Hallo und herzlich willkommen. Dies ist eine Präsentation über nicht-lineare Funktionen.
Und ich habe diese als öffentlichen Kurs an der Licium im Dezember 2014 entwickelt,
habe sie damals aber nicht aufgezeichnet.
Ich zeichne sie also als Screencast auf, so dass ich sie hochladen kann
auf Youtube, um sie noch besser zugänglich zu machen.
Es ist das erste Mal, dass ich diese Konvertierung meines Kurses
in einen Screencast mache, daher würde ich mich über Feedback freuen.
Dies ist eine Präsentation über nicht-lineare Funktionen.
Nicht-lineare Funktionen sind Modelle, mathematische Modelle von
physikalischen Phänomenen, denen wir oft begegnen.
Aber im Gegensatz zu linearen Funktionen sind sie ein wenig schwieriger zu analysieren und
vorherzusagen. Das Verhalten ist schwieriger zu prognostizieren.
In vielen Fällen, wenn wir versuchen physikalische Phänomene zu modellieren, sehen wir, dass
Ausdrücke höherer Ordnung sehr, sehr kleine Koeffizienten haben.
Also ignorieren wir sie einfach, aber diese kleinen Ausdrücke können tatsächlich
unter bestimmten Umständen das Verhalten von Funktionen beeinflussen.
Diese Präsentation wird also eine Einführung in diese Arten von
Funktionen sein, und wie sie sich verhalten und was man damit machen kann.
Beginnen wir also mit einer kurzen Zusammenfassung.
Eine Zusammenfassung von grundlegenden Konzepten, mit denen viele von euch bereits vertraut sein dürften.
Wenn ihr bereits Bescheid wisst, könnt ihr diesen Schritt überspringen und mit dem nächsten weiter machen.
Die Grundkonzepte, die wir erörtern werden, sind Funktionen.
Was sind Funktionen? Funktionen sind mathematische Konzepte, die wir verwenden, um
zu beschreiben, wie sich die Elemente einer Menge in Elemente einer anderen Menge ändern.
Zum Beispiel kann ich sagen F von x gleich x Quadrat,
was eine Funktion ist, die quadriert und recht einfach ist.
Oder man kann sagen: F von x gleich Sinus von x.
Der trigonometrische Sinus von x, der in Radianten ausgedrückt wird. Solche Sachen...
Dies sind Beispiele von Funktionen, einfachen Funktionen.
Diese beiden sind nicht-linear, aber wir können auch lineare haben.
Z.B. x + 5, oder etwas wie 2x oder ähnlich.
Das sind lineare Funktionen. Diese letzten beiden sind linear.
Die ersten beiden sind nicht-linear, denn sie enthalten Ausdrücke höherer Ordnung.
"Ausdruck höherer Ordnung" bezeichnet Ausdrücke mit einer Potenz größer als 1.
In der Regel, wenn wir über Funktionen sprechen, geht es darum, sie zu lösen.
Also sagen wir: y gleich x Quadrat, und man kann es grafisch darstellen.
Oder wir finden den Wert der Funktion für einen gegebenen Wert von x, oder so.
Aber in dieser Serie werden wir v.a. über Iterations-Funktionen sprechen.
Das ist etwas, was ihr vielleicht noch nicht gemacht habt.
Die grundlegende Idee ist es also, eine Funktion zu nehmen wie z.B. die hier oben
F von x gleich x Quadrat und diese Funktion wiederholt anzuwenden.
Wenn ich also F(x) = x^2 nehme, und sage F von 2 wird zu 4,
Und dann wendest du F auf diese an, und sagst also F von 4 gleich 4 Quadrat, 16...
Und dann sagst du F von 16, das ist das Quadrat von 16, dann das Quadrat davon,
dann das Quadrat davon, dann das Quadrat davon...
Das nennt man Iteration. Man wendet eine Funktion wiederholt auf etwas an.
Und das ergibt bestimmte Arten von Verhalten,
die wir interessant finden werden, in den kommenden Segmenten.
Also sagen wir mal ich wollte F(x) auf eine Funktion anwenden, wie F(x) = x^2.
Wenn ich diese also drei Mal anwende, wäre es F von F von F von x.
Ich möchte die Quadratfunktion auf eine Zahl anwenden (z.B. 2), drei Mal.
Man kann das so schreiben. Man erhält die dritte "Iteration" der Zahl 2 unter der Funktion F.
Und als eine Frage der Notation, neigen wir dazu, zu schreiben wie hier, F drei Mal von 2.
Dies ist also F von F von F von 2.
Dies ist also die Schreibweise, die wir in dieser Serie vielfach verwenden.
Dies sind also iterative Funktionen.
Und was uns interessiert, ist das Auffinden von Verhaltensweisen von Funktionen, wenn wir dies tun.
Gehen wir zur nächsten Phase über.
Wir haben eine Schreibweise, und wir haben die grundlegende Sache, die wir tun werden.
Was wir jetzt durchgehen, nenne ich Orbits.
Der Begriff klingt technisch, aber es ist ganz einfach.
Es sind nur die aufeinander folgenden Iterationen einer Zahl unter einer Funktion.
Wenn wir also eine Zahl nehmen, in diesem Fall z.B. eine einfachere Funktion,
Nehmen wir einfach F von x gleich 2x (Verdoppelung). Dann kann man mit 1 beginnen.
Beginnen wir mit dem Orbit von 1 unter F. Das erste wäre 1,
dann wendet man F einmal an, und es würde zu 2. Man wendet darauf F an und erhält 4.
Man wendet darauf F an und erhält 8, 16, 32, 64, 128, etc.
Das sind die Iterationen von 1 unter der Funktion F(x) = 2x.
Und diese Reihe nennt man Orbit von 1.
Der Orbit von 1 ist also aufeinander folgende Iterationen einer Zahl unter einer Funktion.
Es geht also darum, was der Orbit dieser Zahl ist,
wie sich der Orbit verhält... Und so ähnlich. Wir sind also an diesem Orbit-Ding interessiert.
Und wir können sogar Vorhersagen darüber machen, wo diese Orbits hingehen werden,
wenn man mit der Iteration beginnt und so.
Jetzt, da wir wissen, was Orbits sind, gibt es einige interessante Punkte...
Viele davon werden wir in den kommenden Segmenten besprechen,
Aber der erste und einfachste ist der sogenannte "Fixpunkt".
Es ist etwas Wichtiges, nur für den Fall der Fälle.
Ein Fixpunkt ist ein Punkt, der fest ist. Das bedeutet, dass F(x) gleich x ist,
für diesen Punkt. Und das ist etwas, das variiert, je nach Funktionen.
Wenn ich F(x)=2x nehme - diese Funktion, über die ich gerade gesprochen habe,
dann ist Null ein Fixpunkt.
Warum? Weil F(0) zu 0 wird, und dann wendet ihr das so oft an, wie ihr möchtet...
Es bleibt da, es verändert sich nicht, es ist fix.
Anderseits haben wir gerade hier drüben gesehen, dass wenn man 1 nimmt, es nicht fix ist.
Es erhöht sich immer weiter.
Wenn man 0 nimmt, ist das ein sogenannter Fixpunkt.
Und man kann sehen, wie es sich verhält, man kann sehen, wie sich die Funktionen verhalten.
Nehmen wir uns ein paar einfache Beispiele und sehen, wie das Ding funktioniert.
Nehmen wir also an, wir nehmen uns eine Interpretation, so dass wir es einfacher machen...
Ich habe also die Quadratwurzel, Sinus, Cosinus und ähnliche Dinge.
Und wir nehmen eine Zahl, sagen wir mal 5. Ich sage Quadratwurzel aus 5, dann bekommen wir das...
Quadratwurzel davon, und wir bekommen dies. Und ich mache das wieder und wieder.
Das ist also manuelle Iteration.
Und wir sehen, dass das Ding immer kleiner wird, während ich iteriere.
Es nähert sich 1 an, oder? Und 1 ist unter der Wurzel aus 1 ein Fixpunkt.
Denn die Wurzel aus 1 ist 1.
Ok, nun zu der anderen: Nehmen wir den Sinus von etwas, in Radianten ausgedrückt.
Nehmen wir also den Sinus von Pi. Sinus von Pi ist dieser hier, der ist unendlich klein.
Nehmen wir also den Sinus von Pi/2. Dies ist 1.
Sinus von Pi/1.9, nur ein bisschen weniger. Wenn man all diese iteriert...
Das ist der Sinus von irgendeiner Zufallszahl, nehmen wir einfach 2 oder so...
Sinus von 3 und dann Sinus davon. Wenn man also Sinus wiederholt auf eine Zahl anwendet,
sieht man, dass es langsam kleiner und kleiner und kleiner wird,
und schließlich geht es gegen Null.
Man sieht, wie das geschieht, wenn man eine kleine Funktion schreibt.
Die Iteration, dies ist die Funktion, dies ist der Startpunkt, die Zahl der Iterationen.
Und man sieht S entspricht Start, und i steht für den Bereich der Iterationen.
Und man kann sagen S gleich die Funktion angewendet auf S.
Und einfach drucken. Einfache Funktion.
Also einfach probieren, Iteration von Sinus beginnend mit 2, ein hundert Mal.
Man sieht, dass es bei 0,9 beginnt und immer kleiner wird.
Kleiner, kleiner, kleiner... so geht es runter.
Würde ich hier 1000 nehmen, würde es viel tiefer runter gehen.
Bei 10.000 geht es sogar noch tiefer.
Es nähert sich langsam der 0 an. Und dies scheint für viele der Punkte der Fall zu sein.
Zum Beispiel für 3, zum Beispiel für Pi. Es geht runter fast bis 0.
Pi/2, egal was. Alles, was man einsetzt, geht also gegen 0.
Und 0 ist natürlich ein Fixpunkt.
Null ist also ein Fixpunkt für diese Funktion. 0 ist auch ein Fixpunkt für Sinus von x.
Nehmen wir einen weiteren. Versuchen wir es mit cos x, der sieht interessanter aus.
Nehmen wir nur Pi, und wir nehmen Cosinus x.
Cos x und cos einer Funktion, und jetzt probieren wir das.
Man sieht, es geht gegen 0.739085133215
Und das scheint bei allem zu passieren... 3, 2, 1, egal was...
Und dies ist ein Fixpunkt von cos x.
Diese scheinbar zufällige Zahl ist ein Fixpunkt für cos x.
Aufgrund meiner Definition wisst ihr, dass dies ein Punkt ist, an dem cos(x) gleich x ist.
Aber es ist nicht offensichtlich, was so besonderes an dieser Zahl ist.
Dies ist also das Konzept von einem Fixpunkt.
Damit endet unser erstes Segment, das nur eine Einführung zu den Funktionen ist.
Was Iteration ist, was ein Orbit ist, was ein Fixpunkt ist.
Wir werden weitere Arten von Punkten im nächsten Segment besprechen.