0:00:06.951,0:00:08.713
그리스 신화의 많은 영웅들처럼

0:00:08.713,0:00:13.930
철학자 히파수스는 신들에게 [br]천벌을 받았다는 소문이 돌았습니다.

0:00:13.930,0:00:15.606
그런데 그의 죄목은 무엇이었을까요?

0:00:15.606,0:00:16.957
그가 사람을 죽였을까요?

0:00:16.957,0:00:19.304
아니면 신성한 의식을 방해했을까요?

0:00:19.304,0:00:26.583
아니오, 그의 죄목은 '무리수의 발견'이라는 [br]수학적 증명이었습니다.

0:00:26.583,0:00:30.311
히파수스는 피타고라스학파라고 불리는

0:00:30.311,0:00:32.922
숫자들을 숭배하는 그룹에 [br]속해있었습니다.

0:00:32.922,0:00:35.463
"만물은 수이다"라는 [br]그들의 믿음에 따르면

0:00:35.463,0:00:39.013
숫자들이 우주의 만물을 [br]구성하는 요소였습니다.

0:00:39.013,0:00:44.967
그들은 우주론이나 형이상학에서부터[br]음악이나 윤리적인 모든 것들이

0:00:44.967,0:00:50.125
숫자들의 비율로 표현 될 수 있는[br]불변의 규칙을 따른다고 믿었습니다.

0:00:50.125,0:00:53.488
따라서 모든 수들은 [br]분수로 쓰여질 수 있다고 믿었으며

0:00:53.488,0:00:55.995
5는 5/1

0:00:55.995,0:00:59.085
0.5는 1/2

0:00:59.085,0:01:00.505
등으로 쓸 수 있고

0:01:00.505,0:01:07.907
심지어 이런 무한소수도 [br]34/45로 정확하게 표현하였습니다.

0:01:07.907,0:01:11.421
이런 수들은 현재 우리가 [br]유리수라고 부르는 것들이지요.

0:01:11.421,0:01:16.051
하지만 히파수스는 이런 조화로운 규칙을[br]위반하는 하나의 수를 발견했습니다.

0:01:16.051,0:01:18.825
존재해서는 안되는 수였지요.

0:01:18.825,0:01:24.855
문제는 한 변의 길이가 각각 1인 [br]단순한 정사각형에서 시작했습니다.

0:01:24.855,0:01:26.898
피타고라스 정리에 따르면

0:01:26.898,0:01:30.183
이 도형의 대각선의 길이는 [br]루트 2일 것입니다.

0:01:30.183,0:01:32.268
그런데 히파수스는 아무리노력해도[br]

0:01:32.268,0:01:35.528
그 수를 정수의 비로 [br]나타낼 수 없었습니다.

0:01:35.528,0:01:36.839
하지만 그는 여기서 포기하지 않고

0:01:36.839,0:01:39.839
이것이 불가능하다는 것을 [br]증명하려고했습니다.

0:01:39.839,0:01:44.196
히파수스는 피타고라스학파의 [br]세계관이 옳다는것과

0:01:44.196,0:01:49.145
따라서 루트2도 두 정수의 분수로 [br]표현될 수 있다는 가정으로 시작했습니다.

0:01:49.145,0:01:52.981
그는 이 임의의 정수를 [br]각 각 p와 q로 표현했습니다.

0:01:52.981,0:01:56.358
이 분수가 가장 간단한 형태로[br]약분된다고 가정하면

0:01:56.358,0:01:59.957
p와 q는 공약수를 가지지 않습니다.

0:01:59.957,0:02:02.987
루트2를 비율로 나타낼 수 없다는 것을[br]증명하기 위해서는

0:02:02.987,0:02:08.074
이런 p와 q가 존재하지 않음을[br]증명하면 되었지요.

0:02:08.074,0:02:11.422
그래서 그는 등식의 양변에 q를 곱하고

0:02:11.422,0:02:13.291
그 양변을 제곱했습니다.

0:02:13.291,0:02:15.320
그러면 이런 등식이나오지요.

0:02:15.320,0:02:19.274
어떤 수를 2로 곱하면[br]그 결과는 짝수가 되므로

0:02:19.274,0:02:22.332
p의 제곱도 짝수여야만 했습니다.

0:02:22.332,0:02:24.715
p가 홀수라면 이는 성립할 수 없는데

0:02:24.715,0:02:28.154
홀수의 제곱은 항상 [br]홀수이기 때문입니다.

0:02:28.154,0:02:30.702
따라서 p역시 짝수가 되어야 했습니다.

0:02:30.702,0:02:36.176
그러므로 p는 정수 a를 이용해서[br]2a라고 표현 할 수 있었고

0:02:36.176,0:02:39.074
방정식에 이것을 대입하고 약분하면

0:02:39.074,0:02:43.248
q^2=2a^2라는 식이 나왔습니다.

0:02:43.248,0:02:47.180
이번에도, 어떤 숫자를 [br]2로 곱하면 짝수가 되므로

0:02:47.180,0:02:49.921
q의 제곱은 반드시 짝수여야 하고

0:02:49.921,0:02:52.012
따라서 q역시 짝수여야만 했습니다.

0:02:52.012,0:02:54.393
결국 p와 q 둘 다 [br]짝수가 되어야 했지요.

0:02:54.393,0:02:57.710
하지만 그것이 참이라면[br]이들은 2라는 공약수를 갖게 되고

0:02:57.710,0:03:00.576
최초의 가정과 모순이 되었습니다.

0:03:00.576,0:03:02.216
그리고 히파수스는 [br]바로 이런 과정을 통해서

0:03:02.216,0:03:04.796
이런 비가 존재하지 않는 다는[br]결론을 내렸습니다.

0:03:04.796,0:03:06.756
이런 방법을 모순증명법이라고 부르지요.

0:03:06.756,0:03:08.234
그리고 전설에 따르면

0:03:08.234,0:03:11.453
신들은 이런 모순의 증명을[br]달가워하지 않았다고 합니다.

0:03:11.453,0:03:16.798
흥미롭게도, 비록 무리수를[br]정수의 비로 표현할 수는 없지만

0:03:16.802,0:03:20.891
이들을 수직선 위에 정확하게 [br]표현하는 것은 가능합니다.

0:03:20.891,0:03:22.149
루트 2를 예로 둘어봅시다.

0:03:22.149,0:03:27.844
두 변의 길이가 1인 [br]직각삼각형을 만들어 보면

0:03:27.844,0:03:30.576
빗변의 길이는 루트 2가 되는데

0:03:30.576,0:03:32.596
이 값은 이렇게 수직선에 [br]나타낼 수 있지요.

0:03:32.596,0:03:36.444
여기서 다시 밑변의 길이가 루트 2이며

0:03:36.444,0:03:38.491
높이가 1인 또 다른 [br]직각삼각형을 그리면

0:03:38.491,0:03:41.135
이 삼각형의 빗변의 길이는 [br]루트 3이 되며

0:03:41.135,0:03:43.932
이 값도 이렇게 [br]수직선에 나타낼 수 있겠지요.

0:03:43.932,0:03:45.343
이를 통해 알 수 있는 것은

0:03:45.343,0:03:48.953
소수와 분수가 수를 표현하는 [br]방법 중 일부라는 것입니다.

0:03:48.953,0:03:54.898
루트 2는 각변의 길이가 1인[br]직삼각형의 빗변의 길이입니다.

0:03:54.898,0:03:58.259
비슷하게, 잘알려진 무리수인 파이는

0:03:58.259,0:04:04.598
그것이 나타내는 정확한 값인[br]원주에 대한 지름의 비와 일치합니다.

0:04:04.598,0:04:07.565
근사값인 22/7이나

0:04:07.565,0:04:13.707
355/113도 파이값과 정확히 [br]일치하지는 않습니다.

0:04:13.707,0:04:16.218
히파수스에게 진짜 무슨 일이 [br]일어났는 지는 알 수 없지만

0:04:16.218,0:04:20.665
그의 발견이 수학에 혁신을 [br]일으켰다는 것은 알고있습니다.

0:04:20.665,0:04:24.936
그러니 여러분도 겁먹지 말고[br]불가능해 보이는 것을 시도해 보세요.