Ý nghĩa của các con số vô tỉ - Ganesh Pai

Xem bài đầy đủ: http://ed.ted.com/lessons/making-sense-of-irrational-numbers-ganesh-pai

Giống như các vị anh hùng trong thần thoại Hy Lạp, nhà hiền triết Hippasus được đồn đoán là đã bị trừng phạt đến chết bởi các vị thần. Nhưng tội lỗi của ông là gì? Có phải ông đã giết người, hay mạo phạm một nghi lễ thiêng liêng? Không, tội lỗi của Hippasus là đã chứng minh toán học điều mà cho tới lúc đó không thể chứng minh. Ganesh Pai đã trình bày lịch sử và toán học phía sau các con số vô tỉ.

Bài học bởi Ganesh Pai, minh hoạ bởi Anton Trofimov.

Giống như nhiều anh hùng
trong thần thoại Hy Lạp,

nhà hiền triết Hippasus được đồn rằng

đã bị trừng phạt đến chết
bởi các vị thần.

Nhưng tội lỗi của ông là gì?

Có phải ông đã giết người,

hay mạo phạm
một nghi lễ thiêng liêng?

Không, tội của Hippasus
là một chứng minh toán học:

sự khám phá ra số vô tỉ.

Hippasus nằm trong một nhóm
gọi là các nhà toán học Pythagore

những người có sự tôn kính
tôn giáo dành cho các con số.

Châm ngôn của họ,
"Tất cả là số",

nói rằng các con số
là những viên gạch xây dựng Vũ trụ

và cho rằng tất cả mọi thứ
từ vũ trụ học và siêu hình học

đến âm nhạc và đạo đức
đều đi theo các quy tắc vĩnh cửu

được gọi là tỉ số.

Vì vậy, bất cứ con số nào
đều có thể viết thành một tỉ lệ.

5 thành 5/1,

0.5 thành 1/2

và cứ như thế.

Ngay cả số thập phân kéo dài vô hạn
này có thể được viết chính xác là 34/45.

Tất cả những số này
ngày nay chúng ta gọi là số hữu tỉ.

Nhưng Hippasus tìm ra một con số
vi phạm nguyên tắc hài hoà này,

con số đã từng
không được phép tồn tại.

Vấn đề bắt đầu với một hình đơn giản,

hình vuông với mỗi cạnh
tương ứng một đơn vị.

Theo định lý Pythagore,

độ dài đường chéo
sẽ là căn bậc hai của 2,

nhưng cố gắng hết sức,
Hippasus không thể

biểu diễn nó bằng
tỉ lệ của hai số nguyên.

Thay vì từ bỏ, ông quyết định
sẽ chứng minh điều này là không thể.

Hippasus bắt đầu bằng giả sử rằng suy nghĩ
của các nhà toán học Pythagore là đúng,

rằng căn bậc hai của 2 có thể diễn tả
thành tỉ số của hai số nguyên.

Gọi hai số nguyên giả định này
là p và q.

Giả sử tỉ lệ này đã được rút gọn
đến thể tối giản,

tức p và q không thể có
ước số chung khác 1.

Để chứng minh rằng
căn 2 không phải số hữu tỉ,

Hippasus chỉ cần chứng minh rằng
p/q không thể tồn tại.

Vì vậy, ông nhân cả hai vế
của phương trình với q

và bình phương hai vế,

kết quả cho ông phương trình này.

Một số bất kỳ nhân 2
cho ra một số chẵn,

nên p^2 phải là số chẵn.

Điều này là không thể
nếu p là số lẻ

bởi vì số lẻ nhân với chính nó
luôn luôn cho số lẻ,

vậy nên p cũng là số chẵn.

Vì vây, p có thể được biểu diễn bằng 2a,
trong đó a là một số nguyên.

Thay vào phương trình và tối giản

ta có q² = 2a².

Tương tự, hai lần một số bất kỳ
cho ta một số chẵn,

nên q² phải là số chẵn,

và q cũng phải là số chẵn,

vậy cả p và q là số chẵn.

Nhưng nếu điều này đúng,
thì chúng có ước chung là 2,

điều này mâu thuẫn với
giả thiết ban đầu,

và đó là cách Hippasus kết luận rằng
không có tỉ số như vậy tồn tại.

Đó gọi là chứng minh bằng phản chứng,

và theo như truyền thuyết,

các vị thần không đánh giá cao
việc bị phản chứng.

Điều thú vị là, mặc dù chúng ta
không thể biểu diễn số vô tỉ

bằng tỉ lệ của các số nguyên,

Ta có thể biểu thị chính xác
một số trong số chúng trên trục số.

Lấy căn bậc hai của 2.

Những gì ta cần là tạo tam giác vuông có
mỗi cạnh góc vuông tương ứng một đơn vị.

Cạnh huyền có chiều dài là căn 2,
có thể được biểu diễn trên trục thế này.

Ta có thể tạo một góc vuông nữa

với đáy là chiều dài đó
và một đơn vị chiều cao,

và cạnh huyền của nó bằng
căn bậc hai của 3,

cũng có thể được biểu diễn
trên trục thế này.

Chìa khoá ở đây là số thập phân và tỉ lệ

chỉ là những cách để diễn tả các con số.

Căn bậc hai của 2 đơn giản là
cạnh huyền của một tam giác vuông

với hai cạnh bên
có chiều dài một.

Tương tự, số vô tỉ nổi tiếng pi

luôn luôn bằng chính xác
cái mà nó đại diện,

tỉ lệ của chu vi một đường tròn
bất kì với đường kính của nó.

Xấp xỉ 22/7,

hay 335/113

sẽ không bao giờ bằng chính xác pi.

Chúng ta sẽ không bao giờ biết
điều gì thực sự xảy ra với Hippasus,

nhưng chúng ta biết rằng

khám phá của ông
là một cuộc cách mạng toán học.

Vậy nên, dù thần thoại nói
thế nào đi nữa,

thì cũng đừng sợ hãi
khám phá những điều không thể.