Traženje smisla u iracionalnim brojevima -Ganesh Pai

Pogledajte cijelu lekciju: http://ed.ted.com/lessons/making-sense-of-irrational-numbers-ganesh-pai

Kao i mnoge heroje grčke mitologije, priča se da su i filozofa Hipasusa
bogovi kaznili smrću. Ali koji je bio njegov zločin? Je li usmrtio goste ili pak oskvrnuo sveti ritual? Ne, Hipasusov prijestup bio je matematički dokaz nečeg do tada nedokazivog. Ganesh Pai opisuje povijest i matematiku u pozadini iracionalnih brojeva.

Lekcija Ganesh Pai, animacija Anton Trofimov.

Kao i mnoge heroje grčke mitologije,

priča se da su i filozofa Hipasusa
bogovi kaznili smrću.

Ali koji je bio njegov zločin?

Je li usmrtio goste

ili pak oskvrnuo sveti ritual?

Ne, Hipasusov prijestup bio je
matematički dokaz:

otkriće iracionalnih brojeva.

Hipasus je pripadao skupini
zvanoj Pitagorejska škola

čiji članovi su prema brojevima
imali vjersko štovanje.

Izreka "U biti svega je broj",

sugerira da su brojevi
građevne jedinice Svemira

a vjeruje se da sve,
od kozmologije i metafizike

do glazbe i morala,
slijedi vječna pravila

koja se mogu prikazati
pomoću omjera dva broja.

Dakle, svaki broj može se prikazati
pomoću razlomka.

5 kao 5/1,

0.5 kao 1/2

i tako dalje.

Čak i decimalni broj s beskonačnim zapisom
poput ovog može se zapisati kao 34/45

Takve brojeve zovemo
racionalni brojevi.

Ali Hipasus je pronašao jedan broj
koji narušava ovaj sklad,

jedan koji ne bi trebao postojati.

Problem je započeo s
jednostavnim oblikom,

kvadratom s duljinom stranice 1.

Prema Pitagorinom teoremu,

duljina dijagonale je
kvadratni korijen iz 2,

ali koliko god pokušavao, Hipasus ga
nije mogao izraziti kao omjer dvaju brojeva.

Umjesto da odustane, odlučio je dokazati
da to nije ni moguće učiniti.

Pretpostavio je da je Pitagorejsko vjerovanje točno,

i da se korijen iz 2 može prikazati
kao omjer dvaju brojeva.

Označio je ta dva broja s p i q.

Pod pretpostavkom da je razlomak
skraćen do kraja,

p i q ne mogu imati zajedničkih djelitelja.

Da bi dokazao da korijen iz 2
nije racionalan

Hipasus je morao pokazati da
p/q ne može postojati.

Pomnožio je obje strane jednakosti s q

i kvadrirao obje strane,

čime je dobio ovu jednadžbu.

Množenje obiju strana s 2
daje parni broj,

pa p^2 mora biti paran.

To nije moguće ako je p neparan

jer je neparan broj puta taj broj
uvijek neparan,

pa je p također paran.

Dakle, p se može prikazati kao 2a,
gdje je a neki broj.

Uvrštavanjem ovog u jednadžbu
i pojednostavljivanjem

dobije se q^2=2a^2

Ponovno, dva puta neki broj
daje paran broj,

pa q^2 mora biti paran,

a q je također paran,

pa su onda i p i q parni.

Ali ako je to točno,
onda oni imaju zajednički djelitelj 2,

što je u kontradikciji s pretpostavkom,

te je tako Hipasus zaključio
da takav omjer ne može postojati.

To se zove dokaz kontradikcijom,

i prema legendi,

bogovima se nije svidjelo
da im se proturječi.

Zanimljivo, iako ne možemo
izraziti iracionalne brojeve

pomoću razlomaka,

moguće je prikazati ih
na brojevnom pravcu.

Uzmimo korijen iz 2.

Sve što trebamo je nacrtati
pravokutni trokut s katetama duljine 1.

Duljina hipotenuze je korijen iz 2,
i može se nanijeti na brojevni pravac.

Zatim možemo nacrtati
još jedan pravokutni trokut

s jednom katetom te duljine
i jednom duljine 1,

a hipotenuza će iznositi
korijen iz 3,

što se također
može nanijeti na pravac.

Ključ je u tome da se može zapisati jedino
u obliku razlomka ili decimalnog broja.

Korijen iz 2 jednostavno je
duljina hipotenuze pravokutnog trokuta

s katetama duljine 1.

Slično, poznati iracionalni broj pi

uvijek je jednak
točno onome što predstavlja,

a to je omjer opsega kruga
i njegovog promjera.

Aproksimacije poput 22/7

ili 355/113 nikad neće biti jednake točno pi.

Nikad nećemo saznati
što se točno dogodilo Hipasusu,

ali znamo da je njegovo otkriće
bilo revolucionarno za matematiku.

Dakle, bez obzira na mitove,
nemojte se bojati istraživati nemoguće.