0:00:06.951,0:00:09.383 Comme de nombreux héros[br]de la mythologie grecque, 0:00:09.383,0:00:10.930 on dit du philosophe Hippase 0:00:10.930,0:00:13.930 que les dieux l'ont puni[br]jusqu'à ce que mort s'ensuive. 0:00:13.930,0:00:15.606 Quel était son crime exactement ? 0:00:15.606,0:00:16.957 A-t-il commis un meurtre ? 0:00:16.957,0:00:19.474 Ou a-t-il interrompu un rite sacré ? 0:00:19.474,0:00:23.524 En fait, la transgression d'Hippase[br]est une démonstration mathématique : 0:00:23.524,0:00:26.583 la découverte des nombres irrationnels. 0:00:26.583,0:00:30.311 Hippase fait partie[br]des mathématiciens pythagoriciens 0:00:30.311,0:00:32.922 qui vénéraient les nombres[br]de manière religieuse. 0:00:32.922,0:00:35.463 Leur mantra, « tout est nombre », 0:00:35.463,0:00:39.013 suggère que les nombres sont les briques[br]dont est construit l'univers. 0:00:39.013,0:00:41.117 Cette croyance émane partiellement du fait 0:00:41.117,0:00:43.317 que tout, de la cosmologie[br]et la métaphysique, 0:00:43.317,0:00:46.477 à la musique et la morale,[br]se comporte selon des lois éternelles 0:00:46.477,0:00:50.175 qui peuvent être décrites[br]par des rapports de nombres. 0:00:50.175,0:00:53.748 Il en découle que n'importe quel nombre[br]peut être écrit en tant que rapport. 0:00:53.748,0:00:55.995 5 en tant que 5/1, 0:00:55.995,0:00:59.085 0,5 en tant que 1/2, 0:00:59.085,0:01:00.510 et ainsi de suite. 0:01:00.510,0:01:06.526 Même ce nombre avec une décimale infinie[br]peut être exprimé par 34/45. 0:01:07.907,0:01:11.421 Tous ces nombres font partie[br]des nombres rationnels. 0:01:11.421,0:01:16.051 Mais Hippase a découvert un nombre[br]qui viole cette règle harmonieuse. 0:01:16.051,0:01:18.825 Un nombre qui ne devrait pas exister. 0:01:18.825,0:01:21.395 Le problème commence[br]avec une forme simple, 0:01:21.395,0:01:25.105 un carré dont chaque côté[br]mesure une unité. 0:01:25.105,0:01:26.898 Selon le théorème de Pythagore, 0:01:26.898,0:01:30.183 la longueur de la diagonale égale[br]la racine carrée de deux. 0:01:30.183,0:01:31.718 En dépit de ses efforts, 0:01:31.718,0:01:35.528 Hippase n'a pas pu exprimer ça[br]sous un rapport de deux nombres entiers. 0:01:35.528,0:01:39.839 Au lieu d'abandonner, il a décidé[br]de démontrer que ce n'était pas possible. 0:01:39.839,0:01:44.196 Hippase a émis l'hypothèse que la vision[br]pythagoricienne était correcte, 0:01:44.196,0:01:46.585 et que la racine carrée de 2[br]pouvait être exprimée 0:01:46.585,0:01:52.981 par un rapport entre deux nombres entiers[br]hypothétiques qu'il nomma p et q. 0:01:52.981,0:01:56.358 Si le rapport peut être exprimé[br]sous sa forme la plus simple, 0:01:56.358,0:01:59.957 p et q ne peuvent pas avoir[br]de facteurs communs. 0:01:59.957,0:02:02.987 Pour démontrer que la racine carrée de 2[br]n'est pas rationnelle, 0:02:02.987,0:02:08.074 Hippase devait démontrer[br]que p/q ne peut pas exister. 0:02:08.074,0:02:11.422 Il a donc multiplié les deux parties[br]de l'équation par q, 0:02:11.422,0:02:13.291 et les a élevées au carré. 0:02:13.291,0:02:15.320 Le résultat est cette équation. 0:02:15.320,0:02:19.274 En multipliant un nombre par deux,[br]on obtient toujours un nombre pair. 0:02:19.274,0:02:22.332 Par conséquent, le carré de p[br]doit être pair. 0:02:22.332,0:02:24.715 Si p est impair, ceci n'est pas correct, 0:02:24.715,0:02:26.115 parce qu'un nombre impair 0:02:26.115,0:02:28.154 multiplié par lui-même[br]est toujours impair. 0:02:28.154,0:02:30.702 Donc, p doit être pair. 0:02:30.702,0:02:36.176 Par conséquent, p peut être exprimé[br]comme 2a, a étant un nombre entier. 0:02:36.176,0:02:39.074 En remplaçant p par 2a dans l'équation,[br]et en la simplifiant, 0:02:39.074,0:02:43.248 on obtient : q² = 2a². 0:02:43.248,0:02:47.180 A nouveau, deux fois un nombre pair[br]résulte en un nombre pair, 0:02:47.180,0:02:49.921 donc, q carré doit être pair, 0:02:49.921,0:02:52.012 et p carré doit être pair aussi. 0:02:52.012,0:02:54.393 Par conséquent,[br]p et q sont des nombres pairs. 0:02:54.393,0:02:57.710 Mais si cela est correct, ils doivent[br]partager un facteur commun : 2. 0:02:57.710,0:03:00.576 Ceci contredit l'hypothèse de base. 0:03:00.576,0:03:04.556 Voilà comment Hippase a conclu[br]que ce rapport ne pouvait pas exister. 0:03:04.556,0:03:06.756 Ça s'appelle une démonstration[br]par l'absurde. 0:03:06.756,0:03:08.234 Selon la légende, 0:03:08.234,0:03:11.453 les dieux n'ont pas apprécié[br]qu'on les contredise. 0:03:11.453,0:03:14.278 C'est amusant de savoir que,[br]même si on ne peut pas exprimer 0:03:14.278,0:03:17.382 des nombres irrationnels sous forme[br]de rapport de nombres entiers, 0:03:17.382,0:03:20.891 il est possible de déterminer[br]leur position sur une ligne de nombres. 0:03:20.891,0:03:22.409 Prenons la racine carrée de 2. 0:03:22.409,0:03:24.844 Il nous suffit de dessiner[br]un triangle rectangle 0:03:24.844,0:03:27.844 dont les deux côtés mesurent une unité. 0:03:27.844,0:03:30.566 L'hypoténuse a une longueur[br]égale à la racine carrée de 2, 0:03:30.566,0:03:32.596 que l'on étire vers la ligne. 0:03:32.596,0:03:35.144 On peut alors former[br]un autre triangle rectangle 0:03:35.144,0:03:38.491 avec une base égale à cette longueur,[br]et une hauteur d'une unité. 0:03:38.491,0:03:41.135 L'hypoténuse égale[br]la racine carrée de 3, 0:03:41.135,0:03:43.932 que nous pouvons étirer sur la ligne. 0:03:43.932,0:03:45.703 L'astuce réside dans le fait 0:03:45.703,0:03:48.953 qu'on exprime les nombres[br]avec des décimales et des rapports. 0:03:48.953,0:03:52.948 La racine carrée de deux est l'hypoténuse[br]d'un triangle rectangle, 0:03:52.948,0:03:54.875 dont la longueur des côtés est un. 0:03:54.875,0:03:58.259 De même, le nombre irrationnel pi,[br]très connu, 0:03:58.259,0:04:01.128 est toujours égal à ce qu'il représente, 0:04:01.128,0:04:04.570 le rapport de la circonférence d'un cercle[br]avec son diamètre. 0:04:04.570,0:04:07.565 Des approximations comme 22/7, 0:04:07.565,0:04:13.707 ou 355/113 ne seront jamais égales à pi. 0:04:13.707,0:04:16.218 Nous ne saurons jamais[br]quelle fut la fin d'Hippase, 0:04:16.218,0:04:17.665 mais ce dont on est sûr, 0:04:17.665,0:04:20.665 c'est que sa découverte[br]a révolutionné les mathématiques. 0:04:20.665,0:04:24.936 Les mythes ne doivent jamais[br]nous dissuader d'explorer l'impossible.