1
00:00:06,951 --> 00:00:08,713
Kao i mnoge heroje grčke mitologije,

2
00:00:08,713 --> 00:00:13,930
priča se da su i filozofa Hipasusa
bogovi kaznili smrću.

3
00:00:13,930 --> 00:00:15,606
Ali koji je bio njegov zločin?

4
00:00:15,606 --> 00:00:16,957
Je li usmrtio goste

5
00:00:16,957 --> 00:00:19,474
ili pak oskvrnuo sveti ritual?

6
00:00:19,474 --> 00:00:23,524
Ne, Hipasusov prijestup bio je
matematički dokaz:

7
00:00:23,524 --> 00:00:26,583
otkriće iracionalnih brojeva.

8
00:00:26,583 --> 00:00:30,311
Hipasus je pripadao skupini 
zvanoj Pitagorejska škola

9
00:00:30,311 --> 00:00:32,922
čiji članovi su prema brojevima
imali vjersko štovanje.

10
00:00:32,922 --> 00:00:35,463
Izreka "U biti svega je broj",

11
00:00:35,463 --> 00:00:39,013
sugerira da su brojevi 
građevne jedinice Svemira

12
00:00:39,013 --> 00:00:43,317
a vjeruje se da sve,
od kozmologije i metafizike

13
00:00:43,317 --> 00:00:46,477
do glazbe i morala,
slijedi vječna pravila

14
00:00:46,477 --> 00:00:50,175
koja se mogu prikazati
pomoću omjera dva broja.

15
00:00:50,175 --> 00:00:53,488
Dakle, svaki broj može se prikazati
pomoću razlomka.

16
00:00:53,488 --> 00:00:55,995
5 kao 5/1,

17
00:00:55,995 --> 00:00:59,085
0.5 kao 1/2

18
00:00:59,085 --> 00:01:00,505
i tako dalje.

19
00:01:00,505 --> 00:01:07,907
Čak i decimalni broj s beskonačnim zapisom
poput ovog može se zapisati kao 34/45

20
00:01:07,907 --> 00:01:11,421
Takve brojeve zovemo
racionalni brojevi.

21
00:01:11,421 --> 00:01:16,051
Ali Hipasus je pronašao jedan broj
koji narušava ovaj sklad,

22
00:01:16,051 --> 00:01:18,825
jedan koji ne bi trebao postojati.

23
00:01:18,825 --> 00:01:21,395
Problem je započeo s
jednostavnim oblikom,

24
00:01:21,395 --> 00:01:25,105
kvadratom s duljinom stranice 1.

25
00:01:25,105 --> 00:01:26,898
Prema Pitagorinom teoremu,

26
00:01:26,898 --> 00:01:30,183
duljina dijagonale je 
kvadratni korijen iz 2,

27
00:01:30,183 --> 00:01:35,528
ali koliko god pokušavao, Hipasus ga 
nije mogao izraziti kao omjer dvaju brojeva.

28
00:01:35,528 --> 00:01:39,839
Umjesto da odustane, odlučio je dokazati 
da to nije ni moguće učiniti.

29
00:01:39,839 --> 00:01:44,196
Pretpostavio je da je Pitagorejsko vjerovanje točno,

30
00:01:44,196 --> 00:01:49,145
i da se korijen iz 2 može prikazati 
kao omjer dvaju brojeva.

31
00:01:49,145 --> 00:01:52,981
Označio je ta dva broja s p i q.

32
00:01:52,981 --> 00:01:56,358
Pod pretpostavkom da je razlomak 
skraćen do kraja,

33
00:01:56,358 --> 00:01:59,957
p i q ne mogu imati zajedničkih djelitelja.

34
00:01:59,957 --> 00:02:02,987
Da bi dokazao da korijen iz 2 
nije racionalan

35
00:02:02,987 --> 00:02:08,074
Hipasus je morao pokazati da 
p/q ne može postojati.

36
00:02:08,074 --> 00:02:11,422
Pomnožio je obje strane jednakosti s q

37
00:02:11,422 --> 00:02:13,291
i kvadrirao obje strane,

38
00:02:13,291 --> 00:02:15,320
čime je dobio ovu jednadžbu.

39
00:02:15,320 --> 00:02:19,274
Množenje obiju strana s 2
daje parni broj,

40
00:02:19,274 --> 00:02:22,332
pa p^2 mora biti paran.

41
00:02:22,332 --> 00:02:24,715
To nije moguće ako je p neparan

42
00:02:24,715 --> 00:02:28,154
jer je neparan broj puta taj broj 
uvijek neparan,

43
00:02:28,154 --> 00:02:30,702
pa je p također paran.

44
00:02:30,702 --> 00:02:36,176
Dakle, p se može prikazati kao 2a,
gdje je a neki broj.

45
00:02:36,176 --> 00:02:39,074
Uvrštavanjem ovog u jednadžbu
i pojednostavljivanjem

46
00:02:39,074 --> 00:02:43,248
dobije se q^2=2a^2

47
00:02:43,248 --> 00:02:47,180
Ponovno, dva puta neki broj
daje paran broj,

48
00:02:47,180 --> 00:02:49,921
pa q^2 mora biti paran,

49
00:02:49,921 --> 00:02:52,012
a q je također paran,

50
00:02:52,012 --> 00:02:54,393
pa su onda i p i q parni.

51
00:02:54,393 --> 00:02:57,710
Ali ako je to točno, 
onda oni imaju zajednički djelitelj 2,

52
00:02:57,710 --> 00:03:00,576
što je u kontradikciji s pretpostavkom,

53
00:03:00,576 --> 00:03:04,796
te je tako Hipasus zaključio
da takav omjer ne može postojati.

54
00:03:04,796 --> 00:03:06,756
To se zove dokaz kontradikcijom,

55
00:03:06,756 --> 00:03:08,234
i prema legendi,

56
00:03:08,234 --> 00:03:11,453
bogovima se nije svidjelo 
da im se proturječi.

57
00:03:11,453 --> 00:03:14,928
Zanimljivo, iako ne možemo
izraziti iracionalne brojeve

58
00:03:14,928 --> 00:03:16,802
pomoću razlomaka,

59
00:03:16,802 --> 00:03:20,891
moguće je prikazati ih
na brojevnom pravcu.

60
00:03:20,891 --> 00:03:22,149
Uzmimo korijen iz 2.

61
00:03:22,149 --> 00:03:27,844
Sve što trebamo je nacrtati 
pravokutni trokut s katetama duljine 1.

62
00:03:27,844 --> 00:03:32,596
Duljina hipotenuze je korijen iz 2,
i može se nanijeti na brojevni pravac.

63
00:03:32,596 --> 00:03:35,144
Zatim možemo nacrtati
još jedan pravokutni trokut

64
00:03:35,144 --> 00:03:38,491
s jednom katetom te duljine
i jednom duljine 1,

65
00:03:38,491 --> 00:03:41,135
a hipotenuza će iznositi
korijen iz 3,

66
00:03:41,135 --> 00:03:43,932
što se također 
može nanijeti na pravac.

67
00:03:43,932 --> 00:03:48,953
Ključ je u tome da se može zapisati jedino
u obliku razlomka ili decimalnog broja.

68
00:03:48,953 --> 00:03:52,948
Korijen iz 2 jednostavno je
duljina hipotenuze pravokutnog trokuta

69
00:03:52,948 --> 00:03:54,875
s katetama duljine 1.

70
00:03:54,875 --> 00:03:58,259
Slično, poznati iracionalni broj pi

71
00:03:58,259 --> 00:04:01,128
uvijek je jednak
točno onome što predstavlja,

72
00:04:01,128 --> 00:04:04,570
a to je omjer opsega kruga
i njegovog promjera.

73
00:04:04,570 --> 00:04:07,565
Aproksimacije poput 22/7

74
00:04:07,565 --> 00:04:13,707
ili 355/113 nikad neće biti jednake točno pi.

75
00:04:13,707 --> 00:04:16,218
Nikad nećemo saznati 
što se točno dogodilo Hipasusu,

76
00:04:16,218 --> 00:04:20,665
ali znamo da je njegovo otkriće 
bilo revolucionarno za matematiku.

77
00:04:20,665 --> 00:04:24,936
Dakle, bez obzira na mitove,
nemojte se bojati istraživati nemoguće.