0:00:00.490,0:00:05.430
Do jakiego zbioru liczb należy ułamek dziesiętny okresowy 3.4028,

0:00:05.430,0:00:07.330
z tą tajemniczą kreską nad 28?

0:00:07.330,0:00:09.150
Zanim odpowiemy na to pytanie, zastanówmy się.

0:00:09.150,0:00:10.690
co to za liczba.

0:00:10.690,0:00:13.000
A zwłaszcza, co oznacza ta kreska nad 28.

0:00:13.000,0:00:15.770
Ta kreska oznacza, że 28

0:00:15.770,0:00:17.420
powtarza się nieskończenie wiele razy.

0:00:17.420,0:00:25.090
Więc mogę wyrazić tą liczbę jako 3.4028, z grupą cyfr 28

0:00:25.090,0:00:26.110
powtarzającą się nieskończenie wiele razy.

0:00:26.110,0:00:29.740
Powtarzają się, powtarzają, nieskończenie wiele razy.

0:00:29.740,0:00:32.299
Mógłbym zapisywać je bez końca..

0:00:32.299,0:00:35.210
Oczywiście, znacznie łatwiej jest napisać tą kreskę powyżej

0:00:35.210,0:00:37.620
28 i umówić się, że oznacza to, że ta grupa cyfr powtarza się nieskończenie wiele razy.

0:00:37.620,0:00:41.290
Zastanówmy się do jakiego zbioru należy ta liczba.

0:00:41.290,0:00:44.600
Najszerszy zbiór liczb, z którym do tej pory mieliśmy do czynienia

0:00:44.600,0:00:45.330
to liczby rzeczywiste.

0:00:45.330,0:00:48.420
Nasza liczba z z pewnością należy do liczb rzeczywistych.

0:00:48.420,0:00:50.300
Liczby rzeczywiste wypełniają całą

0:00:50.300,0:00:51.990
oś liczbową, którą już poznaliśmy.

0:00:51.990,0:00:55.660
Ułamek dziesiętny okresowy 3.4028 znajduje się gdzieś tutaj.

0:00:55.660,0:01:01.340
Jeśli tu jest minus 1, dalej mamy 0, 1, 2, 3, 4.

0:01:01.340,0:01:04.730
3.4028 to trochę więcej niż 3,4,

0:01:04.730,0:01:06.490
i odrobinę mniej, niż 3.41.

0:01:06.490,0:01:07.760
To będzie gdzieś tutaj.

0:01:07.760,0:01:09.450
Z całą pewnością można ją znaleźć na osi liczbowej.

0:01:09.450,0:01:11.090
Jest to liczba rzeczywista.

0:01:11.090,0:01:13.870
Zdecydowanie jest liczbą rzeczywistą.

0:01:13.870,0:01:16.370
To naprawdę liczba rzeczywista.

0:01:16.370,0:01:19.080
Ale już nie tak oczywistym pytaniem jest, czy należy ona do

0:01:19.080,0:01:20.180
liczb wymiernych

0:01:20.180,0:01:25.040
Pamiętasz, liczba wymierna, to taka, którą możesz wyrazić jako

0:01:25.040,0:01:26.890
wymierne wyrażenie lub jako ułamek.

0:01:26.890,0:01:34.390
Jeśli powiem, że p jest wymierne, znaczy to, że p

0:01:34.390,0:01:37.840
może być wyrażone jako iloraz dwóch liczb całkowitych.

0:01:37.840,0:01:45.620
To oznacza, że p może być wyrażone jako iloraz dwóch

0:01:45.620,0:01:47.900
liczb całkowitych, m/n.

0:01:47.900,0:01:50.960
Pytanie więc brzmi: czy możemy wyrazić tą liczbę jako iloraz

0:01:50.960,0:01:51.410
dwóch całkowitych?

0:01:51.410,0:01:52.410
Albo inny sposób myślenia o tym zadaniu jest taki:

0:01:52.410,0:01:53.990
czy mogę przedstawić tą liczbę jako ułamek?

0:01:53.990,0:01:58.510
I żeby ten problem rozwiązać spróbujemy teraz wyrazić tą liczbę jako ułamek.

0:01:58.510,0:02:01.310
Niech x będzie równa naszej liczbie.

0:02:01.310,0:02:09.960
Więc x jest równy 3.4028 z powtarzającą się grupą cyfr 28.

0:02:09.960,0:02:12.650
Pomyślmy, ile to to będzie x razy 10000.

0:02:12.650,0:02:14.470
Jedynym powodem, dlaczego mnożę to przez 10 000 jest to, że chcę

0:02:14.470,0:02:16.960
przesunąć przecinek, do tego miejsca.

0:02:16.960,0:02:21.710
Więc mnożę razy 10000.

0:02:21.710,0:02:23.380
Czemu to będzie równe?

0:02:23.380,0:02:26.350
Zawsze jeśli mnożysz przez 10, przesuwasz

0:02:26.350,0:02:27.420
przecinek o jedno miejsce na prawo.

0:02:27.420,0:02:29.790
10 000 równa się 10 do potęgi czwartej.

0:02:29.790,0:02:31.780
To tak, jakby przesunąć przeninek

0:02:31.780,0:02:32.830
o cztery miejsca na prawo.

0:02:32.830,0:02:36.400
1, 2, 3, 4.

0:02:36.400,0:02:40.575
Więc to będzie 34,028.

0:02:40.575,0:02:42.700
Ale 28 ciągle się powtarza.

0:02:42.700,0:02:45.820
Więc nadal mamy 28 powtarzające się raz, drugi,.

0:02:45.820,0:02:46.720
trzeci, w nieskończoność.

0:02:46.720,0:02:49.550
Po prostu przesunęły się w lewo w stosunku do kropki, oznaczającej początek cyfr dziesiętnych

0:02:49.550,0:02:50.430
o 4 miejsca.

0:02:50.430,0:02:51.070
Można to tak rozumieć.

0:02:51.070,0:02:53.140
To ma sens.

0:02:53.140,0:02:54.670
To prawie 3,5.

0:02:54.670,0:02:57.810
Jeśli pomnożysz jeszcze raz przez 10 000, dostaniesz prawie 35 000.

0:02:57.810,0:02:59.490
Więc to jest razy 10 000 razy x.

0:02:59.490,0:03:00.970
A teraz zastanówmy się ile to będzie 100 razy x.

0:03:00.970,0:03:04.340
Robię to wszystko, by otrzymać takie dwie liczby.

0:03:04.340,0:03:06.590
wyrażone przez x, które jeśli odejmę je od siebie,

0:03:06.590,0:03:08.130
to ta część powtarzająca się nieskończenie wiele razy się uprości.

0:03:08.130,0:03:10.970
Ale kiedy chcemy traktować to jako tradycyjną liczbę.

0:03:10.970,0:03:13.260
Pomyślmy nad tym ile to jest 100 razy x.

0:03:13.260,0:03:15.530
100 razy x.

0:03:15.530,0:03:17.010
To zmienia punkt dziesiętny.

0:03:17.010,0:03:18.370
Pamiętacie, punkt dziesiętny był tutaj.

0:03:18.370,0:03:20.860
Przesuwa się w prawo o dwa miejsca.

0:03:20.860,0:03:24.830
Więc mnożąc to przez 100, dostanę 300. - zapisze to w ten sposób.

0:03:24.830,0:03:30.750
To byłoby 340,28 z powtarzaniem 28 nieskończoną ilość razy.

0:03:30.750,0:03:32.220
Moglibyśmy zapisać kreskę nad 28 w tym miejscu,

0:03:32.220,0:03:33.010
ale to nie miałoby sensu o tyle,

0:03:33.010,0:03:34.670
że zawsze zapisujemy część powtarzającą się za punktem dziesiętnym.

0:03:34.670,0:03:37.340
Więc piszemy 28 ponownie, by pokazać, że się powtarza.

0:03:37.340,0:03:39.710
A teraz popatrzcie, stało się coś ciekawego.

0:03:39.710,0:03:42.400
Te dwie liczby są wielokrotnościami x.

0:03:42.400,0:03:45.790
I jeśli odejmiemy dolną liczbę od górnej,

0:03:45.790,0:03:46.710
co się stanie?

0:03:46.710,0:03:48.530
Ta powtarzająca się część się uprości.

0:03:48.530,0:03:49.170
Więc zróbmy to!

0:03:49.170,0:03:52.280
Wykonajmy tą operację po obu stronach równania.

0:03:52.280,0:03:53.230
Zróbmy tak.

0:03:53.230,0:03:58.210
Więc po lewej stronie równania mamy 10 000x minus

0:03:58.210,0:04:03.620
100x da nam 9.900x.

0:04:03.620,0:04:06.960
A po prawej stronie, zobaczmy - część dziesiętna

0:04:06.960,0:04:08.230
się uprości.

0:04:08.230,0:04:12.030
Musimy wyliczyć ile wynosi 34.028 minus 340.

0:04:12.030,0:04:14.120
Obliczmy to...

0:04:14.120,0:04:16.010
8 jest większe od 0, więc nie możemy

0:04:16.010,0:04:16.649
nic tu przegrupować.

0:04:16.649,0:04:19.769
2 jest mniejsze od 4.

0:04:19.769,0:04:22.200
Więc musimy to trochę przegrupować, ale nie możemy

0:04:22.200,0:04:25.510
tu nic pożyczyć, ponieważ mamy tutaj 0.

0:04:25.510,0:04:27.710
Skoro 0 jest mniejsze niż 3, przegrupujmy to

0:04:27.710,0:04:29.000
tutaj lub pożyczmy...

0:04:29.000,0:04:31.770
Pożyczmy z pierwszej 4-ki.

0:04:31.770,0:04:36.590
Jeśli pożyczymy z czwórki, tu wychodzi 4, a dalej

0:04:36.590,0:04:38.140
wychodzi 10.

0:04:38.140,0:04:40.460
Wtedy 2 możemy pożyczyć od 10.

0:04:40.460,0:04:44.090
Tutaj wychodzi 9, a to staje się 12-tką.

0:04:44.090,0:04:45.820
Teraz możemy wykonać odejmowanie.

0:04:45.820,0:04:48.390
8 odjąć 0 jest 8.

0:04:48.390,0:04:51.110
12 minus 4 to 8.

0:04:51.110,0:04:53.880
9 minus 4 to 6.

0:04:53.880,0:04:55.920
3 minus 0 to 3.

0:04:55.920,0:04:57.950
3 minus 0 to 3.

0:04:57.950,0:05:05.320
Więc 9900x jest równe 33688.

0:05:05.320,0:05:09.180
Po prostu odjęliśmy 340 od tego powyżej.

0:05:09.180,0:05:13.110
Więc otrzymaliśmy 33688.

0:05:13.110,0:05:15.710
Teraz, by znaleźć, ile wynosi x, musimy tylko podzielić

0:05:15.710,0:05:21.610
dwie strony przez 9900.

0:05:21.610,0:05:23.990
Podzielić lewą stronę przez 9900.

0:05:23.990,0:05:26.900
Podzielić prawą stronę przez 9900.

0:05:26.900,0:05:28.000
I teraz, co mamy po prawej stronie?

0:05:28.000,0:05:36.850
Otrzymaliśmy, że x równa się 33288 przez 9900.

0:05:36.850,0:05:38.550
Co to znaczy?

0:05:38.550,0:05:41.900
Więc x był liczbą od której zaczęliśmy.

0:05:41.900,0:05:44.580
Liczbą, w której rozwinięciu dziesiętnym była powtarzające się cyfry.

0:05:44.580,0:05:47.500
Wykonując parę algebraicznych manipulacji,

0:05:47.500,0:05:49.660
odejmując a potem mnożąc, możemy

0:05:49.660,0:05:52.530
wyrazić tą samą liczbę x jako ułamek.

0:05:52.530,0:05:55.780
Ten ułamek da się jeszcze uprościć. Jego licznik i mianownik

0:05:55.780,0:05:58.900
zdecydowanie dzielą się przez 2 a wygląda na to, że także przez 4.

0:05:58.900,0:06:01.960
Więc moglibyśmy to wyrazić w prostszej formie, ale

0:06:01.960,0:06:02.910
nie musimy się tym przejmować.

0:06:02.910,0:06:05.055
To co jest ważne, to to że możemy przedstawić

0:06:05.055,0:06:09.050
x, możemy przedstawić liczbę x, jako ułamek.

0:06:09.050,0:06:11.620
Jako iloraz dwóch liczb.

0:06:11.620,0:06:14.720
Więc x jest także liczbą wymierną.

0:06:14.720,0:06:16.550
Jest to także liczba wymierna.

0:06:16.550,0:06:19.010
I ta metoda, którą się posłużyliśmy, można zastosować nie tylko

0:06:19.010,0:06:20.700
do liczby x.

0:06:20.700,0:06:24.370
Za każdym razem, kiedy tylko masz liczbę, której cyfry powtarzają się w nieskończoność,

0:06:24.370,0:06:25.000
możesz zrobić to samo.

0:06:25.000,0:06:27.530
A więc w ogólności ułamki dziesiętne okresowe są liczbami wymiernymi.

0:06:27.530,0:06:30.090
W rozwinięciu dziesiętnym liczb rzeczywistych, na przykład w rozwinięciu dziesiętnym pi, nie ma cyfr powtarzających

0:06:30.090,0:06:32.860
się nieskończoną ilość razy.

0:06:32.860,0:06:34.590
Inna rzecz, która jest dość oczywista,

0:06:34.590,0:06:35.810
że x to nie jest liczba całkowitą.

0:06:35.810,0:06:37.410
Liczby całkowite nie mają nic po przecinku,

0:06:37.410,0:06:38.020
więc to nie jest liczba całkowita.

0:06:38.020,0:06:40.390
Na osi liczbowej leży pomiędzy dwoma sąsiednimi liczbami naturalnymi.

0:06:40.390,0:06:43.360
To nie jest liczba całkowita ani liczba naturalna dodatnia. Liczby naturalne

0:06:43.360,0:06:46.240
czasem określa się jako podzbiór liczb całkowitych.

0:06:46.240,0:06:47.360
To z pewnością nie jest żadna z nich.

0:06:47.360,0:06:49.110
Więc jest ona liczbą rzeczywistą i wymierną.

0:06:49.110,0:06:51.460
To wszystko, co można o niej powiedzieć.