1
00:00:06,951 --> 00:00:08,713
그리스 신화의 많은 영웅들처럼

2
00:00:08,713 --> 00:00:13,930
철학자 히파수스는 신들에게 
천벌을 받았다는 소문이 돌았습니다.

3
00:00:13,930 --> 00:00:15,606
그런데 그의 죄목은 무엇이었을까요?

4
00:00:15,606 --> 00:00:16,957
그가 사람을 죽였을까요?

5
00:00:16,957 --> 00:00:19,304
아니면 신성한 의식을 방해했을까요?

6
00:00:19,304 --> 00:00:26,583
아니오, 그의 죄목은 '무리수의 발견'이라는 
수학적 증명이었습니다.

7
00:00:26,583 --> 00:00:30,311
히파수스는 피타고라스학파라고 불리는

8
00:00:30,311 --> 00:00:32,922
숫자들을 숭배하는 그룹에 
속해있었습니다.

9
00:00:32,922 --> 00:00:35,463
"만물은 수이다"라는 
그들의 믿음에 따르면

10
00:00:35,463 --> 00:00:39,013
숫자들이 우주의 만물을 
구성하는 요소였습니다.

11
00:00:39,013 --> 00:00:44,967
그들은 우주론이나 형이상학에서부터
음악이나 윤리적인 모든 것들이

12
00:00:44,967 --> 00:00:50,125
숫자들의 비율로 표현 될 수 있는
불변의 규칙을 따른다고 믿었습니다.

13
00:00:50,125 --> 00:00:53,488
따라서 모든 수들은 
분수로 쓰여질 수 있다고 믿었으며

14
00:00:53,488 --> 00:00:55,995
5는 5/1

15
00:00:55,995 --> 00:00:59,085
0.5는 1/2

16
00:00:59,085 --> 00:01:00,505
등으로 쓸 수 있고

17
00:01:00,505 --> 00:01:07,907
심지어 이런 무한소수도 
34/45로 정확하게 표현하였습니다.

18
00:01:07,907 --> 00:01:11,421
이런 수들은 현재 우리가 
유리수라고 부르는 것들이지요.

19
00:01:11,421 --> 00:01:16,051
하지만 히파수스는 이런 조화로운 규칙을
위반하는 하나의 수를 발견했습니다.

20
00:01:16,051 --> 00:01:18,825
존재해서는 안되는 수였지요.

21
00:01:18,825 --> 00:01:24,855
문제는 한 변의 길이가 각각 1인 
단순한 정사각형에서 시작했습니다.

22
00:01:24,855 --> 00:01:26,898
피타고라스 정리에 따르면

23
00:01:26,898 --> 00:01:30,183
이 도형의 대각선의 길이는 
루트 2일 것입니다.

24
00:01:30,183 --> 00:01:32,268
그런데 히파수스는 아무리노력해도


25
00:01:32,268 --> 00:01:35,528
그 수를 정수의 비로 
나타낼 수 없었습니다.

26
00:01:35,528 --> 00:01:36,839
하지만 그는 여기서 포기하지 않고

27
00:01:36,839 --> 00:01:39,839
이것이 불가능하다는 것을 
증명하려고했습니다.

28
00:01:39,839 --> 00:01:44,196
히파수스는 피타고라스학파의 
세계관이 옳다는것과

29
00:01:44,196 --> 00:01:49,145
따라서 루트2도 두 정수의 분수로 
표현될 수 있다는 가정으로 시작했습니다.

30
00:01:49,145 --> 00:01:52,981
그는 이 임의의 정수를 
각 각 p와 q로 표현했습니다.

31
00:01:52,981 --> 00:01:56,358
이 분수가 가장 간단한 형태로
약분된다고 가정하면

32
00:01:56,358 --> 00:01:59,957
p와 q는 공약수를 가지지 않습니다.

33
00:01:59,957 --> 00:02:02,987
루트2를 비율로 나타낼 수 없다는 것을
증명하기 위해서는

34
00:02:02,987 --> 00:02:08,074
이런 p와 q가 존재하지 않음을
증명하면 되었지요.

35
00:02:08,074 --> 00:02:11,422
그래서 그는 등식의 양변에 q를 곱하고

36
00:02:11,422 --> 00:02:13,291
그 양변을 제곱했습니다.

37
00:02:13,291 --> 00:02:15,320
그러면 이런 등식이나오지요.

38
00:02:15,320 --> 00:02:19,274
어떤 수를 2로 곱하면
그 결과는 짝수가 되므로

39
00:02:19,274 --> 00:02:22,332
p의 제곱도 짝수여야만 했습니다.

40
00:02:22,332 --> 00:02:24,715
p가 홀수라면 이는 성립할 수 없는데

41
00:02:24,715 --> 00:02:28,154
홀수의 제곱은 항상 
홀수이기 때문입니다.

42
00:02:28,154 --> 00:02:30,702
따라서 p역시 짝수가 되어야 했습니다.

43
00:02:30,702 --> 00:02:36,176
그러므로 p는 정수 a를 이용해서
2a라고 표현 할 수 있었고

44
00:02:36,176 --> 00:02:39,074
방정식에 이것을 대입하고 약분하면

45
00:02:39,074 --> 00:02:43,248
q^2=2a^2라는 식이 나왔습니다.

46
00:02:43,248 --> 00:02:47,180
이번에도, 어떤 숫자를 
2로 곱하면 짝수가 되므로

47
00:02:47,180 --> 00:02:49,921
q의 제곱은 반드시 짝수여야 하고

48
00:02:49,921 --> 00:02:52,012
따라서 q역시 짝수여야만 했습니다.

49
00:02:52,012 --> 00:02:54,393
결국 p와 q 둘 다 
짝수가 되어야 했지요.

50
00:02:54,393 --> 00:02:57,710
하지만 그것이 참이라면
이들은 2라는 공약수를 갖게 되고

51
00:02:57,710 --> 00:03:00,576
최초의 가정과 모순이 되었습니다.

52
00:03:00,576 --> 00:03:02,216
그리고 히파수스는 
바로 이런 과정을 통해서

53
00:03:02,216 --> 00:03:04,796
이런 비가 존재하지 않는 다는
결론을 내렸습니다.

54
00:03:04,796 --> 00:03:06,756
이런 방법을 모순증명법이라고 부르지요.

55
00:03:06,756 --> 00:03:08,234
그리고 전설에 따르면

56
00:03:08,234 --> 00:03:11,453
신들은 이런 모순의 증명을
달가워하지 않았다고 합니다.

57
00:03:11,453 --> 00:03:16,798
흥미롭게도, 비록 무리수를
정수의 비로 표현할 수는 없지만

58
00:03:16,802 --> 00:03:20,891
이들을 수직선 위에 정확하게 
표현하는 것은 가능합니다.

59
00:03:20,891 --> 00:03:22,149
루트 2를 예로 둘어봅시다.

60
00:03:22,149 --> 00:03:27,844
두 변의 길이가 1인 
직각삼각형을 만들어 보면

61
00:03:27,844 --> 00:03:30,576
빗변의 길이는 루트 2가 되는데

62
00:03:30,576 --> 00:03:32,596
이 값은 이렇게 수직선에 
나타낼 수 있지요.

63
00:03:32,596 --> 00:03:36,444
여기서 다시 밑변의 길이가 루트 2이며

64
00:03:36,444 --> 00:03:38,491
높이가 1인 또 다른 
직각삼각형을 그리면

65
00:03:38,491 --> 00:03:41,135
이 삼각형의 빗변의 길이는 
루트 3이 되며

66
00:03:41,135 --> 00:03:43,932
이 값도 이렇게 
수직선에 나타낼 수 있겠지요.

67
00:03:43,932 --> 00:03:45,343
이를 통해 알 수 있는 것은

68
00:03:45,343 --> 00:03:48,953
소수와 분수가 수를 표현하는 
방법 중 일부라는 것입니다.

69
00:03:48,953 --> 00:03:54,898
루트 2는 각변의 길이가 1인
직삼각형의 빗변의 길이입니다.

70
00:03:54,898 --> 00:03:58,259
비슷하게, 잘알려진 무리수인 파이는

71
00:03:58,259 --> 00:04:04,598
그것이 나타내는 정확한 값인
원주에 대한 지름의 비와 일치합니다.

72
00:04:04,598 --> 00:04:07,565
근사값인 22/7이나

73
00:04:07,565 --> 00:04:13,707
355/113도 파이값과 정확히 
일치하지는 않습니다.

74
00:04:13,707 --> 00:04:16,218
히파수스에게 진짜 무슨 일이 
일어났는 지는 알 수 없지만

75
00:04:16,218 --> 00:04:20,665
그의 발견이 수학에 혁신을 
일으켰다는 것은 알고있습니다.

76
00:04:20,665 --> 00:04:24,936
그러니 여러분도 겁먹지 말고
불가능해 보이는 것을 시도해 보세요.