Nicht-lineare Funktionen: Teil 1 (Einführung)
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0:04 - 0:06Hallo und herzlich willkommen. Dies ist eine
Präsentation über nicht-lineare Funktionen. -
0:06 - 0:12Und ich habe diese als öffentlichen Kurs an der
Licium im Dezember 2014 entwickelt, -
0:13 - 0:15habe sie damals aber nicht aufgezeichnet.
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0:15 - 0:18Ich zeichne sie also als Screencast auf,
so dass ich sie hochladen kann -
0:18 - 0:23auf Youtube, um sie noch
besser zugänglich zu machen. -
0:24 - 0:28Es ist das erste Mal, dass ich
diese Konvertierung meines Kurses -
0:29 - 0:31in einen Screencast mache, daher würde
ich mich über Feedback freuen. -
0:32 - 0:35Dies ist eine Präsentation über
nicht-lineare Funktionen. -
0:35 - 0:39Nicht-lineare Funktionen sind Modelle,
mathematische Modelle von -
0:39 - 0:41physikalischen Phänomenen,
denen wir oft begegnen. -
0:42 - 0:47Aber im Gegensatz zu linearen Funktionen sind sie
ein wenig schwieriger zu analysieren und -
0:47 - 0:50vorherzusagen. Das Verhalten ist
schwieriger zu prognostizieren. -
0:50 - 0:55In vielen Fällen, wenn wir versuchen physikalische
Phänomene zu modellieren, sehen wir, dass -
0:56 - 1:00Ausdrücke höherer Ordnung sehr,
sehr kleine Koeffizienten haben. -
1:00 - 1:06Also ignorieren wir sie einfach, aber diese
kleinen Ausdrücke können tatsächlich -
1:06 - 1:09unter bestimmten Umständen das
Verhalten von Funktionen beeinflussen. -
1:09 - 1:15Diese Präsentation wird also eine
Einführung in diese Arten von -
1:15 - 1:18Funktionen sein, und wie sie sich verhalten
und was man damit machen kann. -
1:18 - 1:21Beginnen wir also mit einer kurzen
Zusammenfassung. -
1:22 - 1:27Eine Zusammenfassung von grundlegenden Konzepten,
mit denen viele von euch bereits vertraut sein dürften. -
1:28 - 1:31Wenn ihr bereits Bescheid wisst, könnt ihr diesen
Schritt überspringen und mit dem nächsten weiter
machen. -
1:31 - 1:35Die Grundkonzepte, die wir erörtern
werden, sind Funktionen. -
1:36 - 1:42Was sind Funktionen? Funktionen sind
mathematische Konzepte, die wir verwenden, um -
1:42 - 1:48zu beschreiben, wie sich die Elemente einer Menge
in Elemente einer anderen Menge ändern. -
1:48 - 1:52Zum Beispiel kann ich sagen
F von x gleich x Quadrat, -
1:52 - 1:57was eine Funktion ist, die
quadriert und recht einfach ist. -
1:57 - 2:01Oder man kann sagen:
F von x gleich Sinus von x. -
2:02 - 2:08Der trigonometrische Sinus von x, der in
Radianten ausgedrückt wird. Solche Sachen... -
2:08 - 2:12Dies sind Beispiele von Funktionen,
einfachen Funktionen. -
2:13 - 2:17Diese beiden sind nicht-linear, aber
wir können auch lineare haben. -
2:18 - 2:23Z.B. x + 5, oder etwas
wie 2x oder ähnlich. -
2:24 - 2:25Das sind lineare Funktionen.
Diese letzten beiden sind linear. -
2:26 - 2:28Die ersten beiden sind nicht-linear, denn sie
enthalten Ausdrücke höherer Ordnung. -
2:28 - 2:33"Ausdruck höherer Ordnung" bezeichnet Ausdrücke mit
einer Potenz größer als 1. -
2:34 - 2:40In der Regel, wenn wir über Funktionen sprechen,
geht es darum, sie zu lösen. -
2:40 - 2:43Also sagen wir: y gleich x Quadrat,
und man kann es grafisch darstellen. -
2:43 - 2:48Oder wir finden den Wert der Funktion für einen
gegebenen Wert von x, oder so. -
2:48 - 2:56Aber in dieser Serie werden wir v.a. über
Iterations-Funktionen sprechen. -
2:56 - 3:02Das ist etwas, was ihr vielleicht noch
nicht gemacht habt. -
3:02 - 3:06Die grundlegende Idee ist es also, eine Funktion zu
nehmen wie z.B. die hier oben -
3:06 - 3:10F von x gleich x Quadrat und diese
Funktion wiederholt anzuwenden. -
3:11 - 3:19Wenn ich also F(x) = x^2 nehme,
und sage F von 2 wird zu 4, -
3:19 - 3:28Und dann wendest du F auf diese an,
und sagst also F von 4 gleich 4 Quadrat, 16... -
3:29 - 3:34Und dann sagst du F von 16, das ist das
Quadrat von 16, dann das Quadrat davon, -
3:34 - 3:36dann das Quadrat davon,
dann das Quadrat davon... -
3:36 - 3:39Das nennt man Iteration. Man wendet
eine Funktion wiederholt auf etwas an. -
3:39 - 3:44Und das ergibt bestimmte
Arten von Verhalten, -
3:44 - 3:52die wir interessant finden werden, in
den kommenden Segmenten. -
3:52 - 3:57Also sagen wir mal ich wollte F(x) auf
eine Funktion anwenden, wie F(x) = x^2. -
3:58 - 4:02Wenn ich diese also drei Mal anwende,
wäre es F von F von F von x. -
4:02 - 4:09Ich möchte die Quadratfunktion auf eine
Zahl anwenden (z.B. 2), drei Mal. -
4:10 - 4:22Man kann das so schreiben. Man erhält die dritte
"Iteration" der Zahl 2 unter der Funktion F. -
4:23 - 4:28Und als eine Frage der Notation, neigen wir dazu,
zu schreiben wie hier, F drei Mal von 2. -
4:29 - 4:35Dies ist also F von F von F von 2.
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4:36 - 4:42Dies ist also die Schreibweise, die wir
in dieser Serie vielfach verwenden. -
4:42 - 4:46Dies sind also iterative Funktionen.
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4:46 - 4:51Und was uns interessiert, ist das Auffinden von
Verhaltensweisen von Funktionen, wenn wir dies tun. -
4:52 - 4:55Gehen wir zur nächsten Phase über.
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4:55 - 4:57Wir haben eine Schreibweise, und wir haben die
grundlegende Sache, die wir tun werden. -
4:58 - 5:01Was wir jetzt durchgehen, nenne ich Orbits.
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5:01 - 5:05Der Begriff klingt technisch,
aber es ist ganz einfach. -
5:05 - 5:13Es sind nur die aufeinander folgenden
Iterationen einer Zahl unter einer Funktion. -
5:14 - 5:20Wenn wir also eine Zahl nehmen, in
diesem Fall z.B. eine einfachere Funktion, -
5:20 - 5:27Nehmen wir einfach F von x gleich 2x
(Verdoppelung). Dann kann man mit 1 beginnen. -
5:27 - 5:37Beginnen wir mit dem Orbit von 1
unter F. Das erste wäre 1, -
5:37 - 5:43dann wendet man F einmal an, und es
würde zu 2. Man wendet darauf F an und erhält 4. -
5:43 - 5:48Man wendet darauf F an und erhält
8, 16, 32, 64, 128, etc. -
5:48 - 5:55Das sind die Iterationen von 1
unter der Funktion F(x) = 2x. -
5:56 - 6:00Und diese Reihe nennt man Orbit von 1.
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6:01 - 6:06Der Orbit von 1 ist also aufeinander folgende
Iterationen einer Zahl unter einer Funktion. -
6:07 - 6:11Es geht also darum,
was der Orbit dieser Zahl ist, -
6:11 - 6:16wie sich der Orbit verhält... Und so ähnlich. Wir
sind also an diesem Orbit-Ding interessiert. -
6:16 - 6:20Und wir können sogar Vorhersagen darüber
machen, wo diese Orbits hingehen werden, -
6:20 - 6:22wenn man mit der Iteration beginnt und so.
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6:22 - 6:27Jetzt, da wir wissen, was Orbits sind,
gibt es einige interessante Punkte... -
6:27 - 6:31Viele davon werden wir in den
kommenden Segmenten besprechen, -
6:31 - 6:33Aber der erste und einfachste
ist der sogenannte "Fixpunkt". -
6:33 - 6:37Es ist etwas Wichtiges, nur für
den Fall der Fälle. -
6:37 - 6:45Ein Fixpunkt ist ein Punkt, der fest ist. Das
bedeutet, dass F(x) gleich x ist, -
6:45 - 6:55für diesen Punkt. Und das ist etwas,
das variiert, je nach Funktionen. -
6:55 - 6:59Wenn ich F(x)=2x nehme - diese Funktion,
über die ich gerade gesprochen habe, -
6:59 - 7:01dann ist Null ein Fixpunkt.
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7:01 - 7:10Warum? Weil F(0) zu 0 wird, und dann
wendet ihr das so oft an, wie ihr möchtet... -
7:10 - 7:12Es bleibt da, es verändert sich
nicht, es ist fix. -
7:13 - 7:16Anderseits haben wir gerade hier drüben gesehen,
dass wenn man 1 nimmt, es nicht fix ist. -
7:16 - 7:18Es erhöht sich immer weiter.
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7:18 - 7:21Wenn man 0 nimmt, ist das
ein sogenannter Fixpunkt. -
7:21 - 7:28Und man kann sehen, wie es sich verhält, man kann
sehen, wie sich die Funktionen verhalten. -
7:28 - 7:32Nehmen wir uns ein paar einfache Beispiele
und sehen, wie das Ding funktioniert. -
7:33 - 7:37Nehmen wir also an, wir nehmen uns eine
Interpretation, so dass wir es einfacher machen... -
7:37 - 7:44Ich habe also die Quadratwurzel,
Sinus, Cosinus und ähnliche Dinge. -
7:44 - 7:51Und wir nehmen eine Zahl, sagen wir mal 5. Ich sage
Quadratwurzel aus 5, dann bekommen wir das... -
7:51 - 7:56Quadratwurzel davon, und wir bekommen dies.
Und ich mache das wieder und wieder. -
7:57 - 7:59Das ist also manuelle Iteration.
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7:59 - 8:03Und wir sehen, dass das Ding immer
kleiner wird, während ich iteriere. -
8:03 - 8:11Es nähert sich 1 an, oder? Und 1 ist
unter der Wurzel aus 1 ein Fixpunkt. -
8:11 - 8:13Denn die Wurzel aus 1 ist 1.
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8:13 - 8:18Ok, nun zu der anderen: Nehmen wir den Sinus
von etwas, in Radianten ausgedrückt. -
8:18 - 8:26Nehmen wir also den Sinus von Pi. Sinus
von Pi ist dieser hier, der ist unendlich klein. -
8:27 - 8:31Nehmen wir also den Sinus
von Pi/2. Dies ist 1. -
8:31 - 8:39Sinus von Pi/1.9, nur ein bisschen
weniger. Wenn man all diese iteriert... -
8:39 - 8:49Das ist der Sinus von irgendeiner Zufallszahl,
nehmen wir einfach 2 oder so... -
8:57 - 9:07Sinus von 3 und dann Sinus davon. Wenn man
also Sinus wiederholt auf eine Zahl anwendet, -
9:08 - 9:11sieht man, dass es langsam kleiner
und kleiner und kleiner wird, -
9:12 - 9:14und schließlich geht es gegen Null.
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9:14 - 9:17Man sieht, wie das geschieht, wenn
man eine kleine Funktion schreibt. -
9:17 - 9:22Die Iteration, dies ist die Funktion, dies ist der
Startpunkt, die Zahl der Iterationen. -
9:22 - 9:34Und man sieht S entspricht Start, und i
steht für den Bereich der Iterationen. -
9:34 - 9:40Und man kann sagen S gleich
die Funktion angewendet auf S. -
9:40 - 9:51Und einfach drucken.
Einfache Funktion. -
9:51 - 9:55Also einfach probieren, Iteration von
Sinus beginnend mit 2, ein hundert Mal. -
9:55 - 10:03Man sieht, dass es bei 0,9
beginnt und immer kleiner wird. -
10:03 - 10:06Kleiner, kleiner, kleiner...
so geht es runter. -
10:06 - 10:10Würde ich hier 1000 nehmen,
würde es viel tiefer runter gehen. -
10:11 - 10:13Bei 10.000 geht es sogar noch tiefer.
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10:13 - 10:18Es nähert sich langsam der 0 an. Und dies
scheint für viele der Punkte der Fall zu sein. -
10:18 - 10:27Zum Beispiel für 3, zum Beispiel für Pi.
Es geht runter fast bis 0. -
10:27 - 10:34Pi/2, egal was. Alles, was man
einsetzt, geht also gegen 0. -
10:35 - 10:38Und 0 ist natürlich ein Fixpunkt.
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10:38 - 10:50Null ist also ein Fixpunkt für diese Funktion.
0 ist auch ein Fixpunkt für Sinus von x. -
10:50 - 10:57Nehmen wir einen weiteren. Versuchen wir
es mit cos x, der sieht interessanter aus. -
10:57 - 11:01Nehmen wir nur Pi, und
wir nehmen Cosinus x. -
11:01 - 11:05Cos x und cos einer Funktion,
und jetzt probieren wir das. -
11:06 - 11:13Man sieht, es geht
gegen 0.739085133215 -
11:13 - 11:25Und das scheint bei allem
zu passieren... 3, 2, 1, egal was... -
11:25 - 11:33Und dies ist ein Fixpunkt von cos x.
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11:33 - 11:37Diese scheinbar zufällige Zahl ist
ein Fixpunkt für cos x. -
11:38 - 11:45Aufgrund meiner Definition wisst ihr, dass dies ein
Punkt ist, an dem cos(x) gleich x ist. -
11:45 - 11:50Aber es ist nicht offensichtlich,
was so besonderes an dieser Zahl ist. -
11:50 - 11:54Dies ist also das Konzept
von einem Fixpunkt. -
11:55 - 11:59Damit endet unser erstes Segment, das
nur eine Einführung zu den Funktionen ist. -
11:59 - 12:02Was Iteration ist, was ein Orbit ist,
was ein Fixpunkt ist. -
12:03 - 12:06Wir werden weitere Arten von Punkten
im nächsten Segment besprechen.
- Title:
- Nicht-lineare Funktionen: Teil 1 (Einführung)
- Description:
-
Einführung in Grundlagen von Funktionen und Iteration.
Anmerkungen unter: https://gist.github.com/nibrahim/e71a442d36e571e9dfb8
- Video Language:
- English
- Team:
- Captions Requested
- Duration:
- 12:07
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