1
00:00:06,951 --> 00:00:09,383
Comme de nombreux héros
de la mythologie grecque,

2
00:00:09,383 --> 00:00:10,930
on dit du philosophe Hippase

3
00:00:10,930 --> 00:00:13,930
que les dieux l'ont puni
jusqu'à ce que mort s'ensuive.

4
00:00:13,930 --> 00:00:15,606
Quel était son crime exactement ?

5
00:00:15,606 --> 00:00:16,957
A-t-il commis un meurtre ?

6
00:00:16,957 --> 00:00:19,474
Ou a-t-il interrompu un rite sacré ?

7
00:00:19,474 --> 00:00:23,524
En fait, la transgression d'Hippase
est une démonstration mathématique :

8
00:00:23,524 --> 00:00:26,583
la découverte des nombres irrationnels.

9
00:00:26,583 --> 00:00:30,311
Hippase fait partie
des mathématiciens pythagoriciens

10
00:00:30,311 --> 00:00:32,922
qui vénéraient les nombres
de manière religieuse.

11
00:00:32,922 --> 00:00:35,463
Leur mantra, « tout est nombre »,

12
00:00:35,463 --> 00:00:39,013
suggère que les nombres sont les briques
dont est construit l'univers.

13
00:00:39,013 --> 00:00:41,117
Cette croyance émane partiellement du fait

14
00:00:41,117 --> 00:00:43,317
que tout, de la cosmologie
et la métaphysique,

15
00:00:43,317 --> 00:00:46,477
à la musique et la morale,
se comporte selon des lois éternelles

16
00:00:46,477 --> 00:00:50,175
qui peuvent être décrites
par des rapports de nombres.

17
00:00:50,175 --> 00:00:53,748
Il en découle que n'importe quel nombre
peut être écrit en tant que rapport.

18
00:00:53,748 --> 00:00:55,995
5 en tant que 5/1,

19
00:00:55,995 --> 00:00:59,085
0,5 en tant que 1/2,

20
00:00:59,085 --> 00:01:00,510
et ainsi de suite.

21
00:01:00,510 --> 00:01:06,526
Même ce nombre avec une décimale infinie
peut être exprimé par 34/45.

22
00:01:07,907 --> 00:01:11,421
Tous ces nombres font partie
des nombres rationnels.

23
00:01:11,421 --> 00:01:16,051
Mais Hippase a découvert un nombre
qui viole cette règle harmonieuse.

24
00:01:16,051 --> 00:01:18,825
Un nombre qui ne devrait pas exister.

25
00:01:18,825 --> 00:01:21,395
Le problème commence
avec une forme simple,

26
00:01:21,395 --> 00:01:25,105
un carré dont chaque côté
mesure une unité.

27
00:01:25,105 --> 00:01:26,898
Selon le théorème de Pythagore,

28
00:01:26,898 --> 00:01:30,183
la longueur de la diagonale égale
la racine carrée de deux.

29
00:01:30,183 --> 00:01:31,718
En dépit de ses efforts,

30
00:01:31,718 --> 00:01:35,528
Hippase n'a pas pu exprimer ça
sous un rapport de deux nombres entiers.

31
00:01:35,528 --> 00:01:39,839
Au lieu d'abandonner, il a décidé
de démontrer que ce n'était pas possible.

32
00:01:39,839 --> 00:01:44,196
Hippase a émis l'hypothèse que la vision
pythagoricienne était correcte,

33
00:01:44,196 --> 00:01:46,585
et que la racine carrée de 2
pouvait être exprimée

34
00:01:46,585 --> 00:01:52,981
par un rapport entre deux nombres entiers
hypothétiques qu'il nomma p et q.

35
00:01:52,981 --> 00:01:56,358
Si le rapport peut être exprimé
sous sa forme la plus simple,

36
00:01:56,358 --> 00:01:59,957
p et q ne peuvent pas avoir
de facteurs communs.

37
00:01:59,957 --> 00:02:02,987
Pour démontrer que la racine carrée de 2
n'est pas rationnelle,

38
00:02:02,987 --> 00:02:08,074
Hippase devait démontrer
que p/q ne peut pas exister.

39
00:02:08,074 --> 00:02:11,422
Il a donc multiplié les deux parties
de l'équation par q,

40
00:02:11,422 --> 00:02:13,291
et les a élevées au carré.

41
00:02:13,291 --> 00:02:15,320
Le résultat est cette équation.

42
00:02:15,320 --> 00:02:19,274
En multipliant un nombre par deux,
on obtient toujours un nombre pair.

43
00:02:19,274 --> 00:02:22,332
Par conséquent, le carré de p
doit être pair.

44
00:02:22,332 --> 00:02:24,715
Si p est impair, ceci n'est pas correct,

45
00:02:24,715 --> 00:02:26,115
parce qu'un nombre impair

46
00:02:26,115 --> 00:02:28,154
multiplié par lui-même
est toujours impair.

47
00:02:28,154 --> 00:02:30,702
Donc, p doit être pair.

48
00:02:30,702 --> 00:02:36,176
Par conséquent, p peut être exprimé
comme 2a, a étant un nombre entier.

49
00:02:36,176 --> 00:02:39,074
En remplaçant p par 2a dans l'équation,
et en la simplifiant,

50
00:02:39,074 --> 00:02:43,248
on obtient : q² = 2a².

51
00:02:43,248 --> 00:02:47,180
A nouveau, deux fois un nombre pair
résulte en un nombre pair,

52
00:02:47,180 --> 00:02:49,921
donc, q carré doit être pair,

53
00:02:49,921 --> 00:02:52,012
et p carré doit être pair aussi.

54
00:02:52,012 --> 00:02:54,393
Par conséquent,
p et q sont des nombres pairs.

55
00:02:54,393 --> 00:02:57,710
Mais si cela est correct, ils doivent
partager un facteur commun : 2.

56
00:02:57,710 --> 00:03:00,576
Ceci contredit l'hypothèse de base.

57
00:03:00,576 --> 00:03:04,556
Voilà comment Hippase a conclu
que ce rapport ne pouvait pas exister.

58
00:03:04,556 --> 00:03:06,756
Ça s'appelle une démonstration
par l'absurde.

59
00:03:06,756 --> 00:03:08,234
Selon la légende,

60
00:03:08,234 --> 00:03:11,453
les dieux n'ont pas apprécié
qu'on les contredise.

61
00:03:11,453 --> 00:03:14,278
C'est amusant de savoir que,
même si on ne peut pas exprimer

62
00:03:14,278 --> 00:03:17,382
des nombres irrationnels sous forme
de rapport de nombres entiers,

63
00:03:17,382 --> 00:03:20,891
il est possible de déterminer
leur position sur une ligne de nombres.

64
00:03:20,891 --> 00:03:22,409
Prenons la racine carrée de 2.

65
00:03:22,409 --> 00:03:24,844
Il nous suffit de dessiner
un triangle rectangle

66
00:03:24,844 --> 00:03:27,844
dont les deux côtés mesurent une unité.

67
00:03:27,844 --> 00:03:30,566
L'hypoténuse a une longueur
égale à la racine carrée de 2,

68
00:03:30,566 --> 00:03:32,596
que l'on étire vers la ligne.

69
00:03:32,596 --> 00:03:35,144
On peut alors former
un autre triangle rectangle

70
00:03:35,144 --> 00:03:38,491
avec une base égale à cette longueur,
et une hauteur d'une unité.

71
00:03:38,491 --> 00:03:41,135
L'hypoténuse égale
la racine carrée de 3,

72
00:03:41,135 --> 00:03:43,932
que nous pouvons étirer sur la ligne.

73
00:03:43,932 --> 00:03:45,703
L'astuce réside dans le fait

74
00:03:45,703 --> 00:03:48,953
qu'on exprime les nombres
avec des décimales et des rapports.

75
00:03:48,953 --> 00:03:52,948
La racine carrée de deux est l'hypoténuse
d'un triangle rectangle,

76
00:03:52,948 --> 00:03:54,875
dont la longueur des côtés est un.

77
00:03:54,875 --> 00:03:58,259
De même, le nombre irrationnel pi,
très connu,

78
00:03:58,259 --> 00:04:01,128
est toujours égal à ce qu'il représente,

79
00:04:01,128 --> 00:04:04,570
le rapport de la circonférence d'un cercle
avec son diamètre.

80
00:04:04,570 --> 00:04:07,565
Des approximations comme 22/7,

81
00:04:07,565 --> 00:04:13,707
ou 355/113 ne seront jamais égales à pi.

82
00:04:13,707 --> 00:04:16,218
Nous ne saurons jamais
quelle fut la fin d'Hippase,

83
00:04:16,218 --> 00:04:17,665
mais ce dont on est sûr,

84
00:04:17,665 --> 00:04:20,665
c'est que sa découverte
a révolutionné les mathématiques.

85
00:04:20,665 --> 00:04:24,936
Les mythes ne doivent jamais
nous dissuader d'explorer l'impossible.