1
00:00:00,300 --> 00:00:07,360
3.4028은 어느 수체계로 
설명할 수 있을까요?

2
00:00:07,360 --> 00:00:09,150
이 질문에 답하기 전에

3
00:00:09,150 --> 00:00:10,690
이 숫자가 무엇을 
나타내는지 알아봅시다

4
00:00:10,690 --> 00:00:13,000
특히 이 숫자 위에 선이 
무엇을 의미하는지 말입니다

5
00:00:13,000 --> 00:00:15,770
이 숫자 위의 선은 28이

6
00:00:15,770 --> 00:00:17,420
계속 반복되고 있다는 것을 
의미합니다

7
00:00:17,420 --> 00:00:25,090
따라서 이 숫자는 3.4028 
뒤에 28이 계속

8
00:00:25,090 --> 00:00:26,110
반복되고 있는 소수라고 
생각하면 됩니다

9
00:00:26,110 --> 00:00:29,740
끊임없이 반복되고 있다고 
생각하면 됩니다

10
00:00:29,740 --> 00:00:32,299
3.40282828282828---
이렇게 계속 쓸수도 있지만

11
00:00:32,299 --> 00:00:35,210
반복되는 28위에 선을 긋는게 
훨씬 더 간단합니다

12
00:00:35,210 --> 00:00:37,620
28이 계속 반복된다는 것을 
보이기 위해서는 말이죠

13
00:00:37,620 --> 00:00:41,290
그럼 이 수가 어떤 수체계에 
포함되는지 알아봅시다

14
00:00:41,290 --> 00:00:44,600
이제까지 다룬 가장
큰 수집합은

15
00:00:44,600 --> 00:00:45,330
실수 집합입니다

16
00:00:45,330 --> 00:00:48,420
그리고 이 수는 당연히 
실수범위에 포함됩니다

17
00:00:48,420 --> 00:00:50,300
실수는 흔히 사용하는 
수직선에 있는

18
00:00:50,300 --> 00:00:51,990
모든 수라고 
생각하면 됩니다

19
00:00:51,990 --> 00:00:55,660
그리고 3.4028은
이 근처에 위치한 실수입니다

20
00:00:55,660 --> 00:01:01,340
여기가 -1이면 여기는 각각 
0,1,2,3,4가 되겠네요

21
00:01:01,340 --> 00:01:04,730
3.4028은 
3.4보다는 약간 크고

22
00:01:04,730 --> 00:01:06,490
3.41보다는 
약간 작은 수입니다

23
00:01:06,490 --> 00:01:07,760
아마 이쯤에 
위치 할 것입니다

24
00:01:07,760 --> 00:01:09,450
따라서 이 소수는 확실히 
수직선 상에 위치합니다

25
00:01:09,450 --> 00:01:11,090
이 수는 실수입니다

26
00:01:11,090 --> 00:01:13,870
따라서 실제로 존재합니다

27
00:01:13,870 --> 00:01:16,370
앞서 말했듯이 
확실히 실수이기 때문이죠

28
00:01:16,370 --> 00:01:19,080
하지만 이 수가 유리수인지는

29
00:01:19,080 --> 00:01:20,180
아직 모릅니다

30
00:01:20,180 --> 00:01:26,890
유리수는 유리식이나 
분수로 표현될 수 있기 때문입니다

31
00:01:26,890 --> 00:01:34,390
만약 p 가 유리수라고 한다면

32
00:01:34,390 --> 00:01:45,740
p는 두 정수의 비로 표현될 수 
있다는 것을 의미합니다

33
00:01:45,740 --> 00:01:47,900
m/n 으로 표현됩니다

34
00:01:47,900 --> 00:01:51,460
이제 이 수를 어떻게 정수로 
표현할 수 있을까 알아봅시다

35
00:01:51,460 --> 00:01:52,410
이것을 볼 수 있는 
또 다른 방법은

36
00:01:52,410 --> 00:01:53,990
이 수를 어떻게 분수로 나타낼까를 
생각해보는 것입니다

37
00:01:53,990 --> 00:01:58,510
따라서 이 식을 
분수로 표현해봅시다

38
00:01:58,510 --> 00:02:01,310
이 수가 x라고 가정해봅시다

39
00:02:01,310 --> 00:02:09,960
x 는 3.40282828282828....과 
같습니다

40
00:02:09,960 --> 00:02:12,650
그렇다면 10,000x가 
어떤 수일지 생각해봅시다

41
00:02:12,650 --> 00:02:14,470
여기서 10,000x 가 
궁금한 이유는

42
00:02:14,470 --> 00:02:16,960
소수점을 맨 오른쪽으로 
옮기고 싶기 때문입니다

43
00:02:16,960 --> 00:02:21,710
따라서 10,000x를 구해보죠

44
00:02:21,710 --> 00:02:23,380
10,000x는 그럼 
몇이 될까요?

45
00:02:23,380 --> 00:02:25,700
어떤 수에 10을 곱할 때마다

46
00:02:25,700 --> 00:02:27,420
소수점을 오른쪽으로 
한 칸씩 옮기면 됩니다

47
00:02:27,420 --> 00:02:29,790
10,000은 10을 
4번 곱한 것과 같으므로

48
00:02:29,790 --> 00:02:31,780
10,000을 곱하면 
소수점을 오른쪽으로

49
00:02:31,780 --> 00:02:32,830
4칸 옮기는 것과 같습니다

50
00:02:32,830 --> 00:02:36,400
1, 2, 3, 4

51
00:02:36,400 --> 00:02:40,575
따라서 10,000x는 
34028.282828... 와 같습니다

52
00:02:40,575 --> 00:02:46,790
여기서 28은 여전히 
반복될 것입니다

53
00:02:46,790 --> 00:02:49,550
이 숫자는 x에서 5칸만큼

54
00:02:49,550 --> 00:02:51,070
소숫점이 움직인 것입니다

55
00:02:51,070 --> 00:02:53,140
알겠나요?

56
00:02:53,140 --> 00:02:54,670
이 숫자는 대략 
3과 1/2입니다

57
00:02:54,670 --> 00:02:57,810
이를 10,000배하면 
약 35,000가 나옵니다

58
00:02:57,810 --> 00:02:59,490
이렇게 구하는 것이 
10,000x입니다

59
00:02:59,490 --> 00:03:01,130
그러면 100x는 
어떻게 구할 지 생각해봅시다

60
00:03:01,130 --> 00:03:04,340
여기서 하고 싶은 것은 
두 개의 숫자를 만들어서

61
00:03:04,340 --> 00:03:06,590
x로 표현되도록 
한 뒤 반복되는 부분이

62
00:03:06,590 --> 00:03:08,130
사라지도록 
하는 것입니다

63
00:03:08,130 --> 00:03:10,970
그리고 원래 아는 숫자대로
다루면 됩니다

64
00:03:10,970 --> 00:03:13,260
그럼 100x가 
어떤 수인지 알아봅시다

65
00:03:13,260 --> 00:03:15,530
100x

66
00:03:15,530 --> 00:03:17,010
그러면 소숫점은 
움직여봅시다

67
00:03:17,010 --> 00:03:18,370
원래 위치를 
명심하고

68
00:03:18,370 --> 00:03:20,860
100을 곱하면 
소숫점은 두 칸 움직입니다

69
00:03:20,860 --> 00:03:24,830
그러면 100x는 
여기에 이렇게 써보면

70
00:03:24,830 --> 00:03:30,750
340.28282828... 에서 
28이 반복되는 숫자겠네요

71
00:03:30,750 --> 00:03:32,220
28이 10의 자리부터 
반복된다고 할 수 있지만

72
00:03:32,220 --> 00:03:33,010
그러면 별로 소용이 없겠죠?

73
00:03:33,010 --> 00:03:34,670
반복되는 부분이 소숫점 뒤에 
나타나도록 하는 것이 좋습니다

74
00:03:34,670 --> 00:03:37,340
그래서 소숫점 앞에 28을 쓰고 그 뒤에서부터 반복된다는 
것을 표시합시다

75
00:03:37,340 --> 00:03:39,710
이제 신기한 일이 
나타날 것입니다

76
00:03:39,710 --> 00:03:42,400
이 두 숫자들은
x의 배수입니다

77
00:03:42,400 --> 00:03:45,790
위의 10,000x에서 
아래의 100x를 빼면

78
00:03:45,790 --> 00:03:46,710
어떤 일이 나타날까요?

79
00:03:46,710 --> 00:03:48,530
끊임없이 반복되는 부분이 
없어지겠죠?

80
00:03:48,530 --> 00:03:49,170
자, 해 봅시다

81
00:03:49,170 --> 00:03:52,280
각 식의 양변에서 
모두 뺴야겠죠?

82
00:03:52,280 --> 00:03:53,230
빼봅시다

83
00:03:53,230 --> 00:04:00,400
좌변에서는 
10,000x에서 100x를 빼면

84
00:04:00,400 --> 00:04:03,620
9,900x가 될 것이고

85
00:04:03,620 --> 00:04:06,960
우변에서는 
소숫점 아래는

86
00:04:06,960 --> 00:04:08,230
모두 없어질 것입니다

87
00:04:08,230 --> 00:04:12,030
그러면 34,028 - 340가 
무엇인지만 알아내면 됩니다

88
00:04:12,030 --> 00:04:14,120
알아내 봅시다

89
00:04:14,120 --> 00:04:16,650
8이 0보다 크므로 
그냥 계산하고 


90
00:04:16,650 --> 00:04:19,769
2는 4보다 작습니다

91
00:04:19,769 --> 00:04:22,200
받아내림해야 하지만

92
00:04:22,200 --> 00:04:25,510
앞의 자리의 수가 0이므로 
아직은 빌릴 수 없겠군요

93
00:04:25,510 --> 00:04:27,710
앞에서 0이 3보다 작으므로 
숫자들을 재조합하기 위해

94
00:04:27,710 --> 00:04:29,000
앞의 자리에서 수를 빌려오죠

95
00:04:29,000 --> 00:04:31,770
4에서부터 먼저 
수를 빌려오겠습니다

96
00:04:31,770 --> 00:04:36,590
4로부터 수를 빌려오면 
4는 3이 되고

97
00:04:36,590 --> 00:04:38,140
0은 10이 됩니다

98
00:04:38,140 --> 00:04:40,460
그러면 2는 10으로부터 
빌려올 수 있습니다

99
00:04:40,460 --> 00:04:44,090
그러면 10은 9가 되고 
2는 12가 됩니다

100
00:04:44,090 --> 00:04:45,820
그러면 이제 뺄셈을 
할 수 있겠군요?

101
00:04:45,820 --> 00:04:48,390
8 - 0은 8입니다

102
00:04:48,390 --> 00:04:51,110
12 - 4는 8입니다

103
00:04:51,110 --> 00:04:53,880
9 - 3은 6입니다

104
00:04:53,880 --> 00:04:55,920
3에서 아무것도 
안 빼면 3입니다

105
00:04:55,920 --> 00:04:57,950
3에서 아무것도 
안 빼면 3입니다

106
00:04:57,950 --> 00:05:05,320
따라서 9,990x는 
33,488입니다

107
00:05:05,320 --> 00:05:09,180
위의 34028에서 
340을 뺐으므로

108
00:05:09,180 --> 00:05:13,110
아래에는 33,688이 
남습니다

109
00:05:13,110 --> 00:05:15,710
x의 값을 알기 위해서

110
00:05:15,710 --> 00:05:21,610
양변을 9,900으로 나눕시다

111
00:05:21,610 --> 00:05:23,990
좌변을 9,990으로 나눕시다

112
00:05:23,990 --> 00:05:26,900
우변을 9,990으로 나눕시다

113
00:05:26,900 --> 00:05:28,000
그러면 어떤 식이 나옵니까?

114
00:05:28,000 --> 00:05:36,850
x가 33,688/9,900와 같다는 것을 
알 수 있습니다

115
00:05:36,850 --> 00:05:38,550
어려워 할 필요 없습니다

116
00:05:38,550 --> 00:05:41,900
x는 이 숫자였던 겁니다

117
00:05:41,900 --> 00:05:44,580
x는 끊임없이 반복되는 
부분이 있는 숫자였습니다

118
00:05:44,580 --> 00:05:47,500
곱셈을 통한 식의 변형과

119
00:05:47,500 --> 00:05:49,660
변형된 식들을 
서로 빼서 우리는

120
00:05:49,660 --> 00:05:52,530
x를 분수로 
표현할 수 있었습니다

121
00:05:52,530 --> 00:05:55,780
이 분수는 
기약분수는 아닙니다

122
00:05:55,780 --> 00:05:58,900
분모와 분자는 둘 다 
2와 4로 약분이 가능해 보입니다

123
00:05:58,900 --> 00:06:01,960
따라서 이 분수를 
기약분수로 표현할 수 있겠지만

124
00:06:01,960 --> 00:06:02,910
일단 그건 상관하지
않기로 합시다

125
00:06:02,910 --> 00:06:05,055
여기서 중요하게 봐야 할 것은

126
00:06:05,055 --> 00:06:09,050
x를 분수로 나타낼 수 
있다는 사실입니다

127
00:06:09,050 --> 00:06:11,620
두 개의 정수의 비로 말입니다

128
00:06:11,620 --> 00:06:14,720
이 수는 유리수입니다

129
00:06:14,720 --> 00:06:16,550
이 수는 유리수입니다

130
00:06:16,550 --> 00:06:19,010
여기서 푼 방법은 
이 숫자에만

131
00:06:19,010 --> 00:06:20,700
적용되는 것이 아닙니다

132
00:06:20,700 --> 00:06:22,250
끊임없이 일정하게 
반복되는 수라면

133
00:06:22,250 --> 00:06:25,000
이 방법으로 
값을 구할 수 있습니다

134
00:06:25,000 --> 00:06:27,530
따라서 순환소수는 
전체적으로 유리수입니다

135
00:06:27,530 --> 00:06:30,940
진짜 무리수들은 
어느 부분이 반복되지 않습니다

136
00:06:30,940 --> 00:06:32,450
파이와 같이 말이죠

137
00:06:32,450 --> 00:06:34,590
다른 것들은 
꽤 명확해 보입니다

138
00:06:34,590 --> 00:06:35,810
이 수는 정수가 아닙니다

139
00:06:35,810 --> 00:06:37,410
정수들은 여기서 다루고 있는

140
00:06:37,410 --> 00:06:38,020
범자연수입니다

141
00:06:38,020 --> 00:06:40,390
따라서 이 수는 
어떤 정수 사이에 있습니다

142
00:06:40,390 --> 00:06:43,360
이 수는 자연수도 아니고 
범자연수도 아닙니다

143
00:06:43,360 --> 00:06:46,240
범자연수는 어떤 면에서 
정수에 일부분이라고 볼 수 있습니다

144
00:06:46,240 --> 00:06:47,520
따라서 x는 범자연수도 
정수도 아닙니다

145
00:06:47,520 --> 00:06:50,740
따라서 이 숫자는 
실수이며 유리수입니다