Få irrationelle tal til at give mening

Se hele lektionen på: http://ed.ted.com/lessons/making-sense-of-irrational-numbers-ganesh-pai

Som så mange andre helte fra Græsk mytologi, så var filosoffen Hippasus berygtet for at være dømt til døden af guderne. Men hvad var hans ugerning? Havde han myrdet en gæster eller forstyrret et helligt ritual? Nej, Hippasus' ugerning var hans matematisk modbevis af noget som hidtil ikke har været bevist. Ganesh Pai fortæller historien og matematikken som ligger til grunde for irrationelle tal.

Lektion af Ganesh Pai, animeret af Anton Trofimov.

Som så mange helte
fra græsk mytologi,

var filosoffen Hippasus berygtet for at
have været dømt til døden af guderne.

Men hvad var hans ugerning?

Havde han dræbt gæster

eller forstyrret et helligt ritual?

Nej, Hippasus' overtrædelse var grundet
et matematisk bevis:

opdagelsen af irrationelle tal.

Hippasus tilhørte pythagoræiske
matematikere,

som havde en religiøs ærefrygt for numre.

Deres talmåde "Alt er tal",

foreslå at numre var universets
byggeklodser.

En del af denne overbevisning var
at alting fra kosmologi og metafysik

til musik og moraler er baseret på
evige regler,

som kan beskrives af brøker.

Således kan et hvert tal
omskrives til en brøk.

5 kan omskrives til 5/1

0,5 kan omskrives til 1/2

og så videre.

Selv et tal med uendelige decimaler, som
dette, kan omskrives præcist til 34/45.

Alle disse numre er hvad der nu er kendt
som rationelle tal.

Hippasus fandt et nummer som
brød denne harmoniske regel,

et nummer som ikke burde eksistere.

Problemet opstod ved en simpel form.

En firkant med sidelængder
på 1 enhed.

Ifølge Pyhtagoras lærersætning,

udregnes diagonalen til at være
kvadratroden af 2,

selvom Hippatsus prøvede kunne han ikke
omskrive dette til en brøk af to heltal.

I stedet for at give op, besluttede han
sig for at modbevise det.

Hippasus begyndte med at antage at den
Pythagoræiske verdensopfattelse var sand,

og at kvadratroden af 2 godt kunne
omskrives til en brøk af to heltal.

Han navngav disse hypotetiske heltal
p og q.

Forudsat at brøken var i sin simpleste
form,

så kan p og q ikke have nogle fælles
faktorer.

For at bevise at kvadratroden af 2
ikke er rationel

skulle han blot bevise p/q ikke kan
eksistere.

Så han gangede begge sider af ligningen
med q

og satte begge sider i 2. potens.

Hvilket resulterede i denne ligning.

Ethvert tal der er ganget med to 2 giver
et lige tal,

derfor skal p^2 være et lige tal.

Dette er ikke sandt hvis
p er et ulige nummer

da et ulige tal i 2. potens er altid ulige

så p er også et lige tal.

Derfor kan p udtrykkes som 2a
hvor a er et heltal.

Indsætter man dette i ligningen
og reducerer ligningen,

opnår man q^2=2a^2

Ligesom før, så er produktet af et tal
ganget med 2 altid lige

så q^2 bør være lige,

og det bør q også være,

som gør både p og q til lige tal.

Men hvis dette var sandt,
så havde de 2 som fælles faktor,

hvilket strider imod den
første antagelse.

Således bevidste Hippasus at kvadratroden
af 2 ikke kan omskrives til en brøk.

Dette er et modstridsbevis

og ifølge myten

var guderne ikke glade for at blive
modbevist.

Selvom at man ikke kan omskrive
irrationelle tal,

som en brøk af heltal,

så er det muligt at placere
nogle af dem præcist på en tallinje.

F.eks. kvadratroden af 2.

Man skal blot bruge er en retvinklet
trekant med sidelængder på 1 enhed.

Hypotenusen får dermed en længde på
kvadratrod 2, som kan forlænges.

Fra den kan en ny retvinklet trekant
tegnes.

med en grundlinje af den længde,
og en højde på 1 enhed

Den nye trekants hypotenuse er
kvadratrod 3,

som også kan forlænges.

Hemmeligheden bag dette er at decimaler
og brøker blot er måder at skrive tal på.

Kvadratroden af 2 er blot hypotenusen af
en retvinklet trekant

med sidelængder på 1 enhed.

Ligeledes er det kendte irrationelle
tal pi

altid det samme som definitionen:

forholdet mellem en cirkels omkreds
og diameter.

Tilnærmelser som 22/7

eller 355/113 kan aldrig være
helt det samme som pi.

Hvad der egentlig skete med
Hippasus er uvist,

vi ved dog at han
revolutionerede matematik med sit bevis.

Hvad end myterne påstår, så skal du ikke
være bange for at udforske det umulige.