.78,Default,,0000,0000,0000,,To tak, jakby przesunąć przeninek
Dialogue: 0,0:02:31.78,0:02:32.83,Default,,0000,0000,0000,,o cztery miejsca na prawo.
Dialogue: 0,0:02:32.83,0:02:36.40,Default,,0000,0000,0000,,1, 2, 3, 4.
Dialogue: 0,0:02:36.40,0:02:40.58,Default,,0000,0000,0000,,Więc to będzie 34,028.
Dialogue: 0,0:02:40.58,0:02:42.70,Default,,0000,0000,0000,,Ale 28 ciągle się powtarza.
Dialogue: 0,0:02:42.70,0:02:45.82,Default,,0000,0000,0000,,Więc nadal mamy 28 powtarzające się raz, drugi,.
Dialogue: 0,0:02:45.82,0:02:46.72,Default,,0000,0000,0000,,trzeci, w nieskończoność.
Dialogue: 0,0:02:46.72,0:02:49.55,Default,,0000,0000,0000,,Po prostu przesunęły się w lewo w stosunku do kropki, oznaczającej początek cyfr dziesiętnych
Dialogue: 0,0:02:49.55,0:02:50.43,Default,,0000,0000,0000,,o 4 miejsca.
Dialogue: 0,0:02:50.43,0:02:51.07,Default,,0000,0000,0000,,Można to tak rozumieć.
Dialogue: 0,0:02:51.07,0:02:53.14,Default,,0000,0000,0000,,To ma sens.
Dialogue: 0,0:02:53.14,0:02:54.67,Default,,0000,0000,0000,,To prawie 3,5.
Dialogue: 0,0:02:54.67,0:02:57.81,Default,,0000,0000,0000,,Jeśli pomnożysz jeszcze raz przez 10 000, dostaniesz prawie 35 000.
Dialogue: 0,0:02:57.81,0:02:59.49,Default,,0000,0000,0000,,Więc to jest razy 10 000 razy x.
Dialogue: 0,0:02:59.49,0:03:00.97,Default,,0000,0000,0000,,A teraz zastanówmy się ile to będzie 100 razy x.
Dialogue: 0,0:03:00.97,0:03:04.34,Default,,0000,0000,0000,,Robię to wszystko, by otrzymać takie dwie liczby.
Dialogue: 0,0:03:04.34,0:03:06.59,Default,,0000,0000,0000,,wyrażone przez x, które jeśli odejmę je od siebie,
Dialogue: 0,0:03:06.59,0:03:08.13,Default,,0000,0000,0000,,to ta część powtarzająca się nieskończenie wiele razy się uprości.
Dialogue: 0,0:03:08.13,0:03:10.97,Default,,0000,0000,0000,,Ale kiedy chcemy traktować to jako tradycyjną liczbę.
Dialogue: 0,0:03:10.97,0:03:13.26,Default,,0000,0000,0000,,Pomyślmy nad tym ile to jest 100 razy x.
Dialogue: 0,0:03:13.26,0:03:15.53,Default,,0000,0000,0000,,100 razy x.
Dialogue: 0,0:03:15.53,0:03:17.01,Default,,0000,0000,0000,,To zmienia punkt dziesiętny.
Dialogue: 0,0:03:17.01,0:03:18.37,Default,,0000,0000,0000,,Pamiętacie, punkt dziesiętny był tutaj.
Dialogue: 0,0:03:18.37,0:03:20.86,Default,,0000,0000,0000,,Przesuwa się w prawo o dwa miejsca.
Dialogue: 0,0:03:20.86,0:03:24.83,Default,,0000,0000,0000,,Więc mnożąc to przez 100, dostanę 300. - zapisze to w ten sposób.
Dialogue: 0,0:03:24.83,0:03:30.75,Default,,0000,0000,0000,,To byłoby 340,28 z powtarzaniem 28 nieskończoną ilość razy.
Dialogue: 0,0:03:30.75,0:03:32.22,Default,,0000,0000,0000,,Moglibyśmy zapisać kreskę nad 28 w tym miejscu,
Dialogue: 0,0:03:32.22,0:03:33.01,Default,,0000,0000,0000,,ale to nie miałoby sensu o tyle,
Dialogue: 0,0:03:33.01,0:03:34.67,Default,,0000,0000,0000,,że zawsze zapisujemy część powtarzającą się za punktem dziesiętnym.
Dialogue: 0,0:03:34.67,0:03:37.34,Default,,0000,0000,0000,,Więc piszemy 28 ponownie, by pokazać, że się powtarza.
Dialogue: 0,0:03:37.34,0:03:39.71,Default,,0000,0000,0000,,A teraz popatrzcie, stało się coś ciekawego.
Dialogue: 0,0:03:39.71,0:03:42.40,Default,,0000,0000,0000,,Te dwie liczby są wielokrotnościami x.
Dialogue: 0,0:03:42.40,0:03:45.79,Default,,0000,0000,0000,,I jeśli odejmiemy dolną liczbę od górnej,
Dialogue: 0,0:03:45.79,0:03:46.71,Default,,0000,0000,0000,,co się stanie?
Dialogue: 0,0:03:46.71,0:03:48.53,Default,,0000,0000,0000,,Ta powtarzająca się część się uprości.
Dialogue: 0,0:03:48.53,0:03:49.17,Default,,0000,0000,0000,,Więc zróbmy to!
Dialogue: 0,0:03:49.17,0:03:52.28,Default,,0000,0000,0000,,Wykonajmy tą operację po obu stronach równania.
Dialogue: 0,0:03:52.28,0:03:53.23,Default,,0000,0000,0000,,Zróbmy tak.
Dialogue: 0,0:03:53.23,0:03:58.21,Default,,0000,0000,0000,,Więc po lewej stronie równania mamy 10 000x minus
Dialogue: 0,0:03:58.21,0:04:03.62,Default,,0000,0000,0000,,100x da nam 9.900x.
Dialogue: 0,0:04:03.62,0:04:06.96,Default,,0000,0000,0000,,A po prawej stronie, zobaczmy - część dziesiętna
Dialogue: 0,0:04:06.96,0:04:08.23,Default,,0000,0000,0000,,się uprości.
Dialogue: 0,0:04:08.23,0:04:12.03,Default,,0000,0000,0000,,Musimy wyliczyć ile wynosi 34.028 minus 340.
Dialogue: 0,0:04:12.03,0:04:14.12,Default,,0000,0000,0000,,Obliczmy to...
Dialogue: 0,0:04:14.12,0:04:16.01,Default,,0000,0000,0000,,8 jest większe od 0, więc nie możemy
Dialogue: 0,0:04:16.01,0:04:16.65,Default,,0000,0000,0000,,nic tu przegrupować.
Dialogue: 0,0:04:16.65,0:04:19.77,Default,,0000,0000,0000,,2 jest mniejsze od 4.
Dialogue: 0,0:04:19.77,0:04:22.20,Default,,0000,0000,0000,,Więc musimy to trochę przegrupować, ale nie możemy
Dialogue: 0,0:04:22.20,0:04:25.51,Default,,0000,0000,0000,,tu nic pożyczyć, ponieważ mamy tutaj 0.
Dialogue: 0,0:04:25.51,0:04:27.71,Default,,0000,0000,0000,,Skoro 0 jest mniejsze niż 3, przegrupujmy to
Dialogue: 0,0:04:27.71,0:04:29.00,Default,,0000,0000,0000,,tutaj lub pożyczmy...
Dialogue: 0,0:04:29.00,0:04:31.77,Default,,0000,0000,0000,,Pożyczmy z pierwszej 4-ki.
Dialogue: 0,0:04:31.77,0:04:36.59,Default,,0000,0000,0000,,Jeśli pożyczymy z czwórki, tu wychodzi 4, a dalej
Dialogue: 0,0:04:36.59,0:04:38.14,Default,,0000,0000,0000,,wychodzi 10.
Dialogue: 0,0:04:38.14,0:04:40.46,Default,,0000,0000,0000,,Wtedy 2 możemy pożyczyć od 10.
Dialogue: 0,0:04:40.46,0:04:44.09,Default,,0000,0000,0000,,Tutaj wychodzi 9, a to staje się 12-tką.
Dialogue: 0,0:04:44.09,0:04:45.82,Default,,0000,0000,0000,,Teraz możemy wykonać odejmowanie.
Dialogue: 0,0:04:45.82,0:04:48.39,Default,,0000,0000,0000,,8 odjąć 0 jest 8.
Dialogue: 0,0:04:48.39,0:04:51.11,Default,,0000,0000,0000,,12 minus 4 to 8.
Dialogue: 0,0:04:51.11,0:04:53.88,Default,,0000,0000,0000,,9 minus 4 to 6.
Dialogue: 0,0:04:53.88,0:04:55.92,Default,,0000,0000,0000,,3 minus 0 to 3.
Dialogue: 0,0:04:55.92,0:04:57.95,Default,,0000,0000,0000,,3 minus 0 to 3.
Dialogue: 0,0:04:57.95,0:05:05.32,Default,,0000,0000,0000,,Więc 9900x jest równe 33688.
Dialogue: 0,0:05:05.32,0:05:09.18,Default,,0000,0000,0000,,Po prostu odjęliśmy 340 od tego powyżej.
Dialogue: 0,0:05:09.18,0:05:13.11,Default,,0000,0000,0000,,Więc otrzymaliśmy 33688.
Dialogue: 0,0:05:13.11,0:05:15.71,Default,,0000,0000,0000,,Teraz, by znaleźć, ile wynosi x, musimy tylko podzielić
Dialogue: 0,0:05:15.71,0:05:21.61,Default,,0000,0000,0000,,dwie strony przez 9900.
Dialogue: 0,0:05:21.61,0:05:23.99,Default,,0000,0000,0000,,Podzielić lewą stronę przez 9900.
Dialogue: 0,0:05:23.99,0:05:26.90,Default,,0000,0000,0000,,Podzielić prawą stronę przez 9900.
Dialogue: 0,0:05:26.90,0:05:28.00,Default,,0000,0000,0000,,I teraz, co mamy po prawej stronie?
Dialogue: 0,0:05:28.00,0:05:36.85,Default,,0000,0000,0000,,Otrzymaliśmy, że x równa się 33288 przez 9900.
Dialogue: 0,0:05:36.85,0:05:38.55,Default,,0000,0000,0000,,Co to znaczy?
Dialogue: 0,0:05:38.55,0:05:41.90,Default,,0000,0000,0000,,Więc x był liczbą od której zaczęliśmy.
Dialogue: 0,0:05:41.90,0:05:44.58,Default,,0000,0000,0000,,Liczbą, w której rozwinięciu dziesiętnym była powtarzające się cyfry.
Dialogue: 0,0:05:44.58,0:05:47.50,Default,,0000,0000,0000,,Wykonując parę algebraicznych manipulacji,
Dialogue: 0,0:05:47.50,0:05:49.66,Default,,0000,0000,0000,,odejmując a potem mnożąc, możemy
Dialogue: 0,0:05:49.66,0:05:52.53,Default,,0000,0000,0000,,wyrazić tą samą liczbę x jako ułamek.
Dialogue: 0,0:05:52.53,0:05:55.78,Default,,0000,0000,0000,,Ten ułamek da się jeszcze uprościć. Jego licznik i mianownik
Dialogue: 0,0:05:55.78,0:05:58.90,Default,,0000,0000,0000,,zdecydowanie dzielą się przez 2 a wygląda na to, że także przez 4.
Dialogue: 0,0:05:58.90,0:06:01.96,Default,,0000,0000,0000,,Więc moglibyśmy to wyrazić w prostszej formie, ale
Dialogue: 0,0:06:01.96,0:06:02.91,Default,,0000,0000,0000,,nie musimy się tym przejmować.
Dialogue: 0,0:06:02.91,0:06:05.06,Default,,0000,0000,0000,,To co jest ważne, to to że możemy przedstawić
Dialogue: 0,0:06:05.06,0:06:09.05,Default,,0000,0000,0000,,x, możemy przedstawić liczbę x, jako ułamek.
Dialogue: 0,0:06:09.05,0:06:11.62,Default,,0000,0000,0000,,Jako iloraz dwóch liczb.
Dialogue: 0,0:06:11.62,0:06:14.72,Default,,0000,0000,0000,,Więc x jest także liczbą wymierną.
Dialogue: 0,0:06:14.72,0:06:16.55,Default,,0000,0000,0000,,Jest to także liczba wymierna.
Dialogue: 0,0:06:16.55,0:06:19.01,Default,,0000,0000,0000,,I ta metoda, którą się posłużyliśmy, można zastosować nie tylko
Dialogue: 0,0:06:19.01,0:06:20.70,Default,,0000,0000,0000,,do liczby x.
Dialogue: 0,0:06:20.70,0:06:24.37,Default,,0000,0000,0000,,Za każdym razem, kiedy tylko masz liczbę, której cyfry powtarzają się w nieskończoność,
Dialogue: 0,0:06:24.37,0:06:25.00,Default,,0000,0000,0000,,możesz zrobić to samo.
Dialogue: 0,0:06:25.00,0:06:27.53,Default,,0000,0000,0000,,A więc w ogólności ułamki dziesiętne okresowe są liczbami wymiernymi.
Dialogue: 0,0:06:27.53,0:06:30.09,Default,,0000,0000,0000,,W rozwinięciu dziesiętnym liczb rzeczywistych, na przykład w rozwinięciu dziesiętnym pi, nie ma cyfr powtarzających
Dialogue: 0,0:06:30.09,0:06:32.86,Default,,0000,0000,0000,,się nieskończoną ilość razy.
Dialogue: 0,0:06:32.86,0:06:34.59,Default,,0000,0000,0000,,Inna rzecz, która jest dość oczywista,
Dialogue: 0,0:06:34.59,0:06:35.81,Default,,0000,0000,0000,,że x to nie jest liczba całkowitą.
Dialogue: 0,0:06:35.81,0:06:37.41,Default,,0000,0000,0000,,Liczby całkowite nie mają nic po przecinku,
Dialogue: 0,0:06:37.41,0:06:38.02,Default,,0000,0000,0000,,więc to nie jest liczba całkowita.
Dialogue: 0,0:06:38.02,0:06:40.39,Default,,0000,0000,0000,,Na osi liczbowej leży pomiędzy dwoma sąsiednimi liczbami naturalnymi.
Dialogue: 0,0:06:40.39,0:06:43.36,Default,,0000,0000,0000,,To nie jest liczba całkowita ani liczba naturalna dodatnia. Liczby naturalne
Dialogue: 0,0:06:43.36,0:06:46.24,Default,,0000,0000,0000,,czasem określa się jako podzbiór liczb całkowitych.
Dialogue: 0,0:06:46.24,0:06:47.36,Default,,0000,0000,0000,,To z pewnością nie jest żadna z nich.
Dialogue: 0,0:06:47.36,0:06:49.11,Default,,0000,0000,0000,,Więc jest ona liczbą rzeczywistą i wymierną.
Dialogue: 0,0:06:49.11,0:06:51.46,Default,,0000,0000,0000,,To wszystko, co można o niej powiedzieć.