Return to Video

מהם המספרים? קיט פיין - TEDxניו-יורק

  • 0:17 - 0:20
    מספרים הם משונים.
  • 0:21 - 0:23
    הם אינם עצמים מוחשיים.
  • 0:23 - 0:29
    איש לא התנגש במספר שתיים
    או נתקל במספר שלוש,
  • 0:29 - 0:31
    אפילו לא המרצה המטורף שלכם למתמטיקה.
  • 0:32 - 0:36
    הם גם אינם עצמים מנטליים.
  • 0:36 - 0:39
    המחשבה על אהוביכם
    אינה אהוביכם,
  • 0:39 - 0:42
    ככל שתרצו שזה יהיה כך.
  • 0:42 - 0:46
    וגם המחשבה על המספר שלוש
    אינה המספר שלוש.
  • 0:47 - 0:51
    המספרים גם לא קיימים
    במרחב או בזמן.
  • 0:51 - 0:55
    אינכם מצפים למצוא את המספר שלוש
    בארון המטבח,
  • 0:55 - 0:57
    ואין צורך לדאוג
  • 0:57 - 0:59
    שהמספרים אולי
    לא היו קיימים פעם
  • 0:59 - 1:03
    או שיום אחד יחדלו מלהתקיים.
  • 1:03 - 1:07
    אבל למרות שהמספרים רחוקים מאד
  • 1:07 - 1:10
    מן העולם המוכר
    של מחשבות ועצמים,
  • 1:11 - 1:14
    יש להם קשר הדוק לעולם הזה,
  • 1:14 - 1:18
    משום שאנו עושים דברים
    בעזרת המספרים.
  • 1:18 - 1:22
    אנו סופרים בעזרתם,
    מודדים בעזרתם,
  • 1:22 - 1:27
    אנו מנסחים בעזרתם
    את התיאוריות המדעיות שלנו.
  • 1:27 - 1:31
    וזה הופך את זהותם
    למוזרה עוד יותר.
  • 1:31 - 1:36
    איך ייתכן שהם כה מרוחקים
    מן העולם המוכר
  • 1:36 - 1:39
    ועדיין כה קשורים אליו?
  • 1:40 - 1:46
    בהרצאה זאת ברצוני להתייחס
    לשלוש השקפות על מהות המספרים,
  • 1:46 - 1:50
    שפיתחו מתמטיקאים ופילוסופים
  • 1:50 - 1:56
    בערך בסוף המאה ה-19
    ותחילת המאה ה-20.
  • 1:57 - 2:00
    כל ההשקפות האלה מניחות מראש
    שבמובן הצר של הדברים,
  • 2:00 - 2:05
    איננו מונים דברים,
    אלא קבוצות של דברים.
  • 2:05 - 2:09
    קבוצה היא פשוט דברים רבים,
    יהיו אשר יהיו,
  • 2:09 - 2:11
    שנחשבים למספר בודד.
  • 2:11 - 2:19
    למשל, קבוצת בקבוקי הבירה
    ששתיתם אמש.
  • 2:20 - 2:23
    הבקבוקים מוכנסים לסוגריים האלה
    כדי לציין ש-6 הבקבוקים
  • 2:23 - 2:26
    נחשבים לעצם אחד.
  • 2:26 - 2:32
    וישנה הקבוצה שכוללת את
    2 חיות המחמד שלכם, פידו ופליקס.
  • 2:33 - 2:38
    או קבוצה שכוללת
    את כל המספרים הטבעיים,
  • 2:38 - 2:40
    והם מוכנסים לקבוצת הענק הזו:
  • 2:40 - 2:43
    0, 1, 2, 3, 4
    וכן הלאה.
  • 2:44 - 2:49
    כלומר, כשאנו מונים,
    אנו מייחסים מספר לקבוצה
  • 2:49 - 2:52
    כשמדובר בבקבוקי הבירה,
    את המספר 6,
  • 2:52 - 2:56
    בהנחה שאינכם שתויים
    מכדי למנותם.
  • 2:57 - 3:00
    כשמדובר בחיות המחמד,
    המספר הוא 2.
  • 3:00 - 3:05
    וכשמדובר במספרים הטבעיים,
    שנחשבים חלק מקבוצה גדולה אחת,
  • 3:05 - 3:07
    זה יהיה מספר אינסופי כלשהו.
  • 3:08 - 3:12
    ההשקפה הראשונה שברצוני לבחון,
    בנוגע לטיבם של המספרים
  • 3:12 - 3:17
    פותחה באופן נפרד ע"י שני
    פילוסופים דגולים של המתמטיקה,
  • 3:17 - 3:20
    גוטלוב פרגה וברטרנד ראסל.
  • 3:20 - 3:23
    שני האנשים האלה
    היו שונים מאד זה מזה.
  • 3:24 - 3:27
    ראסל הגיע מהאריסטוקרטיה האנגלית,
  • 3:27 - 3:30
    ופרגה - מהמעמד הבינוני הנינוח בגרמניה.
  • 3:31 - 3:34
    ראסל היה ליברל לוחמני;
  • 3:35 - 3:38
    פרגה, לצערי, היה מראשוני הנאצים.
  • 3:39 - 3:45
    לראסל היו ארבע נשים
    ואינספור פילגשים;
  • 3:45 - 3:47
    פרגה היה נשוי לאישה אחת,
  • 3:47 - 3:53
    וככל שידוע לי,
    נהנה מחיי-נישואין מאושרים ורגועים.
  • 3:53 - 3:56
    אך למרות ההבדלים האלה,
  • 3:56 - 3:59
    היתה להם אותה השקפה
    על טיבם של המספרים.
  • 3:59 - 4:01
    ומה היתה ההשקפה?
  • 4:01 - 4:04
    ניקח לדוגמה את המספר 2.
  • 4:04 - 4:09
    ניתן להשתמש ב-2 כדי למספר
    כל קבוצה כפולה, או זוג.
  • 4:09 - 4:16
    למשל, כדי למספר את הקבוצה
    שעליה נמנים פרגה וראסל,
  • 4:16 - 4:18
    או למספר את הקבוצה שכוללת
  • 4:18 - 4:22
    את חיות המחמד שלכם,
    פידו ופליקס,
  • 4:23 - 4:26
    או להשתמש בו כדי למספר
  • 4:26 - 4:29
    שתי עריו המפורסמות של דיקנס,
    לונדון ופריז.
  • 4:29 - 4:32
    התעקשתי שלונדון תהיה כאן ראשונה.
  • 4:32 - 4:34
    [צחוק]
  • 4:35 - 4:38
    הרעיון של ראסל ופרגה
  • 4:38 - 4:43
    היה להציב את כל הזוגות האלה
    בקבוצה גדולה אחת.
  • 4:43 - 4:47
    אנו עורמים את כולם בקבוצה גדולה אחת
    שמקבלת את המספר 2.
  • 4:47 - 4:50
    כלומר, המספר 2 הוא
    קבוצה של קבוצות,
  • 4:51 - 4:55
    וקבוצות אלה הן כל הזוגות
    שניתן למנות במספר 2.
  • 4:55 - 4:58
    בדומה לכך,
    עבור כל יתר המספרים,
  • 4:58 - 5:00
    המספר 3 יציין קבוצה
    של כל השלישיות,
  • 5:00 - 5:04
    המספר 4 יציין קבוצה
    של כל הרביעיות, וכן הלאה.
  • 5:04 - 5:07
    תיאוריה פשוטה ויפה.
  • 5:08 - 5:12
    למרבה הצער,
    היא הובילה לסתירה.
  • 5:13 - 5:16
    לא אוכל לתת לכם כאן
    הדגמה של הסתירה,
  • 5:16 - 5:19
    אבל אוכל לתת לכם מושג
    איך היא התעוררה.
  • 5:20 - 5:25
    ודאי תזכרו שהמספר 2
    ציין את קבוצת כל הזוגות,
  • 5:25 - 5:27
    כל הזוגות
    של כל דבר,
  • 5:27 - 5:33
    ובפרט, זוגות שהכילו בעצמם
    את המספר 2.
  • 5:34 - 5:36
    הבה נתבונן בזוג כזה,
  • 5:36 - 5:39
    שמכיל את המספר 2
    ואת המספר 1.
  • 5:39 - 5:41
    והזוג הזה,
  • 5:42 - 5:46
    הזוג של 1 -2,
    נכלל בעצמו במספר 2,
  • 5:46 - 5:49
    ואז המספר 2 יכיל את עצמו,
  • 5:50 - 5:53
    וזה נראה בלתי-אפשרי.
  • 5:53 - 5:55
    לשם המחשה:
  • 5:55 - 6:00
    דמיינו נחש רעב מאד
    שמנסה לאכול את זנבו הוא.
  • 6:01 - 6:03
    אולי הוא יצליח בכך --
  • 6:03 - 6:07
    -- זהו האיור הכי טוב
    שהצלחנו למצוא --
  • 6:07 - 6:09
    דוחה, אבל עדיין ניתן לביצוע.
  • 6:09 - 6:11
    [צחוק]
  • 6:11 - 6:14
    אך כעת דמיינו
    שהנחש כה רעב,
  • 6:14 - 6:18
    עד שהוא מנסה לאכול
    את עצמו בשלמותו.
  • 6:19 - 6:21
    זה בהחלט בלתי-אפשרי,
  • 6:21 - 6:26
    כי אז קיבת הנחש
    תימצא בתוך קיבתו.
  • 6:26 - 6:29
    וזה מה שקורה עם המספר 2.
  • 6:29 - 6:35
    המספר 2, כפי שאתם רואים,
    נמצא כולו בתוך עצמו.
  • 6:36 - 6:38
    איך אפשר היה לפתור זאת?
  • 6:39 - 6:44
    למתמטיקאי ג'ון פון נוימן
    היה פתרון מבריק.
  • 6:44 - 6:48
    פון נוימן היה אולי
    אחד המתמטיקאים המגוונים ביותר
  • 6:48 - 6:50
    שחי אי-פעם.
  • 6:50 - 6:54
    הוא סייע לפיתוח תורת המשחקים
    והמחשב המודרני.
  • 6:55 - 6:58
    הוא היה עילוי,
  • 6:58 - 7:01
    והיה בעל כישורי חישוב מדהימים.
  • 7:02 - 7:05
    ומה היה הפתרון שלו?
  • 7:05 - 7:06
    הנה הוא.
  • 7:06 - 7:07
    הוא אמר: "ובכן,
  • 7:07 - 7:13
    "במקום לקבוע שהמספר 2
    יציין את קבוצת כל הזוגות,
  • 7:13 - 7:16
    "תקבעו שהוא יהיה
    זוג ייחודי."
  • 7:16 - 7:19
    ואיזה זוג זה יהיה?
  • 7:19 - 7:24
    הוא הציע שהמספר 2
    יהיה הקבוצה של קודמיו.
  • 7:24 - 7:29
    למספר 2 קודמים שניים:
    0 ו-1,
  • 7:29 - 7:35
    ושני אלה יהוו קבוצה
    שעליה נמנים ה-0 וה-1.
  • 7:35 - 7:38
    אבל אלה עדיין מספרים;
    0 ו-1.
  • 7:38 - 7:43
    ובכן, 0 מהווה קבוצה של קודמיו.
  • 7:43 - 7:46
    ל-0 אין מספרים קודמים,
    לכן הוא מכונה "קבוצה ריקה,"
  • 7:46 - 7:48
    קבוצה ללא איברים.
  • 7:48 - 7:53
    ול-1 יש מספר קודם אחד:
    0.
  • 7:53 - 7:57
    כלומר, 1 הוא קבוצה
    שרק ה-0 נמנה עליה.
  • 7:57 - 8:02
    בכך הגדרנו
    את ה-2, ה-1 וה-0.
  • 8:02 - 8:06
    אם נצרף את ההגדרות הללו,
    נקבל את הקבוצה...
  • 8:06 - 8:10
    המספר 2 הוא קבוצה
    שעליה נמנות הקבוצה הריקה,
  • 8:10 - 8:12
    שהיא המספר 0,
  • 8:12 - 8:16
    והקבוצה שעליה נמנה מספר יחיד: 1.
  • 8:17 - 8:22
    וזה, אליבא דפון נוימן,
    הוא המספר 2.
  • 8:22 - 8:24
    אלה הקבוצות שמתחתיו.
  • 8:25 - 8:27
    - קבוצות, לא צבים -
  • 8:27 - 8:30
    וכך מצליחים להגיע עד לתחתית.
  • 8:31 - 8:34
    ובדומה לכך, בכל יתר המספרים,
  • 8:34 - 8:37
    המספר 3 הוא מורכב יותר,
    וכן הלאה.
  • 8:38 - 8:43
    זיכרו שההשקפה של פרגה-ראסל
    הולידה מפלצות.
  • 8:43 - 8:46
    כאן כבר אין לנו מפלצת;
  • 8:46 - 8:48
    המפלצת הפכה למלאך,
  • 8:48 - 8:51
    כי למרות שהמספר 2
    מכיל מספרים אחרים,
  • 8:51 - 8:53
    הוא אינו מכיל את עצמו.
  • 8:54 - 8:58
    אפשר לומר שהמפלצת
    טורפת תמיד מפלצת קטנה ממנה.
  • 8:59 - 9:01
    היא לא נתקלת בעצמה.
  • 9:01 - 9:06
    השקפה זו מקובלת על רוב
    הפילוסופים והמתמטיקאים של ימינו,
  • 9:06 - 9:08
    אבל גם בה יש קשיים.
  • 9:09 - 9:11
    קושי אחד שמטריד אותי במיוחד
  • 9:11 - 9:14
    היא שאין שום דבר מיוחד
    במספר 2.
  • 9:14 - 9:19
    אנו רוצים שהמספר 2
    יהיה המשותף לכל הזוגות,
  • 9:20 - 9:25
    אבל מספר 2 של פון נוימן
    הוא רק זוג אחד מני רבים,
  • 9:25 - 9:27
    ואין שום דרך מיוחדת
  • 9:27 - 9:31
    שבה לזוג הזה יהיה מה שמשותף
    לכל הזוגות.
  • 9:32 - 9:34
    כך שזה לא מייחד את המספר 2;
  • 9:34 - 9:37
    זהו רק זוג אחד מני רבים.
  • 9:37 - 9:43
    כעת אנו מגיעים להשקפה הסופית,
    והיא הכי אהובה עלי.
  • 9:45 - 9:50
    מדובר בהשקפה שבאופן כללי
    זוכה לזלזול או התעלמות
  • 9:50 - 9:52
    מצד הפילוסופים והמתמטיקאים
    של ימינו.
  • 9:52 - 9:58
    היא פותחה ע"י גאורג קנטור
    בסוף המאה ה-19.
  • 9:59 - 10:04
    קנטור היה איש אשכולות,
  • 10:05 - 10:08
    כנר מבריק
  • 10:11 - 10:16
    בעל תחומי עניין רבים
    שהשתרעו מדת ועד ספרות.
  • 10:17 - 10:21
    אבל הוא נודע יותר מכל
    בשל "תיאוריית המספר האינסופי" שלו.
  • 10:22 - 10:26
    קנטור רצה למנות
    לא רק אוספים סופיים --
  • 10:26 - 10:29
    -- אני יודע שיש כאן הרבה אנשים,
    אבל זה עדיין מספר סופי --
  • 10:29 - 10:32
    לא רק את האוספים הסופיים,
    כמו מספר הנוכחים כאן,
  • 10:32 - 10:36
    או את מספר השמשות
    בשביל החלב,
  • 10:36 - 10:39
    אלא גם למנות אוספים אינסופיים,
  • 10:39 - 10:44
    כמו אוסף כל המספרים הטבעיים
    או אוסף כל הנקודות במרחב.
  • 10:45 - 10:50
    ולשם כך הוא ניסה לפתח
    תיאוריה כללית של המספר.
  • 10:51 - 10:53
    ומה היתה השקפתו?
  • 10:53 - 10:56
    נתבונן שוב במספר 2.
  • 10:56 - 11:00
    הבה ניקח שני עצמים,
    פידו ופליקס.
  • 11:00 - 11:02
    קנטור אמר:
  • 11:02 - 11:08
    "נשלול משני עצמים אלה
    את כל המאפיינים המבדילים שלהם
  • 11:08 - 11:12
    "פרט להיותם נבדלים זה מזה."
  • 11:12 - 11:14
    כלומר, נסלק את הפרווה שלהם
  • 11:14 - 11:18
    ואת בשרם ודמם,
  • 11:18 - 11:22
    עד שיישארו לנו
    שני עצמים עירומים,
  • 11:22 - 11:25
    מה שהוא כינה:
    "יחידות ללא שום מאפיינים מבדילים."
  • 11:25 - 11:28
    אני מקווה שאין ביניכם אוהבי חיות.
  • 11:28 - 11:33
    בכל אופן, זה מה שקורה לחיות מחמד
    כשקנטור תופס אותן.
  • 11:34 - 11:36
    אז מה הן היחידות האלה?
  • 11:36 - 11:40
    קחו לדוגמה את שני הדולרים
    שבחשבון הבנק שלכם --
  • 11:40 - 11:43
    -- אני מקווה שנותרו לכם 2 דולר
    אחרי ששילמתם את דמי הכניסה --
  • 11:43 - 11:47
    שני הדולרים האלה
    אינם ייחודיים,
  • 11:47 - 11:50
    אבל כשאתם ניגשים לכספומט,
  • 11:50 - 11:53
    אתם יכולים לרכוש אותם
    תמורת שני דולרים.
  • 11:53 - 11:55
    כלומר, אין בהם
    כל דבר מיוחד,
  • 11:55 - 11:58
    אבל ניתן לפדות אותם
    תמורת שני דולרים אחרים.
  • 11:58 - 12:00
    כאלה הן היחידות של קנטור.
  • 12:00 - 12:04
    כשאתם ניגשים לכספומט של קנטור
    כדי לפדות את היחידות שלכם,
  • 12:04 - 12:07
    אתם מקבלים שני עצמים כלשהם.
  • 12:07 - 12:09
    זאת מכונת ההגרלות האולטימטיבית.
  • 12:10 - 12:12
    הרעיון של קנטור היה זה:
  • 12:12 - 12:17
    משתמשים במספר 2
    לציון הקבוצה של 2 היחידות האלה.
  • 12:17 - 12:19
    כלומר, אנו לוקחים
    את 2 היחידות האלה,
  • 12:19 - 12:22
    שניתן היה לגזור
    מכל 2 עצמים שהם,
  • 12:22 - 12:27
    והמספר 2 הוא הקבוצה
    של 2 היחידות האלה.
  • 12:27 - 12:29
    וכך עבור כל יתר המספרים,
  • 12:29 - 12:31
    המספר 3 יהיה הקבוצה
    של 3 יחידות,
  • 12:31 - 12:34
    וכן הלאה וכן הלאה.
  • 12:34 - 12:37
    אז יש לנו 3 השקפות.
  • 12:37 - 12:39
    ההשקפה של פרגה-ראסל,
  • 12:39 - 12:42
    שקובעת שהמספר 2
    הוא קבוצת כל הזוגות,
  • 12:42 - 12:44
    ההשקפה של פון נוימן,
  • 12:44 - 12:48
    שקובעת שהמספר 2
    הוא קבוצה שעליה נמנים 0 ו-1,
  • 12:48 - 12:52
    וההשקפה של קנטור,
  • 12:52 - 12:55
    שקובעת ש-2
    הוא קבוצה של 2 יחידות.
  • 12:55 - 12:59
    ההשקפה של פרגה-ראסל
    מולידה מפלצות,
  • 13:01 - 13:02
    כך שלא נוכל לקבלה.
  • 13:03 - 13:06
    ההשקפה של פון נוימן
    אינה מסבירה היטב
  • 13:06 - 13:10
    מדוע המספר 2
    משותף לכל הזוגות.
  • 13:11 - 13:15
    ההשקפה של קנטור
    חפה מכל הקשיים האלה.
  • 13:15 - 13:19
    היא לא מולידה מפלצות
    כי המספר 2 מכיל רק יחידות;
  • 13:19 - 13:22
    הוא עצמו אינה מכילה
    את המספר 2.
  • 13:22 - 13:25
    והוא בבירור משותף לכל הזוגות,
  • 13:25 - 13:28
    משום שהוא נגזר
    מתהליך זה של הפשטה,
  • 13:28 - 13:31
    או התפשטות, מכל זוג שהוא.
  • 13:33 - 13:37
    אז תודות לקנטור,
    היום אנו יודעים מהם מספרים.
  • 13:38 - 13:39
    תודה לכם.
  • 13:39 - 13:42
    [מחיאות כפיים]
Title:
מהם המספרים? קיט פיין - TEDxניו-יורק
Description:

המספרים אינם עצמים מוחשיים וגם לא מנטליים. הם אינם קיימים במרחב או בזמן, ובכל זאת יש לנו קשר אישי וקרוב עימם. בהרצאה שובת-לב זו בוחן קיט פיין שלוש השקפות הנוגעות למהות המספרים.
more » « less
Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TEDxTalks
Duration:
13:44

Hebrew subtitles

Revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.