Som så mange helte fra græsk mytologi,
var filosoffen Hippasus berygtet for at have været dømt til døden af guderne.
Men hvad var hans ugerning?
Havde han dræbt gæster
eller forstyrret et helligt ritual?
Nej, Hippasus' overtrædelse var grundet et matematisk bevis:
opdagelsen af irrationelle tal.
Hippasus tilhørte pythagoræiske matematikere,
som havde en religiøs ærefrygt for numre.
Deres talmåde "Alt er tal",
foreslå at numre var universets byggeklodser.
En del af denne overbevisning var at alting fra kosmologi og metafysik
til musik og moraler er baseret på evige regler,
som kan beskrives af brøker.
Således kan et hvert tal omskrives til en brøk.
5 kan omskrives til 5/1
0,5 kan omskrives til 1/2
og så videre.
Selv et tal med uendelige decimaler, som dette, kan omskrives præcist til 34/45.
Alle disse numre er hvad der nu er kendt som rationelle tal.
Hippasus fandt et nummer som brød denne harmoniske regel,
et nummer som ikke burde eksistere.
Problemet opstod ved en simpel form.
En firkant med sidelængder på 1 enhed.
Ifølge Pyhtagoras lærersætning,
udregnes diagonalen til at være kvadratroden af 2,
selvom Hippatsus prøvede kunne han ikke omskrive dette til en brøk af to heltal.
I stedet for at give op, besluttede han sig for at modbevise det.
Hippasus begyndte med at antage at den Pythagoræiske verdensopfattelse var sand,
og at kvadratroden af 2 godt kunne omskrives til en brøk af to heltal.
Han navngav disse hypotetiske heltal p og q.
Forudsat at brøken var i sin simpleste form,
så kan p og q ikke have nogle fælles faktorer.
For at bevise at kvadratroden af 2 ikke er rationel
skulle han blot bevise p/q ikke kan eksistere.
Så han gangede begge sider af ligningen med q
og satte begge sider i 2. potens.
Hvilket resulterede i denne ligning.
Ethvert tal der er ganget med to 2 giver et lige tal,
derfor skal p^2 være et lige tal.
Dette er ikke sandt hvis p er et ulige nummer
da et ulige tal i 2. potens er altid ulige
så p er også et lige tal.
Derfor kan p udtrykkes som 2a hvor a er et heltal.
Indsætter man dette i ligningen og reducerer ligningen,
opnår man q^2=2a^2
Ligesom før, så er produktet af et tal ganget med 2 altid lige
så q^2 bør være lige,
og det bør q også være,
som gør både p og q til lige tal.
Men hvis dette var sandt, så havde de 2 som fælles faktor,
hvilket strider imod den første antagelse.
Således bevidste Hippasus at kvadratroden af 2 ikke kan omskrives til en brøk.
Dette er et modstridsbevis
og ifølge myten
var guderne ikke glade for at blive modbevist.
Selvom at man ikke kan omskrive irrationelle tal,
som en brøk af heltal,
så er det muligt at placere nogle af dem præcist på en tallinje.
F.eks. kvadratroden af 2.
Man skal blot bruge er en retvinklet trekant med sidelængder på 1 enhed.
Hypotenusen får dermed en længde på kvadratrod 2, som kan forlænges.
Fra den kan en ny retvinklet trekant tegnes.
med en grundlinje af den længde, og en højde på 1 enhed
Den nye trekants hypotenuse er kvadratrod 3,
som også kan forlænges.
Hemmeligheden bag dette er at decimaler og brøker blot er måder at skrive tal på.
Kvadratroden af 2 er blot hypotenusen af en retvinklet trekant
med sidelængder på 1 enhed.
Ligeledes er det kendte irrationelle tal pi
altid det samme som definitionen:
forholdet mellem en cirkels omkreds og diameter.
Tilnærmelser som 22/7
eller 355/113 kan aldrig være helt det samme som pi.
Hvad der egentlig skete med Hippasus er uvist,
vi ved dog at han revolutionerede matematik med sit bevis.
Hvad end myterne påstår, så skal du ikke være bange for at udforske det umulige.