Comprendre les nombres irrationnels

Comme de nombreux héros de la mythologie grecque, on dit du philosophe Hippase que les dieux l'ont puni jusqu'à ce que mort s'ensuive. Mais quel était son crime déjà ? A-t-il commis un meurtre ou interrompu un rite sacré ? Rien de tout cela. La transgression d'Hippase est d'avoir prouvé l'improuvable grâce aux mathématiques. Ganesh Pai décrit l'histoire et les maths des nombres irrationnels.

Leçon intégrale : http://ed.ted.com/lessons/making-sense-of-irrational-numbers-ganesh-pai

Comme de nombreux héros
de la mythologie grecque,

on dit du philosophe Hippase

que les dieux l'ont puni
jusqu'à ce que mort s'ensuive.

Quel était son crime exactement ?

A-t-il commis un meurtre ?

Ou a-t-il interrompu un rite sacré ?

En fait, la transgression d'Hippase
est une démonstration mathématique :

la découverte des nombres irrationnels.

Hippase fait partie
des mathématiciens pythagoriciens

qui vénéraient les nombres
de manière religieuse.

Leur mantra, « tout est nombre »,

suggère que les nombres sont les briques
dont est construit l'univers.

Cette croyance émane partiellement du fait

que tout, de la cosmologie
et la métaphysique,

à la musique et la morale,
se comporte selon des lois éternelles

qui peuvent être décrites
par des rapports de nombres.

Il en découle que n'importe quel nombre
peut être écrit en tant que rapport.

5 en tant que 5/1,

0,5 en tant que 1/2,

et ainsi de suite.

Même ce nombre avec une décimale infinie
peut être exprimé par 34/45.

Tous ces nombres font partie
des nombres rationnels.

Mais Hippase a découvert un nombre
qui viole cette règle harmonieuse.

Un nombre qui ne devrait pas exister.

Le problème commence
avec une forme simple,

un carré dont chaque côté
mesure une unité.

Selon le théorème de Pythagore,

la longueur de la diagonale égale
la racine carrée de deux.

En dépit de ses efforts,

Hippase n'a pas pu exprimer ça
sous un rapport de deux nombres entiers.

Au lieu d'abandonner, il a décidé
de démontrer que ce n'était pas possible.

Hippase a émis l'hypothèse que la vision
pythagoricienne était correcte,

et que la racine carrée de 2
pouvait être exprimée

par un rapport entre deux nombres entiers
hypothétiques qu'il nomma p et q.

Si le rapport peut être exprimé
sous sa forme la plus simple,

p et q ne peuvent pas avoir
de facteurs communs.

Pour démontrer que la racine carrée de 2
n'est pas rationnelle,

Hippase devait démontrer
que p/q ne peut pas exister.

Il a donc multiplié les deux parties
de l'équation par q,

et les a élevées au carré.

Le résultat est cette équation.

En multipliant un nombre par deux,
on obtient toujours un nombre pair.

Par conséquent, le carré de p
doit être pair.

Si p est impair, ceci n'est pas correct,

parce qu'un nombre impair

multiplié par lui-même
est toujours impair.

Donc, p doit être pair.

Par conséquent, p peut être exprimé
comme 2a, a étant un nombre entier.

En remplaçant p par 2a dans l'équation,
et en la simplifiant,

on obtient : q² = 2a².

A nouveau, deux fois un nombre pair
résulte en un nombre pair,

donc, q carré doit être pair,

et p carré doit être pair aussi.

Par conséquent,
p et q sont des nombres pairs.

Mais si cela est correct, ils doivent
partager un facteur commun : 2.

Ceci contredit l'hypothèse de base.

Voilà comment Hippase a conclu
que ce rapport ne pouvait pas exister.

Ça s'appelle une démonstration
par l'absurde.

Selon la légende,

les dieux n'ont pas apprécié
qu'on les contredise.

C'est amusant de savoir que,
même si on ne peut pas exprimer

des nombres irrationnels sous forme
de rapport de nombres entiers,

il est possible de déterminer
leur position sur une ligne de nombres.

Prenons la racine carrée de 2.

Il nous suffit de dessiner
un triangle rectangle

dont les deux côtés mesurent une unité.

L'hypoténuse a une longueur
égale à la racine carrée de 2,

que l'on étire vers la ligne.

On peut alors former
un autre triangle rectangle

avec une base égale à cette longueur,
et une hauteur d'une unité.

L'hypoténuse égale
la racine carrée de 3,

que nous pouvons étirer sur la ligne.

L'astuce réside dans le fait

qu'on exprime les nombres
avec des décimales et des rapports.

La racine carrée de deux est l'hypoténuse
d'un triangle rectangle,

dont la longueur des côtés est un.

De même, le nombre irrationnel pi,
très connu,

est toujours égal à ce qu'il représente,

le rapport de la circonférence d'un cercle
avec son diamètre.

Des approximations comme 22/7,

ou 355/113 ne seront jamais égales à pi.

Nous ne saurons jamais
quelle fut la fin d'Hippase,

mais ce dont on est sûr,

c'est que sa découverte
a révolutionné les mathématiques.

Les mythes ne doivent jamais
nous dissuader d'explorer l'impossible.