Giống như nhiều anh hùng trong thần thoại Hy Lạp,
nhà hiền triết Hippasus được đồn rằng
đã bị trừng phạt đến chết bởi các vị thần.
Nhưng tội lỗi của ông là gì?
Có phải ông đã giết người,
hay mạo phạm một nghi lễ thiêng liêng?
Không, tội của Hippasus là một chứng minh toán học:
sự khám phá ra số vô tỉ.
Hippasus nằm trong một nhóm gọi là các nhà toán học Pythagore
những người có sự tôn kính tôn giáo dành cho các con số.
Châm ngôn của họ, "Tất cả là số",
nói rằng các con số là những viên gạch xây dựng Vũ trụ
và cho rằng tất cả mọi thứ từ vũ trụ học và siêu hình học
đến âm nhạc và đạo đức đều đi theo các quy tắc vĩnh cửu
được gọi là tỉ số.
Vì vậy, bất cứ con số nào đều có thể viết thành một tỉ lệ.
5 thành 5/1,
0.5 thành 1/2
và cứ như thế.
Ngay cả số thập phân kéo dài vô hạn này có thể được viết chính xác là 34/45.
Tất cả những số này ngày nay chúng ta gọi là số hữu tỉ.
Nhưng Hippasus tìm ra một con số vi phạm nguyên tắc hài hoà này,
con số đã từng không được phép tồn tại.
Vấn đề bắt đầu với một hình đơn giản,
hình vuông với mỗi cạnh tương ứng một đơn vị.
Theo định lý Pythagore,
độ dài đường chéo sẽ là căn bậc hai của 2,
nhưng cố gắng hết sức, Hippasus không thể
biểu diễn nó bằng tỉ lệ của hai số nguyên.
Thay vì từ bỏ, ông quyết định sẽ chứng minh điều này là không thể.
Hippasus bắt đầu bằng giả sử rằng suy nghĩ của các nhà toán học Pythagore là đúng,
rằng căn bậc hai của 2 có thể diễn tả thành tỉ số của hai số nguyên.
Gọi hai số nguyên giả định này là p và q.
Giả sử tỉ lệ này đã được rút gọn đến thể tối giản,
tức p và q không thể có ước số chung khác 1.
Để chứng minh rằng căn 2 không phải số hữu tỉ,
Hippasus chỉ cần chứng minh rằng p/q không thể tồn tại.
Vì vậy, ông nhân cả hai vế của phương trình với q
và bình phương hai vế,
kết quả cho ông phương trình này.
Một số bất kỳ nhân 2 cho ra một số chẵn,
nên p^2 phải là số chẵn.
Điều này là không thể nếu p là số lẻ
bởi vì số lẻ nhân với chính nó luôn luôn cho số lẻ,
vậy nên p cũng là số chẵn.
Vì vây, p có thể được biểu diễn bằng 2a, trong đó a là một số nguyên.
Thay vào phương trình và tối giản
ta có q² = 2a².
Tương tự, hai lần một số bất kỳ cho ta một số chẵn,
nên q² phải là số chẵn,
và q cũng phải là số chẵn,
vậy cả p và q là số chẵn.
Nhưng nếu điều này đúng, thì chúng có ước chung là 2,
điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu,
và đó là cách Hippasus kết luận rằng không có tỉ số như vậy tồn tại.
Đó gọi là chứng minh bằng phản chứng,
và theo như truyền thuyết,
các vị thần không đánh giá cao việc bị phản chứng.
Điều thú vị là, mặc dù chúng ta không thể biểu diễn số vô tỉ
bằng tỉ lệ của các số nguyên,
Ta có thể biểu thị chính xác một số trong số chúng trên trục số.
Lấy căn bậc hai của 2.
Những gì ta cần là tạo tam giác vuông có mỗi cạnh góc vuông tương ứng một đơn vị.
Cạnh huyền có chiều dài là căn 2, có thể được biểu diễn trên trục thế này.
Ta có thể tạo một góc vuông nữa
với đáy là chiều dài đó và một đơn vị chiều cao,
và cạnh huyền của nó bằng căn bậc hai của 3,
cũng có thể được biểu diễn trên trục thế này.
Chìa khoá ở đây là số thập phân và tỉ lệ
chỉ là những cách để diễn tả các con số.
Căn bậc hai của 2 đơn giản là cạnh huyền của một tam giác vuông
với hai cạnh bên có chiều dài một.
Tương tự, số vô tỉ nổi tiếng pi
luôn luôn bằng chính xác cái mà nó đại diện,
tỉ lệ của chu vi một đường tròn bất kì với đường kính của nó.
Xấp xỉ 22/7,
hay 335/113
sẽ không bao giờ bằng chính xác pi.
Chúng ta sẽ không bao giờ biết điều gì thực sự xảy ra với Hippasus,
nhưng chúng ta biết rằng
khám phá của ông là một cuộc cách mạng toán học.
Vậy nên, dù thần thoại nói thế nào đi nữa,
thì cũng đừng sợ hãi khám phá những điều không thể.