1
00:00:17,498 --> 00:00:19,767
מספרים הם משונים.

2
00:00:20,530 --> 00:00:22,925
הם אינם עצמים מוחשיים.

3
00:00:23,195 --> 00:00:28,535
איש לא התנגש במספר שתיים
או נתקל במספר שלוש,

4
00:00:28,535 --> 00:00:31,385
אפילו לא המרצה המטורף שלכם למתמטיקה.

5
00:00:32,451 --> 00:00:35,974
הם גם אינם עצמים מנטליים.

6
00:00:35,974 --> 00:00:39,231
המחשבה על אהוביכם
אינה אהוביכם,

7
00:00:39,231 --> 00:00:41,812
ככל שתרצו שזה יהיה כך.

8
00:00:41,812 --> 00:00:46,375
וגם המחשבה על המספר שלוש
אינה המספר שלוש.

9
00:00:47,088 --> 00:00:50,718
המספרים גם לא קיימים
במרחב או בזמן.

10
00:00:50,718 --> 00:00:55,027
אינכם מצפים למצוא את המספר שלוש
בארון המטבח,

11
00:00:55,027 --> 00:00:57,040
ואין צורך לדאוג

12
00:00:57,040 --> 00:00:59,276
שהמספרים אולי
לא היו קיימים פעם

13
00:00:59,276 --> 00:01:03,372
או שיום אחד יחדלו מלהתקיים.

14
00:01:03,372 --> 00:01:06,540
אבל למרות שהמספרים רחוקים מאד

15
00:01:06,541 --> 00:01:10,284
מן העולם המוכר
של מחשבות ועצמים,

16
00:01:10,892 --> 00:01:14,455
יש להם קשר הדוק לעולם הזה,

17
00:01:14,455 --> 00:01:18,028
משום שאנו עושים דברים
בעזרת המספרים.

18
00:01:18,028 --> 00:01:22,423
אנו סופרים בעזרתם,
מודדים בעזרתם,

19
00:01:22,423 --> 00:01:26,570
אנו מנסחים בעזרתם
את התיאוריות המדעיות שלנו.

20
00:01:27,205 --> 00:01:31,213
וזה הופך את זהותם
למוזרה עוד יותר.

21
00:01:31,213 --> 00:01:35,897
איך ייתכן שהם כה מרוחקים
מן העולם המוכר

22
00:01:35,897 --> 00:01:39,385
ועדיין כה קשורים אליו?

23
00:01:40,398 --> 00:01:45,952
בהרצאה זאת ברצוני להתייחס
לשלוש השקפות על מהות המספרים,

24
00:01:45,952 --> 00:01:49,881
שפיתחו מתמטיקאים ופילוסופים

25
00:01:49,881 --> 00:01:55,900
בערך בסוף המאה ה-19
ותחילת המאה ה-20.

26
00:01:56,679 --> 00:02:00,492
כל ההשקפות האלה מניחות מראש
שבמובן הצר של הדברים,

27
00:02:00,492 --> 00:02:05,490
איננו מונים דברים,
אלא קבוצות של דברים.

28
00:02:05,490 --> 00:02:09,093
קבוצה היא פשוט דברים רבים,
יהיו אשר יהיו,

29
00:02:09,093 --> 00:02:11,416
שנחשבים למספר בודד.

30
00:02:11,416 --> 00:02:18,909
למשל, קבוצת בקבוקי הבירה
ששתיתם אמש.

31
00:02:19,683 --> 00:02:22,938
הבקבוקים מוכנסים לסוגריים האלה
כדי לציין ש-6 הבקבוקים

32
00:02:22,938 --> 00:02:25,672
נחשבים לעצם אחד.

33
00:02:25,672 --> 00:02:31,652
וישנה הקבוצה שכוללת את
2 חיות המחמד שלכם, פידו ופליקס.

34
00:02:33,402 --> 00:02:38,203
או קבוצה שכוללת
את כל המספרים הטבעיים,

35
00:02:38,203 --> 00:02:40,245
והם מוכנסים לקבוצת הענק הזו:

36
00:02:40,245 --> 00:02:42,715
0, 1, 2, 3, 4
וכן הלאה.

37
00:02:44,234 --> 00:02:49,002
כלומר, כשאנו מונים,
אנו מייחסים מספר לקבוצה

38
00:02:49,362 --> 00:02:52,166
כשמדובר בבקבוקי הבירה,
את המספר 6,

39
00:02:52,166 --> 00:02:55,775
בהנחה שאינכם שתויים
מכדי למנותם.

40
00:02:56,845 --> 00:02:59,561
כשמדובר בחיות המחמד,
המספר הוא 2.

41
00:03:00,251 --> 00:03:04,667
וכשמדובר במספרים הטבעיים,
שנחשבים חלק מקבוצה גדולה אחת,

42
00:03:04,667 --> 00:03:07,001
זה יהיה מספר אינסופי כלשהו.

43
00:03:07,871 --> 00:03:12,098
ההשקפה הראשונה שברצוני לבחון,
בנוגע לטיבם של המספרים

44
00:03:12,098 --> 00:03:16,602
פותחה באופן נפרד ע"י שני
פילוסופים דגולים של המתמטיקה,

45
00:03:16,602 --> 00:03:19,522
גוטלוב פרגה וברטרנד ראסל.

46
00:03:19,522 --> 00:03:22,950
שני האנשים האלה
היו שונים מאד זה מזה.

47
00:03:24,010 --> 00:03:27,082
ראסל הגיע מהאריסטוקרטיה האנגלית,

48
00:03:27,082 --> 00:03:30,115
ופרגה - מהמעמד הבינוני הנינוח בגרמניה.

49
00:03:31,089 --> 00:03:34,213
ראסל היה ליברל לוחמני;

50
00:03:35,233 --> 00:03:38,360
פרגה, לצערי, היה מראשוני הנאצים.

51
00:03:39,334 --> 00:03:45,479
לראסל היו ארבע נשים
ואינספור פילגשים;

52
00:03:45,479 --> 00:03:47,300
פרגה היה נשוי לאישה אחת,

53
00:03:47,300 --> 00:03:52,532
וככל שידוע לי,
נהנה מחיי-נישואין מאושרים ורגועים.

54
00:03:53,160 --> 00:03:55,606
אך למרות ההבדלים האלה,

55
00:03:55,606 --> 00:03:58,679
היתה להם אותה השקפה
על טיבם של המספרים.

56
00:03:59,391 --> 00:04:00,709
ומה היתה ההשקפה?

57
00:04:00,709 --> 00:04:04,094
ניקח לדוגמה את המספר 2.

58
00:04:04,094 --> 00:04:09,122
ניתן להשתמש ב-2 כדי למספר
כל קבוצה כפולה, או זוג.

59
00:04:09,124 --> 00:04:15,554
למשל, כדי למספר את הקבוצה
שעליה נמנים פרגה וראסל,

60
00:04:15,554 --> 00:04:18,038
או למספר את הקבוצה שכוללת

61
00:04:18,038 --> 00:04:22,225
את חיות המחמד שלכם,
פידו ופליקס,

62
00:04:23,176 --> 00:04:25,502
או להשתמש בו כדי למספר

63
00:04:25,502 --> 00:04:29,250
שתי עריו המפורסמות של דיקנס,
לונדון ופריז.

64
00:04:29,250 --> 00:04:32,348
התעקשתי שלונדון תהיה כאן ראשונה.

65
00:04:32,348 --> 00:04:33,644
[צחוק]

66
00:04:35,044 --> 00:04:38,182
הרעיון של ראסל ופרגה

67
00:04:38,182 --> 00:04:42,980
היה להציב את כל הזוגות האלה
בקבוצה גדולה אחת.

68
00:04:42,980 --> 00:04:47,220
אנו עורמים את כולם בקבוצה גדולה אחת
שמקבלת את המספר 2.

69
00:04:47,220 --> 00:04:50,228
כלומר, המספר 2 הוא
קבוצה של קבוצות,

70
00:04:50,538 --> 00:04:55,365
וקבוצות אלה הן כל הזוגות
שניתן למנות במספר 2.

71
00:04:55,365 --> 00:04:57,654
בדומה לכך,
עבור כל יתר המספרים,

72
00:04:57,654 --> 00:05:00,096
המספר 3 יציין קבוצה
של כל השלישיות,

73
00:05:00,096 --> 00:05:03,844
המספר 4 יציין קבוצה
של כל הרביעיות, וכן הלאה.

74
00:05:04,424 --> 00:05:07,172
תיאוריה פשוטה ויפה.

75
00:05:07,936 --> 00:05:11,744
למרבה הצער,
היא הובילה לסתירה.

76
00:05:12,516 --> 00:05:15,526
לא אוכל לתת לכם כאן
הדגמה של הסתירה,

77
00:05:15,526 --> 00:05:18,743
אבל אוכל לתת לכם מושג
איך היא התעוררה.

78
00:05:19,788 --> 00:05:24,828
ודאי תזכרו שהמספר 2
ציין את קבוצת כל הזוגות,

79
00:05:24,828 --> 00:05:27,058
כל הזוגות
של כל דבר,

80
00:05:27,058 --> 00:05:33,138
ובפרט, זוגות שהכילו בעצמם
את המספר 2.

81
00:05:33,914 --> 00:05:35,823
הבה נתבונן בזוג כזה,

82
00:05:35,823 --> 00:05:39,166
שמכיל את המספר 2
ואת המספר 1.

83
00:05:39,166 --> 00:05:40,709
והזוג הזה,

84
00:05:41,859 --> 00:05:45,853
הזוג של 1 -2,
נכלל בעצמו במספר 2,

85
00:05:45,853 --> 00:05:49,222
ואז המספר 2 יכיל את עצמו,

86
00:05:50,032 --> 00:05:52,538
וזה נראה בלתי-אפשרי.

87
00:05:53,308 --> 00:05:55,209
לשם המחשה:

88
00:05:55,209 --> 00:06:00,292
דמיינו נחש רעב מאד
שמנסה לאכול את זנבו הוא.

89
00:06:00,622 --> 00:06:03,288
אולי הוא יצליח בכך --

90
00:06:03,288 --> 00:06:06,737
-- זהו האיור הכי טוב
שהצלחנו למצוא --

91
00:06:06,737 --> 00:06:09,315
דוחה, אבל עדיין ניתן לביצוע.

92
00:06:09,315 --> 00:06:10,769
[צחוק]

93
00:06:10,769 --> 00:06:14,202
אך כעת דמיינו
שהנחש כה רעב,

94
00:06:14,202 --> 00:06:18,025
עד שהוא מנסה לאכול
את עצמו בשלמותו.

95
00:06:18,735 --> 00:06:20,675
זה בהחלט בלתי-אפשרי,

96
00:06:20,675 --> 00:06:26,014
כי אז קיבת הנחש
תימצא בתוך קיבתו.

97
00:06:26,014 --> 00:06:29,038
וזה מה שקורה עם המספר 2.

98
00:06:29,038 --> 00:06:35,142
המספר 2, כפי שאתם רואים,
נמצא כולו בתוך עצמו.

99
00:06:36,292 --> 00:06:38,141
איך אפשר היה לפתור זאת?

100
00:06:39,101 --> 00:06:43,694
למתמטיקאי ג'ון פון נוימן
היה פתרון מבריק.

101
00:06:44,484 --> 00:06:48,470
פון נוימן היה אולי
אחד המתמטיקאים המגוונים ביותר

102
00:06:48,470 --> 00:06:50,156
שחי אי-פעם.

103
00:06:50,156 --> 00:06:54,315
הוא סייע לפיתוח תורת המשחקים
והמחשב המודרני.

104
00:06:55,234 --> 00:06:58,459
הוא היה עילוי,

105
00:06:58,459 --> 00:07:01,464
והיה בעל כישורי חישוב מדהימים.

106
00:07:02,374 --> 00:07:04,581
ומה היה הפתרון שלו?

107
00:07:04,581 --> 00:07:05,661
הנה הוא.

108
00:07:05,661 --> 00:07:07,206
הוא אמר: "ובכן,

109
00:07:07,206 --> 00:07:13,051
"במקום לקבוע שהמספר 2
יציין את קבוצת כל הזוגות,

110
00:07:13,481 --> 00:07:16,478
"תקבעו שהוא יהיה
זוג ייחודי."

111
00:07:16,478 --> 00:07:18,553
ואיזה זוג זה יהיה?

112
00:07:18,553 --> 00:07:24,043
הוא הציע שהמספר 2
יהיה הקבוצה של קודמיו.

113
00:07:24,043 --> 00:07:28,827
למספר 2 קודמים שניים:
0 ו-1,

114
00:07:28,827 --> 00:07:34,831
ושני אלה יהוו קבוצה
שעליה נמנים ה-0 וה-1.

115
00:07:34,831 --> 00:07:37,984
אבל אלה עדיין מספרים;
0 ו-1.

116
00:07:37,984 --> 00:07:42,752
ובכן, 0 מהווה קבוצה של קודמיו.

117
00:07:42,752 --> 00:07:45,866
ל-0 אין מספרים קודמים,
לכן הוא מכונה "קבוצה ריקה,"

118
00:07:45,866 --> 00:07:48,103
קבוצה ללא איברים.

119
00:07:48,103 --> 00:07:52,778
ול-1 יש מספר קודם אחד:
0.

120
00:07:52,778 --> 00:07:57,268
כלומר, 1 הוא קבוצה
שרק ה-0 נמנה עליה.

121
00:07:57,275 --> 00:08:01,731
בכך הגדרנו
את ה-2, ה-1 וה-0.

122
00:08:01,731 --> 00:08:05,679
אם נצרף את ההגדרות הללו,
נקבל את הקבוצה...

123
00:08:05,679 --> 00:08:10,110
המספר 2 הוא קבוצה
שעליה נמנות הקבוצה הריקה,

124
00:08:10,110 --> 00:08:11,846
שהיא המספר 0,

125
00:08:11,846 --> 00:08:16,423
והקבוצה שעליה נמנה מספר יחיד: 1.

126
00:08:17,359 --> 00:08:21,966
וזה, אליבא דפון נוימן,
הוא המספר 2.

127
00:08:21,966 --> 00:08:24,297
אלה הקבוצות שמתחתיו.

128
00:08:25,107 --> 00:08:27,205
- קבוצות, לא צבים -

129
00:08:27,205 --> 00:08:29,983
וכך מצליחים להגיע עד לתחתית.

130
00:08:31,183 --> 00:08:33,890
ובדומה לכך, בכל יתר המספרים,

131
00:08:33,890 --> 00:08:37,159
המספר 3 הוא מורכב יותר,
וכן הלאה.

132
00:08:38,209 --> 00:08:42,954
זיכרו שההשקפה של פרגה-ראסל
הולידה מפלצות.

133
00:08:42,954 --> 00:08:46,000
כאן כבר אין לנו מפלצת;

134
00:08:46,000 --> 00:08:47,939
המפלצת הפכה למלאך,

135
00:08:47,939 --> 00:08:50,790
כי למרות שהמספר 2
מכיל מספרים אחרים,

136
00:08:50,790 --> 00:08:53,117
הוא אינו מכיל את עצמו.

137
00:08:53,995 --> 00:08:57,901
אפשר לומר שהמפלצת
טורפת תמיד מפלצת קטנה ממנה.

138
00:08:58,906 --> 00:09:00,781
היא לא נתקלת בעצמה.

139
00:09:00,781 --> 00:09:05,743
השקפה זו מקובלת על רוב
הפילוסופים והמתמטיקאים של ימינו,

140
00:09:05,743 --> 00:09:08,369
אבל גם בה יש קשיים.

141
00:09:08,809 --> 00:09:11,039
קושי אחד שמטריד אותי במיוחד

142
00:09:11,039 --> 00:09:14,340
היא שאין שום דבר מיוחד
במספר 2.

143
00:09:14,340 --> 00:09:19,338
אנו רוצים שהמספר 2
יהיה המשותף לכל הזוגות,

144
00:09:20,022 --> 00:09:25,253
אבל מספר 2 של פון נוימן
הוא רק זוג אחד מני רבים,

145
00:09:25,253 --> 00:09:26,695
ואין שום דרך מיוחדת

146
00:09:26,695 --> 00:09:30,691
שבה לזוג הזה יהיה מה שמשותף
לכל הזוגות.

147
00:09:31,694 --> 00:09:34,227
כך שזה לא מייחד את המספר 2;

148
00:09:34,227 --> 00:09:36,800
זהו רק זוג אחד מני רבים.

149
00:09:37,200 --> 00:09:42,508
כעת אנו מגיעים להשקפה הסופית,
והיא הכי אהובה עלי.

150
00:09:44,752 --> 00:09:49,742
מדובר בהשקפה שבאופן כללי
זוכה לזלזול או התעלמות

151
00:09:49,742 --> 00:09:52,424
מצד הפילוסופים והמתמטיקאים
של ימינו.

152
00:09:52,424 --> 00:09:58,435
היא פותחה ע"י גאורג קנטור
בסוף המאה ה-19.

153
00:09:59,406 --> 00:10:04,115
קנטור היה איש אשכולות,

154
00:10:04,815 --> 00:10:08,024
כנר מבריק

155
00:10:11,104 --> 00:10:16,260
בעל תחומי עניין רבים
שהשתרעו מדת ועד ספרות.

156
00:10:17,444 --> 00:10:20,911
אבל הוא נודע יותר מכל
בשל "תיאוריית המספר האינסופי" שלו.

157
00:10:21,631 --> 00:10:25,540
קנטור רצה למנות
לא רק אוספים סופיים --

158
00:10:25,540 --> 00:10:29,430
-- אני יודע שיש כאן הרבה אנשים,
אבל זה עדיין מספר סופי --

159
00:10:29,430 --> 00:10:32,100
לא רק את האוספים הסופיים,
כמו מספר הנוכחים כאן,

160
00:10:32,100 --> 00:10:36,180
או את מספר השמשות
בשביל החלב,

161
00:10:36,180 --> 00:10:39,403
אלא גם למנות אוספים אינסופיים,

162
00:10:39,403 --> 00:10:44,332
כמו אוסף כל המספרים הטבעיים
או אוסף כל הנקודות במרחב.

163
00:10:45,456 --> 00:10:50,288
ולשם כך הוא ניסה לפתח
תיאוריה כללית של המספר.

164
00:10:51,342 --> 00:10:53,467
ומה היתה השקפתו?

165
00:10:53,467 --> 00:10:55,816
נתבונן שוב במספר 2.

166
00:10:55,816 --> 00:10:59,699
הבה ניקח שני עצמים,
פידו ופליקס.

167
00:11:00,259 --> 00:11:01,613
קנטור אמר:

168
00:11:01,613 --> 00:11:08,035
"נשלול משני עצמים אלה
את כל המאפיינים המבדילים שלהם

169
00:11:08,495 --> 00:11:11,699
"פרט להיותם נבדלים זה מזה."

170
00:11:11,699 --> 00:11:14,443
כלומר, נסלק את הפרווה שלהם

171
00:11:14,443 --> 00:11:17,787
ואת בשרם ודמם,

172
00:11:17,787 --> 00:11:22,062
עד שיישארו לנו
שני עצמים עירומים,

173
00:11:22,062 --> 00:11:25,479
מה שהוא כינה:
"יחידות ללא שום מאפיינים מבדילים."

174
00:11:25,479 --> 00:11:28,207
אני מקווה שאין ביניכם אוהבי חיות.

175
00:11:28,207 --> 00:11:32,743
בכל אופן, זה מה שקורה לחיות מחמד
כשקנטור תופס אותן.

176
00:11:33,973 --> 00:11:36,205
אז מה הן היחידות האלה?

177
00:11:36,205 --> 00:11:40,032
קחו לדוגמה את שני הדולרים
שבחשבון הבנק שלכם --

178
00:11:40,032 --> 00:11:43,497
-- אני מקווה שנותרו לכם 2 דולר
אחרי ששילמתם את דמי הכניסה --

179
00:11:43,497 --> 00:11:47,362
שני הדולרים האלה
אינם ייחודיים,

180
00:11:47,362 --> 00:11:49,602
אבל כשאתם ניגשים לכספומט,

181
00:11:49,602 --> 00:11:52,753
אתם יכולים לרכוש אותם
תמורת שני דולרים.

182
00:11:52,753 --> 00:11:55,009
כלומר, אין בהם
כל דבר מיוחד,

183
00:11:55,009 --> 00:11:57,653
אבל ניתן לפדות אותם
תמורת שני דולרים אחרים.

184
00:11:57,653 --> 00:11:59,700
כאלה הן היחידות של קנטור.

185
00:11:59,700 --> 00:12:03,812
כשאתם ניגשים לכספומט של קנטור
כדי לפדות את היחידות שלכם,

186
00:12:03,812 --> 00:12:06,593
אתם מקבלים שני עצמים כלשהם.

187
00:12:06,593 --> 00:12:08,871
זאת מכונת ההגרלות האולטימטיבית.

188
00:12:09,633 --> 00:12:12,145
הרעיון של קנטור היה זה:

189
00:12:12,145 --> 00:12:17,090
משתמשים במספר 2
לציון הקבוצה של 2 היחידות האלה.

190
00:12:17,090 --> 00:12:19,230
כלומר, אנו לוקחים
את 2 היחידות האלה,

191
00:12:19,230 --> 00:12:22,359
שניתן היה לגזור
מכל 2 עצמים שהם,

192
00:12:22,359 --> 00:12:26,892
והמספר 2 הוא הקבוצה
של 2 היחידות האלה.

193
00:12:27,322 --> 00:12:29,018
וכך עבור כל יתר המספרים,

194
00:12:29,018 --> 00:12:31,411
המספר 3 יהיה הקבוצה
של 3 יחידות,

195
00:12:31,411 --> 00:12:33,811
וכן הלאה וכן הלאה.

196
00:12:33,811 --> 00:12:37,002
אז יש לנו 3 השקפות.

197
00:12:37,002 --> 00:12:38,808
ההשקפה של פרגה-ראסל,

198
00:12:38,808 --> 00:12:42,193
שקובעת שהמספר 2
הוא קבוצת כל הזוגות,

199
00:12:42,193 --> 00:12:44,043
ההשקפה של פון נוימן,

200
00:12:44,043 --> 00:12:47,976
שקובעת שהמספר 2
הוא קבוצה שעליה נמנים 0 ו-1,

201
00:12:47,976 --> 00:12:51,781
וההשקפה של קנטור,

202
00:12:51,781 --> 00:12:55,447
שקובעת ש-2
הוא קבוצה של 2 יחידות.

203
00:12:55,447 --> 00:12:58,940
ההשקפה של פרגה-ראסל
מולידה מפלצות,

204
00:13:00,550 --> 00:13:02,433
כך שלא נוכל לקבלה.

205
00:13:02,853 --> 00:13:05,927
ההשקפה של פון נוימן
אינה מסבירה היטב

206
00:13:05,927 --> 00:13:09,890
מדוע המספר 2
משותף לכל הזוגות.

207
00:13:11,005 --> 00:13:15,178
ההשקפה של קנטור
חפה מכל הקשיים האלה.

208
00:13:15,178 --> 00:13:18,907
היא לא מולידה מפלצות
כי המספר 2 מכיל רק יחידות;

209
00:13:18,907 --> 00:13:21,752
הוא עצמו אינה מכילה
את המספר 2.

210
00:13:21,752 --> 00:13:25,097
והוא בבירור משותף לכל הזוגות,

211
00:13:25,097 --> 00:13:28,137
משום שהוא נגזר
מתהליך זה של הפשטה,

212
00:13:28,137 --> 00:13:30,897
או התפשטות, מכל זוג שהוא.

213
00:13:33,000 --> 00:13:36,872
אז תודות לקנטור,
היום אנו יודעים מהם מספרים.

214
00:13:37,735 --> 00:13:38,804
תודה לכם.

215
00:13:38,804 --> 00:13:42,290
[מחיאות כפיים]