무리수의 이해
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0:07 - 0:09그리스 신화의 많은 영웅들처럼
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0:09 - 0:14철학자 히파수스는 신들에게
천벌을 받았다는 소문이 돌았습니다. -
0:14 - 0:16그런데 그의 죄목은 무엇이었을까요?
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0:16 - 0:17그가 사람을 죽였을까요?
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0:17 - 0:19아니면 신성한 의식을 방해했을까요?
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0:19 - 0:27아니오, 그의 죄목은 '무리수의 발견'이라는
수학적 증명이었습니다. -
0:27 - 0:30히파수스는 피타고라스학파라고 불리는
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0:30 - 0:33숫자들을 숭배하는 그룹에
속해있었습니다. -
0:33 - 0:35"만물은 수이다"라는
그들의 믿음에 따르면 -
0:35 - 0:39숫자들이 우주의 만물을
구성하는 요소였습니다. -
0:39 - 0:45그들은 우주론이나 형이상학에서부터
음악이나 윤리적인 모든 것들이 -
0:45 - 0:50숫자들의 비율로 표현 될 수 있는
불변의 규칙을 따른다고 믿었습니다. -
0:50 - 0:53따라서 모든 수들은
분수로 쓰여질 수 있다고 믿었으며 -
0:53 - 0:565는 5/1
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0:56 - 0:590.5는 1/2
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0:59 - 1:01등으로 쓸 수 있고
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1:01 - 1:08심지어 이런 무한소수도
34/45로 정확하게 표현하였습니다. -
1:08 - 1:11이런 수들은 현재 우리가
유리수라고 부르는 것들이지요. -
1:11 - 1:16하지만 히파수스는 이런 조화로운 규칙을
위반하는 하나의 수를 발견했습니다. -
1:16 - 1:19존재해서는 안되는 수였지요.
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1:19 - 1:25문제는 한 변의 길이가 각각 1인
단순한 정사각형에서 시작했습니다. -
1:25 - 1:27피타고라스 정리에 따르면
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1:27 - 1:30이 도형의 대각선의 길이는
루트 2일 것입니다. -
1:30 - 1:32그런데 히파수스는 아무리노력해도
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1:32 - 1:36그 수를 정수의 비로
나타낼 수 없었습니다. -
1:36 - 1:37하지만 그는 여기서 포기하지 않고
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1:37 - 1:40이것이 불가능하다는 것을
증명하려고했습니다. -
1:40 - 1:44히파수스는 피타고라스학파의
세계관이 옳다는것과 -
1:44 - 1:49따라서 루트2도 두 정수의 분수로
표현될 수 있다는 가정으로 시작했습니다. -
1:49 - 1:53그는 이 임의의 정수를
각 각 p와 q로 표현했습니다. -
1:53 - 1:56이 분수가 가장 간단한 형태로
약분된다고 가정하면 -
1:56 - 2:00p와 q는 공약수를 가지지 않습니다.
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2:00 - 2:03루트2를 비율로 나타낼 수 없다는 것을
증명하기 위해서는 -
2:03 - 2:08이런 p와 q가 존재하지 않음을
증명하면 되었지요. -
2:08 - 2:11그래서 그는 등식의 양변에 q를 곱하고
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2:11 - 2:13그 양변을 제곱했습니다.
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2:13 - 2:15그러면 이런 등식이나오지요.
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2:15 - 2:19어떤 수를 2로 곱하면
그 결과는 짝수가 되므로 -
2:19 - 2:22p의 제곱도 짝수여야만 했습니다.
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2:22 - 2:25p가 홀수라면 이는 성립할 수 없는데
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2:25 - 2:28홀수의 제곱은 항상
홀수이기 때문입니다. -
2:28 - 2:31따라서 p역시 짝수가 되어야 했습니다.
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2:31 - 2:36그러므로 p는 정수 a를 이용해서
2a라고 표현 할 수 있었고 -
2:36 - 2:39방정식에 이것을 대입하고 약분하면
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2:39 - 2:43q^2=2a^2라는 식이 나왔습니다.
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2:43 - 2:47이번에도, 어떤 숫자를
2로 곱하면 짝수가 되므로 -
2:47 - 2:50q의 제곱은 반드시 짝수여야 하고
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2:50 - 2:52따라서 q역시 짝수여야만 했습니다.
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2:52 - 2:54결국 p와 q 둘 다
짝수가 되어야 했지요. -
2:54 - 2:58하지만 그것이 참이라면
이들은 2라는 공약수를 갖게 되고 -
2:58 - 3:01최초의 가정과 모순이 되었습니다.
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3:01 - 3:02그리고 히파수스는
바로 이런 과정을 통해서 -
3:02 - 3:05이런 비가 존재하지 않는 다는
결론을 내렸습니다. -
3:05 - 3:07이런 방법을 모순증명법이라고 부르지요.
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3:07 - 3:08그리고 전설에 따르면
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3:08 - 3:11신들은 이런 모순의 증명을
달가워하지 않았다고 합니다. -
3:11 - 3:17흥미롭게도, 비록 무리수를
정수의 비로 표현할 수는 없지만 -
3:17 - 3:21이들을 수직선 위에 정확하게
표현하는 것은 가능합니다. -
3:21 - 3:22루트 2를 예로 둘어봅시다.
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3:22 - 3:28두 변의 길이가 1인
직각삼각형을 만들어 보면 -
3:28 - 3:31빗변의 길이는 루트 2가 되는데
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3:31 - 3:33이 값은 이렇게 수직선에
나타낼 수 있지요. -
3:33 - 3:36여기서 다시 밑변의 길이가 루트 2이며
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3:36 - 3:38높이가 1인 또 다른
직각삼각형을 그리면 -
3:38 - 3:41이 삼각형의 빗변의 길이는
루트 3이 되며 -
3:41 - 3:44이 값도 이렇게
수직선에 나타낼 수 있겠지요. -
3:44 - 3:45이를 통해 알 수 있는 것은
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3:45 - 3:49소수와 분수가 수를 표현하는
방법 중 일부라는 것입니다. -
3:49 - 3:55루트 2는 각변의 길이가 1인
직삼각형의 빗변의 길이입니다. -
3:55 - 3:58비슷하게, 잘알려진 무리수인 파이는
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3:58 - 4:05그것이 나타내는 정확한 값인
원주에 대한 지름의 비와 일치합니다. -
4:05 - 4:08근사값인 22/7이나
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4:08 - 4:14355/113도 파이값과 정확히
일치하지는 않습니다. -
4:14 - 4:16히파수스에게 진짜 무슨 일이
일어났는 지는 알 수 없지만 -
4:16 - 4:21그의 발견이 수학에 혁신을
일으켰다는 것은 알고있습니다. -
4:21 - 4:25그러니 여러분도 겁먹지 말고
불가능해 보이는 것을 시도해 보세요.
- Title:
- 무리수의 이해
- Speaker:
- 가네쉬 파이(Ganesh Pai)
- Description:
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전체 강의 보기: http://ed.ted.com/lessons/making-sense-of-irrational-numbers-ganesh-pai
그리스 신화의 많은 영웅들처럼, 철학자 히파수스는 신들에 의해 천벌을 받았다고 알려졌었습니다. 그런데 그의 죄는 무엇이었을까요? 그가 사람을 죽이거나 신성한 의식을 방해했을까요? 아닙니다. 히파수스의 죄목은 누구도 증명하지 못한 것을 증명한 것이었습니다. 가네쉬 파이씨는 무리수와 관련된 역사와 수학에 대해 설명해줍니다.
강의: 가네쉬 파이(Ganesh Pai)
영상: 안톤 트로피모브(Anton Trofimov) - Video Language:
- English
- Team:
- closed TED
- Project:
- TED-Ed
- Duration:
- 04:41
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Won Jang edited Korean subtitles for Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai |