1
00:00:06,951 --> 00:00:08,713
Som så mange helte
fra græsk mytologi,

2
00:00:08,713 --> 00:00:13,930
var filosoffen Hippasus berygtet for at
have været dømt til døden af guderne.

3
00:00:13,930 --> 00:00:15,606
Men hvad var hans ugerning?

4
00:00:15,606 --> 00:00:16,957
Havde han dræbt gæster

5
00:00:16,957 --> 00:00:19,474
eller forstyrret et helligt ritual?

6
00:00:19,474 --> 00:00:23,524
Nej, Hippasus' overtrædelse var grundet 
et matematisk bevis:

7
00:00:23,524 --> 00:00:26,583
opdagelsen af irrationelle tal.

8
00:00:26,583 --> 00:00:30,311
Hippasus tilhørte pythagoræiske 
matematikere,

9
00:00:30,311 --> 00:00:32,922
som havde en religiøs ærefrygt for numre.

10
00:00:32,922 --> 00:00:35,463
Deres talmåde "Alt er tal",

11
00:00:35,463 --> 00:00:39,013
foreslå at numre var universets 
byggeklodser.

12
00:00:39,013 --> 00:00:43,317
En del af denne overbevisning var 
at alting fra kosmologi og metafysik

13
00:00:43,317 --> 00:00:46,477
til musik og moraler er baseret på
evige regler,

14
00:00:46,477 --> 00:00:50,175
som kan beskrives af brøker.

15
00:00:50,175 --> 00:00:53,488
Således kan et hvert tal
omskrives til en brøk.

16
00:00:53,488 --> 00:00:55,995
5 kan omskrives til 5/1

17
00:00:55,995 --> 00:00:59,085
0,5 kan omskrives til 1/2

18
00:00:59,085 --> 00:01:00,505
og så videre.

19
00:01:00,505 --> 00:01:07,907
Selv et tal med uendelige decimaler, som
dette, kan omskrives præcist til 34/45.

20
00:01:07,907 --> 00:01:11,421
Alle disse numre er hvad der nu er kendt 
som rationelle tal.

21
00:01:11,421 --> 00:01:16,051
Hippasus fandt et nummer som 
brød denne harmoniske regel,

22
00:01:16,051 --> 00:01:18,825
et nummer som ikke burde eksistere.

23
00:01:18,825 --> 00:01:21,395
Problemet opstod ved en simpel form.

24
00:01:21,395 --> 00:01:25,105
En firkant med sidelængder 
på 1 enhed.

25
00:01:25,105 --> 00:01:26,898
Ifølge Pyhtagoras lærersætning,

26
00:01:26,898 --> 00:01:30,183
udregnes diagonalen til at være 
kvadratroden af 2,

27
00:01:30,183 --> 00:01:35,528
selvom Hippatsus prøvede kunne han ikke
omskrive dette til en brøk af to heltal.

28
00:01:35,528 --> 00:01:39,839
I stedet for at give op, besluttede han
sig for at modbevise det.

29
00:01:39,839 --> 00:01:44,196
Hippasus begyndte med at antage at den
Pythagoræiske verdensopfattelse var sand,

30
00:01:44,196 --> 00:01:49,145
og at kvadratroden af 2 godt kunne 
omskrives til en brøk af to heltal.

31
00:01:49,145 --> 00:01:52,981
Han navngav disse hypotetiske heltal
p og q.

32
00:01:52,981 --> 00:01:56,358
Forudsat at brøken var i sin simpleste 
form,

33
00:01:56,358 --> 00:01:59,957
så kan p og q ikke have nogle fælles
faktorer.

34
00:01:59,957 --> 00:02:02,987
For at bevise at kvadratroden af 2 
ikke er rationel

35
00:02:02,987 --> 00:02:08,074
skulle han blot bevise p/q ikke kan 
eksistere.

36
00:02:08,074 --> 00:02:11,422
Så han gangede begge sider af ligningen 
med q

37
00:02:11,422 --> 00:02:13,291
og satte begge sider i 2. potens.

38
00:02:13,291 --> 00:02:15,320
Hvilket resulterede i denne ligning.

39
00:02:15,320 --> 00:02:19,274
Ethvert tal der er ganget med to 2 giver 
et lige tal,

40
00:02:19,274 --> 00:02:22,332
derfor skal p^2 være et lige tal.

41
00:02:22,332 --> 00:02:24,715
Dette er ikke sandt hvis
p er et ulige nummer

42
00:02:24,715 --> 00:02:28,125
da et ulige tal i 2. potens er altid ulige

43
00:02:28,154 --> 00:02:30,702
så p er også et lige tal.

44
00:02:30,702 --> 00:02:36,176
Derfor kan p udtrykkes som 2a
hvor a er et heltal.

45
00:02:36,176 --> 00:02:39,074
Indsætter man dette i ligningen
og reducerer ligningen,

46
00:02:39,074 --> 00:02:43,248
opnår man q^2=2a^2

47
00:02:43,248 --> 00:02:47,180
Ligesom før, så er produktet af et tal 
ganget med 2 altid lige

48
00:02:47,180 --> 00:02:49,921
så q^2 bør være lige,

49
00:02:49,921 --> 00:02:52,012
og det bør q også være,

50
00:02:52,012 --> 00:02:54,393
som gør både p og q til lige tal.

51
00:02:54,393 --> 00:02:57,710
Men hvis dette var sandt,
så havde de 2 som fælles faktor,

52
00:02:57,710 --> 00:03:00,576
hvilket strider imod den 
første antagelse.

53
00:03:00,576 --> 00:03:04,796
Således bevidste Hippasus at kvadratroden 
af 2 ikke kan omskrives til en brøk.

54
00:03:04,796 --> 00:03:06,756
Dette er et modstridsbevis

55
00:03:06,756 --> 00:03:08,234
og ifølge myten

56
00:03:08,234 --> 00:03:11,453
var guderne ikke glade for at blive 
modbevist.

57
00:03:11,453 --> 00:03:14,928
Selvom at man ikke kan omskrive
irrationelle tal,

58
00:03:14,928 --> 00:03:16,802
som en brøk af heltal,

59
00:03:16,802 --> 00:03:20,891
så er det muligt at placere
nogle af dem præcist på en tallinje.

60
00:03:20,891 --> 00:03:22,149
F.eks. kvadratroden af 2.

61
00:03:22,149 --> 00:03:27,844
Man skal blot bruge er en retvinklet
trekant med sidelængder på 1 enhed.

62
00:03:27,844 --> 00:03:32,596
Hypotenusen får dermed en længde på 
kvadratrod 2, som kan forlænges.

63
00:03:32,596 --> 00:03:35,144
Fra den kan en ny retvinklet trekant 
tegnes.

64
00:03:35,144 --> 00:03:38,491
med en grundlinje af den længde,
og en højde på 1 enhed

65
00:03:38,491 --> 00:03:41,135
Den nye trekants hypotenuse er 
kvadratrod 3,

66
00:03:41,135 --> 00:03:43,932
som også kan forlænges.

67
00:03:43,932 --> 00:03:48,953
Hemmeligheden bag dette er at decimaler 
og brøker blot er måder at skrive tal på.

68
00:03:48,953 --> 00:03:52,948
Kvadratroden af 2 er blot hypotenusen af
en retvinklet trekant

69
00:03:52,948 --> 00:03:54,875
med sidelængder på 1 enhed.

70
00:03:54,875 --> 00:03:58,259
Ligeledes er det kendte irrationelle
tal pi

71
00:03:58,259 --> 00:04:01,128
altid det samme som definitionen:

72
00:04:01,128 --> 00:04:04,570
forholdet mellem en cirkels omkreds
og diameter.

73
00:04:04,570 --> 00:04:07,565
Tilnærmelser som 22/7

74
00:04:07,565 --> 00:04:13,707
eller 355/113 kan aldrig være
helt det samme som pi.

75
00:04:13,707 --> 00:04:16,218
Hvad der egentlig skete med
Hippasus er uvist,

76
00:04:16,218 --> 00:04:20,665
vi ved dog at han 
revolutionerede matematik med sit bevis.

77
00:04:20,665 --> 00:04:24,936
Hvad end myterne påstår, så skal du ikke 
være bange for at udforske det umulige.