Number Sets 2

3.4028은 어느 수체계로
설명할 수 있을까요?

이 질문에 답하기 전에

이 숫자가 무엇을
나타내는지 알아봅시다

특히 이 숫자 위에 선이
무엇을 의미하는지 말입니다

이 숫자 위의 선은 28이

계속 반복되고 있다는 것을
의미합니다

따라서 이 숫자는 3.4028
뒤에 28이 계속

반복되고 있는 소수라고
생각하면 됩니다

끊임없이 반복되고 있다고
생각하면 됩니다

3.40282828282828---
이렇게 계속 쓸수도 있지만

반복되는 28위에 선을 긋는게
훨씬 더 간단합니다

28이 계속 반복된다는 것을
보이기 위해서는 말이죠

그럼 이 수가 어떤 수체계에
포함되는지 알아봅시다

이제까지 다룬 가장
큰 수집합은

실수 집합입니다

그리고 이 수는 당연히
실수범위에 포함됩니다

실수는 흔히 사용하는
수직선에 있는

모든 수라고
생각하면 됩니다

그리고 3.4028은
이 근처에 위치한 실수입니다

여기가 -1이면 여기는 각각
0,1,2,3,4가 되겠네요

3.4028은
3.4보다는 약간 크고

3.41보다는
약간 작은 수입니다

아마 이쯤에
위치 할 것입니다

따라서 이 소수는 확실히
수직선 상에 위치합니다

이 수는 실수입니다

따라서 실제로 존재합니다

앞서 말했듯이
확실히 실수이기 때문이죠

하지만 이 수가 유리수인지는

아직 모릅니다

유리수는 유리식이나
분수로 표현될 수 있기 때문입니다

만약 p 가 유리수라고 한다면

p는 두 정수의 비로 표현될 수
있다는 것을 의미합니다

m/n 으로 표현됩니다

이제 이 수를 어떻게 정수로
표현할 수 있을까 알아봅시다

이것을 볼 수 있는
또 다른 방법은

이 수를 어떻게 분수로 나타낼까를
생각해보는 것입니다

따라서 이 식을
분수로 표현해봅시다

이 수가 x라고 가정해봅시다

x 는 3.40282828282828....과
같습니다

그렇다면 10,000x가
어떤 수일지 생각해봅시다

여기서 10,000x 가
궁금한 이유는

소수점을 맨 오른쪽으로
옮기고 싶기 때문입니다

따라서 10,000x를 구해보죠

10,000x는 그럼
몇이 될까요?

어떤 수에 10을 곱할 때마다

소수점을 오른쪽으로
한 칸씩 옮기면 됩니다

10,000은 10을
4번 곱한 것과 같으므로

10,000을 곱하면
소수점을 오른쪽으로

4칸 옮기는 것과 같습니다

1, 2, 3, 4

따라서 10,000x는
34028.282828... 와 같습니다

여기서 28은 여전히
반복될 것입니다

이 숫자는 x에서 5칸만큼

소숫점이 움직인 것입니다

알겠나요?

이 숫자는 대략
3과 1/2입니다

이를 10,000배하면
약 35,000가 나옵니다

이렇게 구하는 것이
10,000x입니다

그러면 100x는
어떻게 구할 지 생각해봅시다

여기서 하고 싶은 것은
두 개의 숫자를 만들어서

x로 표현되도록
한 뒤 반복되는 부분이

사라지도록
하는 것입니다

그리고 원래 아는 숫자대로
다루면 됩니다

그럼 100x가
어떤 수인지 알아봅시다

100x

그러면 소숫점은
움직여봅시다

원래 위치를
명심하고

100을 곱하면
소숫점은 두 칸 움직입니다

그러면 100x는
여기에 이렇게 써보면

340.28282828... 에서
28이 반복되는 숫자겠네요

28이 10의 자리부터
반복된다고 할 수 있지만

그러면 별로 소용이 없겠죠?

반복되는 부분이 소숫점 뒤에
나타나도록 하는 것이 좋습니다

그래서 소숫점 앞에 28을 쓰고 그 뒤에서부터 반복된다는
것을 표시합시다

이제 신기한 일이
나타날 것입니다

이 두 숫자들은
x의 배수입니다

위의 10,000x에서
아래의 100x를 빼면

어떤 일이 나타날까요?

끊임없이 반복되는 부분이
없어지겠죠?

자, 해 봅시다

각 식의 양변에서
모두 뺴야겠죠?

빼봅시다

좌변에서는
10,000x에서 100x를 빼면

9,900x가 될 것이고

우변에서는
소숫점 아래는

모두 없어질 것입니다

그러면 34,028 - 340가
무엇인지만 알아내면 됩니다

알아내 봅시다

8이 0보다 크므로
그냥 계산하고

2는 4보다 작습니다

받아내림해야 하지만

앞의 자리의 수가 0이므로
아직은 빌릴 수 없겠군요

앞에서 0이 3보다 작으므로
숫자들을 재조합하기 위해

앞의 자리에서 수를 빌려오죠

4에서부터 먼저
수를 빌려오겠습니다

4로부터 수를 빌려오면
4는 3이 되고

0은 10이 됩니다

그러면 2는 10으로부터
빌려올 수 있습니다

그러면 10은 9가 되고
2는 12가 됩니다

그러면 이제 뺄셈을
할 수 있겠군요?

8 - 0은 8입니다

12 - 4는 8입니다

9 - 3은 6입니다

3에서 아무것도
안 빼면 3입니다

3에서 아무것도
안 빼면 3입니다

따라서 9,990x는
33,488입니다

위의 34028에서
340을 뺐으므로

아래에는 33,688이
남습니다

x의 값을 알기 위해서

양변을 9,900으로 나눕시다

좌변을 9,990으로 나눕시다

우변을 9,990으로 나눕시다

그러면 어떤 식이 나옵니까?

x가 33,688/9,900와 같다는 것을
알 수 있습니다

어려워 할 필요 없습니다

x는 이 숫자였던 겁니다

x는 끊임없이 반복되는
부분이 있는 숫자였습니다

곱셈을 통한 식의 변형과

변형된 식들을
서로 빼서 우리는

x를 분수로
표현할 수 있었습니다

이 분수는
기약분수는 아닙니다

분모와 분자는 둘 다
2와 4로 약분이 가능해 보입니다

따라서 이 분수를
기약분수로 표현할 수 있겠지만

일단 그건 상관하지
않기로 합시다

여기서 중요하게 봐야 할 것은

x를 분수로 나타낼 수
있다는 사실입니다

두 개의 정수의 비로 말입니다

이 수는 유리수입니다

이 수는 유리수입니다

여기서 푼 방법은
이 숫자에만

적용되는 것이 아닙니다

끊임없이 일정하게
반복되는 수라면

이 방법으로
값을 구할 수 있습니다

따라서 순환소수는
전체적으로 유리수입니다

진짜 무리수들은
어느 부분이 반복되지 않습니다

파이와 같이 말이죠

다른 것들은
꽤 명확해 보입니다

이 수는 정수가 아닙니다

정수들은 여기서 다루고 있는

범자연수입니다

따라서 이 수는
어떤 정수 사이에 있습니다

이 수는 자연수도 아니고
범자연수도 아닙니다

범자연수는 어떤 면에서
정수에 일부분이라고 볼 수 있습니다

따라서 x는 범자연수도
정수도 아닙니다

따라서 이 숫자는
실수이며 유리수입니다