La dernière banane : une illustration des probabilités - Leonardo Barichello

Voir la leçon complète : http://ed.ted.com/lessons/the-last-banana-a-thought-experiment-in-probability-leonardo-barichello

Imaginez un jeu avec deux dés : si le chiffre le plus élevé des deux est le un, le deux, le trois ou le quatre, le joueur un gagne. Si c'est un cinq ou un six, le joueur deux l'emporte. Lequel a le plus de probabilité de gagner ? Leonardo Barichello nous explique que la probabilité détient la réponse à cette énigme en apparence insoluble.

Leçon de Leonardo Barichello, animation par Ace & Son Moving Picture Co, LLC.

Vous voilà, coincé sur une île déserte
avec un autre naufragé,

à jouer la dernière banane aux dés.

Vous vous êtes mis d’accord
sur ces règles :

vous lancerez deux dés,

et si le plus grand chiffre
est un, deux, trois ou quatre,

le joueur un l’emporte.

Si le plus grand chiffre est cinq
ou six, c’est le joueur deux qui gagne.

Essayons à nouveau deux fois.

Ici, c’est le joueur un qui gagne,

et là, le joueur deux.

Alors, lequel voulez-vous être ?

À première vue, il semblerait
que le joueur un soit avantagé,

elle gagnera si n’importe lequel
des quatre chiffres est le plus élevé,

mais en réalité,

le joueur deux a environ
56% de chances de gagner chaque partie.

On peut le visualiser

en faisant la liste
de toutes les combinaisons possibles

obtenues en lançant deux dés,

puis de compter celles
que remporte chaque joueur.

Voici les possibilités pour le dé jaune.

Et les possibilités pour le dé bleu.

Chaque case du tableau
correspond à une combinaison possible

lorsqu’on lance les deux dés.

En obtenant un quatre puis un cinq,

on y inscrit
que la victoire est pour le joueur deux.

Avec trois et un,
c’est une victoire pour le joueur un.

Il y a en tout 36 combinaisons possibles,

et chacune a exactement
les mêmes chances de se produire.

C'est ce que les mathématiciens
appellent les événements équiprobables.

On comprend alors pourquoi
la première impression était fausse.

Bien que le joueur un
ait quatre chiffres gagnants,

et l'autre joueur deux seulement,

les chances pour que chaque chiffre
soit le plus élevé ne sont pas les mêmes.

Il n'y a qu'une chance sur 36
que le un soit le plus grand chiffre.

Mais il y a 11 chances sur 36
que le six soit le plus élevé.

Ainsi, si n’importe laquelle
de ces combinaisons sort,

c’est le joueur un qui gagne.

Et si c’est l’une de ces combinaisons,

le joueur deux l’emporte.

Parmi les 36 combinaisons possibles,

16 donnent la victoire au joueur un,
et 20 au joueur deux.

On peut y réfléchir différemment.

La seule manière de gagner
pour le joueur un

est que les deux dés
fassent un, deux, trois ou quatre.

Si un cinq ou un six sort,
le joueur deux l'emporte.

La probabilité qu’un dé tombe
sur un, deux, trois ou quatre

est de quatre sur six.

Le résultat de chaque lancer
est indépendant de l’autre.

Or on peut calculer la probabilité
commune d’événements indépendants

en multipliant leurs probabilités.

Ainsi, les chances d’obtenir
un, deux, trois ou quatre sur les deux dés

sont de 4 sur 6
fois 4 sur 6, soit 16 sur 36.

Puisqu’il faut un gagnant,

les chances que ça soit le joueur deux
sont de 36 sur 36 moins 16 sur 36,

ou 20 sur 36.

Ce sont exactement les mêmes probabilités
que celles obtenues grâce au tableau.

Pourtant, cela ne signifie pas
que le joueur deux va gagner.

ni même que si vous lanciez 36 fois
les dés en étant le joueur deux,

vous remporteriez 20 parties.

C’est bien pour cela que
dans des situations

comme le lancer de dés,
on parle de hasard.

Malgré la possibilité de calculer
une probabilité théorique

pour chaque résultat,

on n'obtiendra pas les résultats attendus

en observant quelques parties seulement.

Par contre, si l’on reproduisait
ces lancers aléatoires

un très, très grand nombre de fois,

la fréquence de victoire
pour le joueur deux,

se rapprocherait
de sa probabilité théorique,

cette valeur obtenue
en écrivant toutes les possibilités

et en calculant celles de chaque résultat.

Ainsi, si l’on s’asseyait
sur cette île déserte

en y jouant indéfiniment aux dés,

le joueur deux finirait effectivement
par gagner 56% des parties,

et le joueur un, 44%.

Mais d'ici là, bien entendu,
la banane aura disparu depuis longtemps.