WEBVTT

00:00:06.951 --> 00:00:08.713
Som så mange helte
fra græsk mytologi,

00:00:08.713 --> 00:00:13.930
var filosoffen Hippasus berygtet for at
have været dømt til døden af guderne.

00:00:13.930 --> 00:00:15.606
Men hvad var hans ugerning?

00:00:15.606 --> 00:00:16.957
Havde han dræbt gæster

00:00:16.957 --> 00:00:19.474
eller forstyrret et helligt ritual?

00:00:19.474 --> 00:00:23.524
Nej, Hippasus' overtrædelse var grundet 
et matematisk bevis:

00:00:23.524 --> 00:00:26.583
opdagelsen af irrationelle tal.

00:00:26.583 --> 00:00:30.311
Hippasus tilhørte pythagoræiske 
matematikere,

00:00:30.311 --> 00:00:32.922
som havde en religiøs ærefrygt for numre.

00:00:32.922 --> 00:00:35.463
Deres talmåde "Alt er tal",

00:00:35.463 --> 00:00:39.013
foreslå at numre var universets 
byggeklodser.

00:00:39.013 --> 00:00:43.317
En del af denne overbevisning var 
at alting fra kosmologi og metafysik

00:00:43.317 --> 00:00:46.477
til musik og moraler er baseret på
evige regler,

00:00:46.477 --> 00:00:50.175
som kan beskrives af brøker.

00:00:50.175 --> 00:00:53.488
Således kan et hvert tal
omskrives til en brøk.

00:00:53.488 --> 00:00:55.995
5 kan omskrives til 5/1

00:00:55.995 --> 00:00:59.085
0,5 kan omskrives til 1/2

00:00:59.085 --> 00:01:00.505
og så videre.

00:01:00.505 --> 00:01:07.907
Selv et tal med uendelige decimaler, som
dette, kan omskrives præcist til 34/45.

00:01:07.907 --> 00:01:11.421
Alle disse numre er hvad der nu er kendt 
som rationelle tal.

00:01:11.421 --> 00:01:16.051
Hippasus fandt et nummer som 
brød denne harmoniske regel,

00:01:16.051 --> 00:01:18.825
et nummer som ikke burde eksistere.

00:01:18.825 --> 00:01:21.395
Problemet opstod ved en simpel form.

00:01:21.395 --> 00:01:25.105
En firkant med sidelængder 
på 1 enhed.

00:01:25.105 --> 00:01:26.898
Ifølge Pyhtagoras lærersætning,

00:01:26.898 --> 00:01:30.183
udregnes diagonalen til at være 
kvadratroden af 2,

00:01:30.183 --> 00:01:35.528
selvom Hippatsus prøvede kunne han ikke
omskrive dette til en brøk af to heltal.

00:01:35.528 --> 00:01:39.839
I stedet for at give op, besluttede han
sig for at modbevise det.

00:01:39.839 --> 00:01:44.196
Hippasus begyndte med at antage at den
Pythagoræiske verdensopfattelse var sand,

00:01:44.196 --> 00:01:49.145
og at kvadratroden af 2 godt kunne 
omskrives til en brøk af to heltal.

00:01:49.145 --> 00:01:52.981
Han navngav disse hypotetiske heltal
p og q.

00:01:52.981 --> 00:01:56.358
Forudsat at brøken var i sin simpleste 
form,

00:01:56.358 --> 00:01:59.957
så kan p og q ikke have nogle fælles
faktorer.

00:01:59.957 --> 00:02:02.987
For at bevise at kvadratroden af 2 
ikke er rationel

00:02:02.987 --> 00:02:08.074
skulle han blot bevise p/q ikke kan 
eksistere.

00:02:08.074 --> 00:02:11.422
Så han gangede begge sider af ligningen 
med q

00:02:11.422 --> 00:02:13.291
og satte begge sider i 2. potens.

00:02:13.291 --> 00:02:15.320
Hvilket resulterede i denne ligning.

00:02:15.320 --> 00:02:19.274
Ethvert tal der er ganget med to 2 giver 
et lige tal,

00:02:19.274 --> 00:02:22.332
derfor skal p^2 være et lige tal.

00:02:22.332 --> 00:02:24.715
Dette er ikke sandt hvis
p er et ulige nummer

00:02:24.715 --> 00:02:28.125
da et ulige tal i 2. potens er altid ulige

00:02:28.154 --> 00:02:30.702
så p er også et lige tal.

00:02:30.702 --> 00:02:36.176
Derfor kan p udtrykkes som 2a
hvor a er et heltal.

00:02:36.176 --> 00:02:39.074
Indsætter man dette i ligningen
og reducerer ligningen,

00:02:39.074 --> 00:02:43.248
opnår man q^2=2a^2

00:02:43.248 --> 00:02:47.180
Ligesom før, så er produktet af et tal 
ganget med 2 altid lige

00:02:47.180 --> 00:02:49.921
så q^2 bør være lige,

00:02:49.921 --> 00:02:52.012
og det bør q også være,

00:02:52.012 --> 00:02:54.393
som gør både p og q til lige tal.

00:02:54.393 --> 00:02:57.710
Men hvis dette var sandt,
så havde de 2 som fælles faktor,

00:02:57.710 --> 00:03:00.576
hvilket strider imod den 
første antagelse.

00:03:00.576 --> 00:03:04.796
Således bevidste Hippasus at kvadratroden 
af 2 ikke kan omskrives til en brøk.

00:03:04.796 --> 00:03:06.756
Dette er et modstridsbevis

00:03:06.756 --> 00:03:08.234
og ifølge myten

00:03:08.234 --> 00:03:11.453
var guderne ikke glade for at blive 
modbevist.

00:03:11.453 --> 00:03:14.928
Selvom at man ikke kan omskrive
irrationelle tal,

00:03:14.928 --> 00:03:16.802
som en brøk af heltal,

00:03:16.802 --> 00:03:20.891
så er det muligt at placere
nogle af dem præcist på en tallinje.

00:03:20.891 --> 00:03:22.149
F.eks. kvadratroden af 2.

00:03:22.149 --> 00:03:27.844
Man skal blot bruge er en retvinklet
trekant med sidelængder på 1 enhed.

00:03:27.844 --> 00:03:32.596
Hypotenusen får dermed en længde på 
kvadratrod 2, som kan forlænges.

00:03:32.596 --> 00:03:35.144
Fra den kan en ny retvinklet trekant 
tegnes.

00:03:35.144 --> 00:03:38.491
med en grundlinje af den længde,
og en højde på 1 enhed

00:03:38.491 --> 00:03:41.135
Den nye trekants hypotenuse er 
kvadratrod 3,

00:03:41.135 --> 00:03:43.932
som også kan forlænges.

00:03:43.932 --> 00:03:48.953
Hemmeligheden bag dette er at decimaler 
og brøker blot er måder at skrive tal på.

00:03:48.953 --> 00:03:52.948
Kvadratroden af 2 er blot hypotenusen af
en retvinklet trekant

00:03:52.948 --> 00:03:54.875
med sidelængder på 1 enhed.

00:03:54.875 --> 00:03:58.259
Ligeledes er det kendte irrationelle
tal pi

00:03:58.259 --> 00:04:01.128
altid det samme som definitionen:

00:04:01.128 --> 00:04:04.570
forholdet mellem en cirkels omkreds
og diameter.

00:04:04.570 --> 00:04:07.565
Tilnærmelser som 22/7

00:04:07.565 --> 00:04:13.707
eller 355/113 kan aldrig være
helt det samme som pi.

00:04:13.707 --> 00:04:16.218
Hvad der egentlig skete med
Hippasus er uvist,

00:04:16.218 --> 00:04:20.665
vi ved dog at han 
revolutionerede matematik med sit bevis.

00:04:20.665 --> 00:04:24.936
Hvad end myterne påstår, så skal du ikke 
være bange for at udforske det umulige.