Kao i mnoge heroje grčke mitologije,
priča se da su i filozofa Hipasusa bogovi kaznili smrću.
Ali koji je bio njegov zločin?
Je li usmrtio goste
ili pak oskvrnuo sveti ritual?
Ne, Hipasusov prijestup bio je matematički dokaz:
otkriće iracionalnih brojeva.
Hipasus je pripadao skupini zvanoj Pitagorejska škola
čiji članovi su prema brojevima imali vjersko štovanje.
Izreka "U biti svega je broj",
sugerira da su brojevi građevne jedinice Svemira
a vjeruje se da sve, od kozmologije i metafizike
do glazbe i morala, slijedi vječna pravila
koja se mogu prikazati pomoću omjera dva broja.
Dakle, svaki broj može se prikazati pomoću razlomka.
5 kao 5/1,
0.5 kao 1/2
i tako dalje.
Čak i decimalni broj s beskonačnim zapisom poput ovog može se zapisati kao 34/45
Takve brojeve zovemo racionalni brojevi.
Ali Hipasus je pronašao jedan broj koji narušava ovaj sklad,
jedan koji ne bi trebao postojati.
Problem je započeo s jednostavnim oblikom,
kvadratom s duljinom stranice 1.
Prema Pitagorinom teoremu,
duljina dijagonale je kvadratni korijen iz 2,
ali koliko god pokušavao, Hipasus ga nije mogao izraziti kao omjer dvaju brojeva.
Umjesto da odustane, odlučio je dokazati da to nije ni moguće učiniti.
Pretpostavio je da je Pitagorejsko vjerovanje točno,
i da se korijen iz 2 može prikazati kao omjer dvaju brojeva.
Označio je ta dva broja s p i q.
Pod pretpostavkom da je razlomak skraćen do kraja,
p i q ne mogu imati zajedničkih djelitelja.
Da bi dokazao da korijen iz 2 nije racionalan
Hipasus je morao pokazati da p/q ne može postojati.
Pomnožio je obje strane jednakosti s q
i kvadrirao obje strane,
čime je dobio ovu jednadžbu.
Množenje obiju strana s 2 daje parni broj,
pa p^2 mora biti paran.
To nije moguće ako je p neparan
jer je neparan broj puta taj broj uvijek neparan,
pa je p također paran.
Dakle, p se može prikazati kao 2a, gdje je a neki broj.
Uvrštavanjem ovog u jednadžbu i pojednostavljivanjem
dobije se q^2=2a^2
Ponovno, dva puta neki broj daje paran broj,
pa q^2 mora biti paran,
a q je također paran,
pa su onda i p i q parni.
Ali ako je to točno, onda oni imaju zajednički djelitelj 2,
što je u kontradikciji s pretpostavkom,
te je tako Hipasus zaključio da takav omjer ne može postojati.
To se zove dokaz kontradikcijom,
i prema legendi,
bogovima se nije svidjelo da im se proturječi.
Zanimljivo, iako ne možemo izraziti iracionalne brojeve
pomoću razlomaka,
moguće je prikazati ih na brojevnom pravcu.
Uzmimo korijen iz 2.
Sve što trebamo je nacrtati pravokutni trokut s katetama duljine 1.
Duljina hipotenuze je korijen iz 2, i može se nanijeti na brojevni pravac.
Zatim možemo nacrtati još jedan pravokutni trokut
s jednom katetom te duljine i jednom duljine 1,
a hipotenuza će iznositi korijen iz 3,
što se također može nanijeti na pravac.
Ključ je u tome da se može zapisati jedino u obliku razlomka ili decimalnog broja.
Korijen iz 2 jednostavno je duljina hipotenuze pravokutnog trokuta
s katetama duljine 1.
Slično, poznati iracionalni broj pi
uvijek je jednak točno onome što predstavlja,
a to je omjer opsega kruga i njegovog promjera.
Aproksimacije poput 22/7
ili 355/113 nikad neće biti jednake točno pi.
Nikad nećemo saznati što se točno dogodilo Hipasusu,
ali znamo da je njegovo otkriće bilo revolucionarno za matematiku.
Dakle, bez obzira na mitove, nemojte se bojati istraživati nemoguće.