그리스 신화의 많은 영웅들처럼
철학자 히파수스는 신들에게 천벌을 받았다는 소문이 돌았습니다.
그런데 그의 죄목은 무엇이었을까요?
그가 사람을 죽였을까요?
아니면 신성한 의식을 방해했을까요?
아니오, 그의 죄목은 '무리수의 발견'이라는 수학적 증명이었습니다.
히파수스는 피타고라스학파라고 불리는
숫자들을 숭배하는 그룹에 속해있었습니다.
"만물은 수이다"라는 그들의 믿음에 따르면
숫자들이 우주의 만물을 구성하는 요소였습니다.
그들은 우주론이나 형이상학에서부터 음악이나 윤리적인 모든 것들이
숫자들의 비율로 표현 될 수 있는 불변의 규칙을 따른다고 믿었습니다.
따라서 모든 수들은 분수로 쓰여질 수 있다고 믿었으며
5는 5/1
0.5는 1/2
등으로 쓸 수 있고
심지어 이런 무한소수도 34/45로 정확하게 표현하였습니다.
이런 수들은 현재 우리가 유리수라고 부르는 것들이지요.
하지만 히파수스는 이런 조화로운 규칙을 위반하는 하나의 수를 발견했습니다.
존재해서는 안되는 수였지요.
문제는 한 변의 길이가 각각 1인 단순한 정사각형에서 시작했습니다.
피타고라스 정리에 따르면
이 도형의 대각선의 길이는 루트 2일 것입니다.
그런데 히파수스는 아무리노력해도
그 수를 정수의 비로 나타낼 수 없었습니다.
하지만 그는 여기서 포기하지 않고
이것이 불가능하다는 것을 증명하려고했습니다.
히파수스는 피타고라스학파의 세계관이 옳다는것과
따라서 루트2도 두 정수의 분수로 표현될 수 있다는 가정으로 시작했습니다.
그는 이 임의의 정수를 각 각 p와 q로 표현했습니다.
이 분수가 가장 간단한 형태로 약분된다고 가정하면
p와 q는 공약수를 가지지 않습니다.
루트2를 비율로 나타낼 수 없다는 것을 증명하기 위해서는
이런 p와 q가 존재하지 않음을 증명하면 되었지요.
그래서 그는 등식의 양변에 q를 곱하고
그 양변을 제곱했습니다.
그러면 이런 등식이나오지요.
어떤 수를 2로 곱하면 그 결과는 짝수가 되므로
p의 제곱도 짝수여야만 했습니다.
p가 홀수라면 이는 성립할 수 없는데
홀수의 제곱은 항상 홀수이기 때문입니다.
따라서 p역시 짝수가 되어야 했습니다.
그러므로 p는 정수 a를 이용해서 2a라고 표현 할 수 있었고
방정식에 이것을 대입하고 약분하면
q^2=2a^2라는 식이 나왔습니다.
이번에도, 어떤 숫자를 2로 곱하면 짝수가 되므로
q의 제곱은 반드시 짝수여야 하고
따라서 q역시 짝수여야만 했습니다.
결국 p와 q 둘 다 짝수가 되어야 했지요.
하지만 그것이 참이라면 이들은 2라는 공약수를 갖게 되고
최초의 가정과 모순이 되었습니다.
그리고 히파수스는 바로 이런 과정을 통해서
이런 비가 존재하지 않는 다는 결론을 내렸습니다.
이런 방법을 모순증명법이라고 부르지요.
그리고 전설에 따르면
신들은 이런 모순의 증명을 달가워하지 않았다고 합니다.
흥미롭게도, 비록 무리수를 정수의 비로 표현할 수는 없지만
이들을 수직선 위에 정확하게 표현하는 것은 가능합니다.
루트 2를 예로 둘어봅시다.
두 변의 길이가 1인 직각삼각형을 만들어 보면
빗변의 길이는 루트 2가 되는데
이 값은 이렇게 수직선에 나타낼 수 있지요.
여기서 다시 밑변의 길이가 루트 2이며
높이가 1인 또 다른 직각삼각형을 그리면
이 삼각형의 빗변의 길이는 루트 3이 되며
이 값도 이렇게 수직선에 나타낼 수 있겠지요.
이를 통해 알 수 있는 것은
소수와 분수가 수를 표현하는 방법 중 일부라는 것입니다.
루트 2는 각변의 길이가 1인 직삼각형의 빗변의 길이입니다.
비슷하게, 잘알려진 무리수인 파이는
그것이 나타내는 정확한 값인 원주에 대한 지름의 비와 일치합니다.
근사값인 22/7이나
355/113도 파이값과 정확히 일치하지는 않습니다.
히파수스에게 진짜 무슨 일이 일어났는 지는 알 수 없지만
그의 발견이 수학에 혁신을 일으켰다는 것은 알고있습니다.
그러니 여러분도 겁먹지 말고 불가능해 보이는 것을 시도해 보세요.