0:00:06.951,0:00:08.713
Kao i mnoge heroje grčke mitologije,

0:00:08.713,0:00:13.930
priča se da su i filozofa Hipasusa[br]bogovi kaznili smrću.

0:00:13.930,0:00:15.606
Ali koji je bio njegov zločin?

0:00:15.606,0:00:16.957
Je li usmrtio goste

0:00:16.957,0:00:19.474
ili pak oskvrnuo sveti ritual?

0:00:19.474,0:00:23.524
Ne, Hipasusov prijestup bio je[br]matematički dokaz:

0:00:23.524,0:00:26.583
otkriće iracionalnih brojeva.

0:00:26.583,0:00:30.311
Hipasus je pripadao skupini [br]zvanoj Pitagorejska škola

0:00:30.311,0:00:32.922
čiji članovi su prema brojevima[br]imali vjersko štovanje.

0:00:32.922,0:00:35.463
Izreka "U biti svega je broj",

0:00:35.463,0:00:39.013
sugerira da su brojevi [br]građevne jedinice Svemira

0:00:39.013,0:00:43.317
a vjeruje se da sve,[br]od kozmologije i metafizike

0:00:43.317,0:00:46.477
do glazbe i morala,[br]slijedi vječna pravila

0:00:46.477,0:00:50.175
koja se mogu prikazati[br]pomoću omjera dva broja.

0:00:50.175,0:00:53.488
Dakle, svaki broj može se prikazati[br]pomoću razlomka.

0:00:53.488,0:00:55.995
5 kao 5/1,

0:00:55.995,0:00:59.085
0.5 kao 1/2

0:00:59.085,0:01:00.505
i tako dalje.

0:01:00.505,0:01:07.907
Čak i decimalni broj s beskonačnim zapisom[br]poput ovog može se zapisati kao 34/45

0:01:07.907,0:01:11.421
Takve brojeve zovemo[br]racionalni brojevi.

0:01:11.421,0:01:16.051
Ali Hipasus je pronašao jedan broj[br]koji narušava ovaj sklad,

0:01:16.051,0:01:18.825
jedan koji ne bi trebao postojati.

0:01:18.825,0:01:21.395
Problem je započeo s[br]jednostavnim oblikom,

0:01:21.395,0:01:25.105
kvadratom s duljinom stranice 1.

0:01:25.105,0:01:26.898
Prema Pitagorinom teoremu,

0:01:26.898,0:01:30.183
duljina dijagonale je [br]kvadratni korijen iz 2,

0:01:30.183,0:01:35.528
ali koliko god pokušavao, Hipasus ga [br]nije mogao izraziti kao omjer dvaju brojeva.

0:01:35.528,0:01:39.839
Umjesto da odustane, odlučio je dokazati [br]da to nije ni moguće učiniti.

0:01:39.839,0:01:44.196
Pretpostavio je da je Pitagorejsko vjerovanje točno,

0:01:44.196,0:01:49.145
i da se korijen iz 2 može prikazati [br]kao omjer dvaju brojeva.

0:01:49.145,0:01:52.981
Označio je ta dva broja s p i q.

0:01:52.981,0:01:56.358
Pod pretpostavkom da je razlomak [br]skraćen do kraja,

0:01:56.358,0:01:59.957
p i q ne mogu imati zajedničkih djelitelja.

0:01:59.957,0:02:02.987
Da bi dokazao da korijen iz 2 [br]nije racionalan

0:02:02.987,0:02:08.074
Hipasus je morao pokazati da [br]p/q ne može postojati.

0:02:08.074,0:02:11.422
Pomnožio je obje strane jednakosti s q

0:02:11.422,0:02:13.291
i kvadrirao obje strane,

0:02:13.291,0:02:15.320
čime je dobio ovu jednadžbu.

0:02:15.320,0:02:19.274
Množenje obiju strana s 2[br]daje parni broj,

0:02:19.274,0:02:22.332
pa p^2 mora biti paran.

0:02:22.332,0:02:24.715
To nije moguće ako je p neparan

0:02:24.715,0:02:28.154
jer je neparan broj puta taj broj [br]uvijek neparan,

0:02:28.154,0:02:30.702
pa je p također paran.

0:02:30.702,0:02:36.176
Dakle, p se može prikazati kao 2a,[br]gdje je a neki broj.

0:02:36.176,0:02:39.074
Uvrštavanjem ovog u jednadžbu[br]i pojednostavljivanjem

0:02:39.074,0:02:43.248
dobije se q^2=2a^2

0:02:43.248,0:02:47.180
Ponovno, dva puta neki broj[br]daje paran broj,

0:02:47.180,0:02:49.921
pa q^2 mora biti paran,

0:02:49.921,0:02:52.012
a q je također paran,

0:02:52.012,0:02:54.393
pa su onda i p i q parni.

0:02:54.393,0:02:57.710
Ali ako je to točno, [br]onda oni imaju zajednički djelitelj 2,

0:02:57.710,0:03:00.576
što je u kontradikciji s pretpostavkom,

0:03:00.576,0:03:04.796
te je tako Hipasus zaključio[br]da takav omjer ne može postojati.

0:03:04.796,0:03:06.756
To se zove dokaz kontradikcijom,

0:03:06.756,0:03:08.234
i prema legendi,

0:03:08.234,0:03:11.453
bogovima se nije svidjelo [br]da im se proturječi.

0:03:11.453,0:03:14.928
Zanimljivo, iako ne možemo[br]izraziti iracionalne brojeve

0:03:14.928,0:03:16.802
pomoću razlomaka,

0:03:16.802,0:03:20.891
moguće je prikazati ih[br]na brojevnom pravcu.

0:03:20.891,0:03:22.149
Uzmimo korijen iz 2.

0:03:22.149,0:03:27.844
Sve što trebamo je nacrtati [br]pravokutni trokut s katetama duljine 1.

0:03:27.844,0:03:32.596
Duljina hipotenuze je korijen iz 2,[br]i može se nanijeti na brojevni pravac.

0:03:32.596,0:03:35.144
Zatim možemo nacrtati[br]još jedan pravokutni trokut

0:03:35.144,0:03:38.491
s jednom katetom te duljine[br]i jednom duljine 1,

0:03:38.491,0:03:41.135
a hipotenuza će iznositi[br]korijen iz 3,

0:03:41.135,0:03:43.932
što se također [br]može nanijeti na pravac.

0:03:43.932,0:03:48.953
Ključ je u tome da se može zapisati jedino[br]u obliku razlomka ili decimalnog broja.

0:03:48.953,0:03:52.948
Korijen iz 2 jednostavno je[br]duljina hipotenuze pravokutnog trokuta

0:03:52.948,0:03:54.875
s katetama duljine 1.

0:03:54.875,0:03:58.259
Slično, poznati iracionalni broj pi

0:03:58.259,0:04:01.128
uvijek je jednak[br]točno onome što predstavlja,

0:04:01.128,0:04:04.570
a to je omjer opsega kruga[br]i njegovog promjera.

0:04:04.570,0:04:07.565
Aproksimacije poput 22/7

0:04:07.565,0:04:13.707
ili 355/113 nikad neće biti jednake točno pi.

0:04:13.707,0:04:16.218
Nikad nećemo saznati [br]što se točno dogodilo Hipasusu,

0:04:16.218,0:04:20.665
ali znamo da je njegovo otkriće [br]bilo revolucionarno za matematiku.

0:04:20.665,0:04:24.936
Dakle, bez obzira na mitove,[br]nemojte se bojati istraživati nemoguće.