מספרים הם משונים.
הם אינם עצמים מוחשיים.
איש לא התנגש במספר שתיים או נתקל במספר שלוש,
אפילו לא המרצה המטורף שלכם למתמטיקה.
הם גם אינם עצמים מנטליים.
המחשבה על אהוביכם אינה אהוביכם,
ככל שתרצו שזה יהיה כך.
וגם המחשבה על המספר שלוש אינה המספר שלוש.
המספרים גם לא קיימים במרחב או בזמן.
אינכם מצפים למצוא את המספר שלוש בארון המטבח,
ואין צורך לדאוג
שהמספרים אולי לא היו קיימים פעם
או שיום אחד יחדלו מלהתקיים.
אבל למרות שהמספרים רחוקים מאד
מן העולם המוכר של מחשבות ועצמים,
יש להם קשר הדוק לעולם הזה,
משום שאנו עושים דברים בעזרת המספרים.
אנו סופרים בעזרתם, מודדים בעזרתם,
אנו מנסחים בעזרתם את התיאוריות המדעיות שלנו.
וזה הופך את זהותם למוזרה עוד יותר.
איך ייתכן שהם כה מרוחקים מן העולם המוכר
ועדיין כה קשורים אליו?
בהרצאה זאת ברצוני להתייחס לשלוש השקפות על מהות המספרים,
שפיתחו מתמטיקאים ופילוסופים
בערך בסוף המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20.
כל ההשקפות האלה מניחות מראש שבמובן הצר של הדברים,
איננו מונים דברים, אלא קבוצות של דברים.
קבוצה היא פשוט דברים רבים, יהיו אשר יהיו,
שנחשבים למספר בודד.
למשל, קבוצת בקבוקי הבירה ששתיתם אמש.
הבקבוקים מוכנסים לסוגריים האלה כדי לציין ש-6 הבקבוקים
נחשבים לעצם אחד.
וישנה הקבוצה שכוללת את 2 חיות המחמד שלכם, פידו ופליקס.
או קבוצה שכוללת את כל המספרים הטבעיים,
והם מוכנסים לקבוצת הענק הזו:
0, 1, 2, 3, 4 וכן הלאה.
כלומר, כשאנו מונים, אנו מייחסים מספר לקבוצה
כשמדובר בבקבוקי הבירה, את המספר 6,
בהנחה שאינכם שתויים מכדי למנותם.
כשמדובר בחיות המחמד, המספר הוא 2.
וכשמדובר במספרים הטבעיים, שנחשבים חלק מקבוצה גדולה אחת,
זה יהיה מספר אינסופי כלשהו.
ההשקפה הראשונה שברצוני לבחון, בנוגע לטיבם של המספרים
פותחה באופן נפרד ע"י שני פילוסופים דגולים של המתמטיקה,
גוטלוב פרגה וברטרנד ראסל.
שני האנשים האלה היו שונים מאד זה מזה.
ראסל הגיע מהאריסטוקרטיה האנגלית,
ופרגה - מהמעמד הבינוני הנינוח בגרמניה.
ראסל היה ליברל לוחמני;
פרגה, לצערי, היה מראשוני הנאצים.
לראסל היו ארבע נשים ואינספור פילגשים;
פרגה היה נשוי לאישה אחת,
וככל שידוע לי, נהנה מחיי-נישואין מאושרים ורגועים.
אך למרות ההבדלים האלה,
היתה להם אותה השקפה על טיבם של המספרים.
ומה היתה ההשקפה?
ניקח לדוגמה את המספר 2.
ניתן להשתמש ב-2 כדי למספר כל קבוצה כפולה, או זוג.
למשל, כדי למספר את הקבוצה שעליה נמנים פרגה וראסל,
או למספר את הקבוצה שכוללת
את חיות המחמד שלכם, פידו ופליקס,
או להשתמש בו כדי למספר
שתי עריו המפורסמות של דיקנס, לונדון ופריז.
התעקשתי שלונדון תהיה כאן ראשונה.
[צחוק]
הרעיון של ראסל ופרגה
היה להציב את כל הזוגות האלה בקבוצה גדולה אחת.
אנו עורמים את כולם בקבוצה גדולה אחת שמקבלת את המספר 2.
כלומר, המספר 2 הוא קבוצה של קבוצות,
וקבוצות אלה הן כל הזוגות שניתן למנות במספר 2.
בדומה לכך, עבור כל יתר המספרים,
המספר 3 יציין קבוצה של כל השלישיות,
המספר 4 יציין קבוצה של כל הרביעיות, וכן הלאה.
תיאוריה פשוטה ויפה.
למרבה הצער, היא הובילה לסתירה.
לא אוכל לתת לכם כאן הדגמה של הסתירה,
אבל אוכל לתת לכם מושג איך היא התעוררה.
ודאי תזכרו שהמספר 2 ציין את קבוצת כל הזוגות,
כל הזוגות של כל דבר,
ובפרט, זוגות שהכילו בעצמם את המספר 2.
הבה נתבונן בזוג כזה,
שמכיל את המספר 2 ואת המספר 1.
והזוג הזה,
הזוג של 1 -2, נכלל בעצמו במספר 2,
ואז המספר 2 יכיל את עצמו,
וזה נראה בלתי-אפשרי.
לשם המחשה:
דמיינו נחש רעב מאד שמנסה לאכול את זנבו הוא.
אולי הוא יצליח בכך --
-- זהו האיור הכי טוב שהצלחנו למצוא --
דוחה, אבל עדיין ניתן לביצוע.
[צחוק]
אך כעת דמיינו שהנחש כה רעב,
עד שהוא מנסה לאכול את עצמו בשלמותו.
זה בהחלט בלתי-אפשרי,
כי אז קיבת הנחש תימצא בתוך קיבתו.
וזה מה שקורה עם המספר 2.
המספר 2, כפי שאתם רואים, נמצא כולו בתוך עצמו.
איך אפשר היה לפתור זאת?
למתמטיקאי ג'ון פון נוימן היה פתרון מבריק.
פון נוימן היה אולי אחד המתמטיקאים המגוונים ביותר
שחי אי-פעם.
הוא סייע לפיתוח תורת המשחקים והמחשב המודרני.
הוא היה עילוי,
והיה בעל כישורי חישוב מדהימים.
ומה היה הפתרון שלו?
הנה הוא.
הוא אמר: "ובכן,
"במקום לקבוע שהמספר 2 יציין את קבוצת כל הזוגות,
"תקבעו שהוא יהיה זוג ייחודי."
ואיזה זוג זה יהיה?
הוא הציע שהמספר 2 יהיה הקבוצה של קודמיו.
למספר 2 קודמים שניים: 0 ו-1,
ושני אלה יהוו קבוצה שעליה נמנים ה-0 וה-1.
אבל אלה עדיין מספרים; 0 ו-1.
ובכן, 0 מהווה קבוצה של קודמיו.
ל-0 אין מספרים קודמים, לכן הוא מכונה "קבוצה ריקה,"
קבוצה ללא איברים.
ול-1 יש מספר קודם אחד: 0.
כלומר, 1 הוא קבוצה שרק ה-0 נמנה עליה.
בכך הגדרנו את ה-2, ה-1 וה-0.
אם נצרף את ההגדרות הללו, נקבל את הקבוצה...
המספר 2 הוא קבוצה שעליה נמנות הקבוצה הריקה,
שהיא המספר 0,
והקבוצה שעליה נמנה מספר יחיד: 1.
וזה, אליבא דפון נוימן, הוא המספר 2.
אלה הקבוצות שמתחתיו.
- קבוצות, לא צבים -
וכך מצליחים להגיע עד לתחתית.
ובדומה לכך, בכל יתר המספרים,
המספר 3 הוא מורכב יותר, וכן הלאה.
זיכרו שההשקפה של פרגה-ראסל הולידה מפלצות.
כאן כבר אין לנו מפלצת;
המפלצת הפכה למלאך,
כי למרות שהמספר 2 מכיל מספרים אחרים,
הוא אינו מכיל את עצמו.
אפשר לומר שהמפלצת טורפת תמיד מפלצת קטנה ממנה.
היא לא נתקלת בעצמה.
השקפה זו מקובלת על רוב הפילוסופים והמתמטיקאים של ימינו,
אבל גם בה יש קשיים.
קושי אחד שמטריד אותי במיוחד
היא שאין שום דבר מיוחד במספר 2.
אנו רוצים שהמספר 2 יהיה המשותף לכל הזוגות,
אבל מספר 2 של פון נוימן הוא רק זוג אחד מני רבים,
ואין שום דרך מיוחדת
שבה לזוג הזה יהיה מה שמשותף לכל הזוגות.
כך שזה לא מייחד את המספר 2;
זהו רק זוג אחד מני רבים.
כעת אנו מגיעים להשקפה הסופית, והיא הכי אהובה עלי.
מדובר בהשקפה שבאופן כללי זוכה לזלזול או התעלמות
מצד הפילוסופים והמתמטיקאים של ימינו.
היא פותחה ע"י גאורג קנטור בסוף המאה ה-19.
קנטור היה איש אשכולות,
כנר מבריק
בעל תחומי עניין רבים שהשתרעו מדת ועד ספרות.
אבל הוא נודע יותר מכל בשל "תיאוריית המספר האינסופי" שלו.
קנטור רצה למנות לא רק אוספים סופיים --
-- אני יודע שיש כאן הרבה אנשים, אבל זה עדיין מספר סופי --
לא רק את האוספים הסופיים, כמו מספר הנוכחים כאן,
או את מספר השמשות בשביל החלב,
אלא גם למנות אוספים אינסופיים,
כמו אוסף כל המספרים הטבעיים או אוסף כל הנקודות במרחב.
ולשם כך הוא ניסה לפתח תיאוריה כללית של המספר.
ומה היתה השקפתו?
נתבונן שוב במספר 2.
הבה ניקח שני עצמים, פידו ופליקס.
קנטור אמר:
"נשלול משני עצמים אלה את כל המאפיינים המבדילים שלהם
"פרט להיותם נבדלים זה מזה."
כלומר, נסלק את הפרווה שלהם
ואת בשרם ודמם,
עד שיישארו לנו שני עצמים עירומים,
מה שהוא כינה: "יחידות ללא שום מאפיינים מבדילים."
אני מקווה שאין ביניכם אוהבי חיות.
בכל אופן, זה מה שקורה לחיות מחמד כשקנטור תופס אותן.
אז מה הן היחידות האלה?
קחו לדוגמה את שני הדולרים שבחשבון הבנק שלכם --
-- אני מקווה שנותרו לכם 2 דולר אחרי ששילמתם את דמי הכניסה --
שני הדולרים האלה אינם ייחודיים,
אבל כשאתם ניגשים לכספומט,
אתם יכולים לרכוש אותם תמורת שני דולרים.
כלומר, אין בהם כל דבר מיוחד,
אבל ניתן לפדות אותם תמורת שני דולרים אחרים.
כאלה הן היחידות של קנטור.
כשאתם ניגשים לכספומט של קנטור כדי לפדות את היחידות שלכם,
אתם מקבלים שני עצמים כלשהם.
זאת מכונת ההגרלות האולטימטיבית.
הרעיון של קנטור היה זה:
משתמשים במספר 2 לציון הקבוצה של 2 היחידות האלה.
כלומר, אנו לוקחים את 2 היחידות האלה,
שניתן היה לגזור מכל 2 עצמים שהם,
והמספר 2 הוא הקבוצה של 2 היחידות האלה.
וכך עבור כל יתר המספרים,
המספר 3 יהיה הקבוצה של 3 יחידות,
וכן הלאה וכן הלאה.
אז יש לנו 3 השקפות.
ההשקפה של פרגה-ראסל,
שקובעת שהמספר 2 הוא קבוצת כל הזוגות,
ההשקפה של פון נוימן,
שקובעת שהמספר 2 הוא קבוצה שעליה נמנים 0 ו-1,
וההשקפה של קנטור,
שקובעת ש-2 הוא קבוצה של 2 יחידות.
ההשקפה של פרגה-ראסל מולידה מפלצות,
כך שלא נוכל לקבלה.
ההשקפה של פון נוימן אינה מסבירה היטב
מדוע המספר 2 משותף לכל הזוגות.
ההשקפה של קנטור חפה מכל הקשיים האלה.
היא לא מולידה מפלצות כי המספר 2 מכיל רק יחידות;
הוא עצמו אינה מכילה את המספר 2.
והוא בבירור משותף לכל הזוגות,
משום שהוא נגזר מתהליך זה של הפשטה,
או התפשטות, מכל זוג שהוא.
אז תודות לקנטור, היום אנו יודעים מהם מספרים.
תודה לכם.
[מחיאות כפיים]