1
00:00:03,561 --> 00:00:06,326
Hallo und herzlich willkommen. Dies ist eine
Präsentation über nicht-lineare Funktionen.

2
00:00:06,421 --> 00:00:12,495
Und ich habe diese als öffentlichen Kurs an der
Licium im Dezember 2014 entwickelt,

3
00:00:12,589 --> 00:00:14,559
habe sie damals aber nicht aufgezeichnet.

4
00:00:14,651 --> 00:00:17,924
Ich zeichne sie also als Screencast auf,
so dass ich sie hochladen kann

5
00:00:18,188 --> 00:00:23,087
auf Youtube, um sie noch
besser zugänglich zu machen.

6
00:00:23,816 --> 00:00:28,188
Es ist das erste Mal, dass ich
diese Konvertierung meines Kurses

7
00:00:28,506 --> 00:00:30,908
in einen Screencast mache, daher würde
ich mich über Feedback freuen.

8
00:00:32,368 --> 00:00:34,608
Dies ist eine Präsentation über
nicht-lineare Funktionen.

9
00:00:35,418 --> 00:00:39,086
Nicht-lineare Funktionen sind Modelle,
mathematische Modelle von

10
00:00:39,429 --> 00:00:41,347
physikalischen Phänomenen,
denen wir oft begegnen.

11
00:00:41,721 --> 00:00:46,503
Aber im Gegensatz zu linearen Funktionen sind sie
ein wenig schwieriger zu analysieren und

12
00:00:47,328 --> 00:00:49,560
vorherzusagen. Das Verhalten ist
schwieriger zu prognostizieren.

13
00:00:50,008 --> 00:00:55,388
In vielen Fällen, wenn wir versuchen physikalische
Phänomene zu modellieren, sehen wir, dass

14
00:00:55,695 --> 00:01:00,108
Ausdrücke höherer Ordnung sehr,
sehr kleine Koeffizienten haben.

15
00:01:00,428 --> 00:01:05,536
Also ignorieren wir sie einfach, aber diese
kleinen Ausdrücke können tatsächlich

16
00:01:06,047 --> 00:01:08,693
unter bestimmten Umständen das
Verhalten von Funktionen beeinflussen.

17
00:01:08,847 --> 00:01:15,015
Diese Präsentation wird also eine
Einführung in diese Arten von

18
00:01:15,292 --> 00:01:17,708
Funktionen sein, und wie sie sich verhalten
und was man damit machen kann.

19
00:01:17,954 --> 00:01:21,279
Beginnen wir also mit einer kurzen
Zusammenfassung.

20
00:01:21,628 --> 00:01:27,296
Eine Zusammenfassung von grundlegenden Konzepten,
mit denen viele von euch bereits vertraut sein dürften.

21
00:01:27,676 --> 00:01:31,078
Wenn ihr bereits Bescheid wisst, könnt ihr diesen
Schritt überspringen und mit dem nächsten weiter
machen.

22
00:01:31,490 --> 00:01:34,548
Die Grundkonzepte, die wir erörtern
werden, sind Funktionen.

23
00:01:35,711 --> 00:01:41,879
Was sind Funktionen? Funktionen sind
mathematische Konzepte, die wir verwenden, um

24
00:01:42,027 --> 00:01:47,562
zu beschreiben, wie sich die Elemente einer Menge
in Elemente einer anderen Menge ändern.

25
00:01:47,706 --> 00:01:51,700
Zum Beispiel kann ich sagen
F von x gleich x Quadrat,

26
00:01:51,908 --> 00:01:57,208
was eine Funktion ist, die
quadriert und recht einfach ist.

27
00:01:57,472 --> 00:02:01,399
Oder man kann sagen:
F von x gleich Sinus von x.

28
00:02:02,055 --> 00:02:07,967
Der trigonometrische Sinus von x, der in
Radianten ausgedrückt wird. Solche Sachen...

29
00:02:08,279 --> 00:02:12,343
Dies sind Beispiele von Funktionen,
einfachen Funktionen.

30
00:02:12,716 --> 00:02:17,481
Diese beiden sind nicht-linear, aber
wir können auch lineare haben.

31
00:02:17,735 --> 00:02:23,211
Z.B. x + 5, oder etwas
wie 2x oder ähnlich.

32
00:02:23,597 --> 00:02:25,287
Das sind lineare Funktionen.
Diese letzten beiden sind linear.

33
00:02:25,676 --> 00:02:27,568
Die ersten beiden sind nicht-linear, denn sie
enthalten Ausdrücke höherer Ordnung.

34
00:02:27,871 --> 00:02:33,374
"Ausdruck höherer Ordnung" bezeichnet Ausdrücke mit
einer Potenz größer als 1.

35
00:02:33,608 --> 00:02:39,590
In der Regel, wenn wir über Funktionen sprechen,
geht es darum, sie zu lösen.

36
00:02:39,928 --> 00:02:42,968
Also sagen wir: y gleich x Quadrat,
und man kann es grafisch darstellen.

37
00:02:43,260 --> 00:02:47,860
Oder wir finden den Wert der Funktion für einen
gegebenen Wert von x, oder so.

38
00:02:48,005 --> 00:02:55,786
Aber in dieser Serie werden wir v.a. über
Iterations-Funktionen sprechen.

39
00:02:56,163 --> 00:03:01,668
Das ist etwas, was ihr vielleicht noch
nicht gemacht habt.

40
00:03:01,958 --> 00:03:05,939
Die grundlegende Idee ist es also, eine Funktion zu
nehmen wie z.B. die hier oben

41
00:03:06,193 --> 00:03:10,408
F von x gleich x Quadrat und diese
Funktion wiederholt anzuwenden.

42
00:03:10,830 --> 00:03:19,128
Wenn ich also F(x) = x^2 nehme,
und sage F von 2 wird zu 4,

43
00:03:19,397 --> 00:03:27,931
Und dann wendest du F auf diese an,
und sagst also F von 4 gleich 4 Quadrat, 16...

44
00:03:29,152 --> 00:03:33,748
Und dann sagst du F von 16, das ist das
Quadrat von 16, dann das Quadrat davon,

45
00:03:33,918 --> 00:03:35,597
dann das Quadrat davon,
dann das Quadrat davon...

46
00:03:35,745 --> 00:03:39,148
Das nennt man Iteration. Man wendet
eine Funktion wiederholt auf etwas an.

47
00:03:39,438 --> 00:03:44,069
Und das ergibt bestimmte
Arten von Verhalten,

48
00:03:44,222 --> 00:03:51,512
die wir interessant finden werden, in
den kommenden Segmenten.

49
00:03:51,688 --> 00:03:57,455
Also sagen wir mal ich wollte F(x) auf
eine Funktion anwenden, wie F(x) = x^2.

50
00:03:57,718 --> 00:04:01,683
Wenn ich diese also drei Mal anwende,
wäre es F von F von F von x.

51
00:04:02,024 --> 00:04:09,196
Ich möchte die Quadratfunktion auf eine
Zahl anwenden (z.B. 2), drei Mal.

52
00:04:09,567 --> 00:04:21,688
Man kann das so schreiben. Man erhält die dritte
"Iteration" der Zahl 2 unter der Funktion F.

53
00:04:22,523 --> 00:04:28,205
Und als eine Frage der Notation, neigen wir dazu,
zu schreiben wie hier, F drei Mal von 2.

54
00:04:29,245 --> 00:04:35,308
Dies ist also F von F von F von 2.

55
00:04:35,597 --> 00:04:42,208
Dies ist also die Schreibweise, die wir
in dieser Serie vielfach verwenden.

56
00:04:42,495 --> 00:04:45,789
Dies sind also iterative Funktionen.

57
00:04:46,167 --> 00:04:51,453
Und was uns interessiert, ist das Auffinden von
Verhaltensweisen von Funktionen, wenn wir dies tun.

58
00:04:51,706 --> 00:04:54,568
Gehen wir zur nächsten Phase über.

59
00:04:54,871 --> 00:04:57,268
Wir haben eine Schreibweise, und wir haben die
grundlegende Sache, die wir tun werden.

60
00:04:57,608 --> 00:05:00,762
Was wir jetzt durchgehen, nenne ich Orbits.

61
00:05:00,968 --> 00:05:05,136
Der Begriff klingt technisch,
aber es ist ganz einfach.

62
00:05:05,348 --> 00:05:13,463
Es sind nur die aufeinander folgenden
Iterationen einer Zahl unter einer Funktion.

63
00:05:13,758 --> 00:05:19,708
Wenn wir also eine Zahl nehmen, in 
diesem Fall z.B. eine einfachere Funktion,

64
00:05:20,019 --> 00:05:26,622
Nehmen wir einfach F von x gleich 2x
(Verdoppelung). Dann kann man mit 1 beginnen.

65
00:05:26,902 --> 00:05:36,822
Beginnen wir mit dem Orbit von 1
unter F. Das erste wäre 1,

66
00:05:37,188 --> 00:05:42,684
dann wendet man F einmal an, und es
würde zu 2. Man wendet darauf F an und erhält 4.

67
00:05:42,848 --> 00:05:48,095
Man wendet darauf F an und erhält
8, 16, 32, 64, 128, etc.

68
00:05:48,388 --> 00:05:55,484
Das sind die Iterationen von 1
unter der Funktion F(x) = 2x.

69
00:05:55,758 --> 00:06:00,248
Und diese Reihe nennt man Orbit von 1.

70
00:06:00,678 --> 00:06:06,337
Der Orbit von 1 ist also aufeinander folgende
Iterationen einer Zahl unter einer Funktion.

71
00:06:06,733 --> 00:06:10,842
Es geht also darum,
was der Orbit dieser Zahl ist,

72
00:06:10,987 --> 00:06:15,688
wie sich der Orbit verhält... Und so ähnlich. Wir
sind also an diesem Orbit-Ding interessiert.

73
00:06:15,990 --> 00:06:19,708
Und wir können sogar Vorhersagen darüber
machen, wo diese Orbits hingehen werden,

74
00:06:20,002 --> 00:06:21,938
wenn man mit der Iteration beginnt und so.

75
00:06:22,247 --> 00:06:27,188
Jetzt, da wir wissen, was Orbits sind,
gibt es einige interessante Punkte...

76
00:06:27,340 --> 00:06:30,562
Viele davon werden wir in den
kommenden Segmenten besprechen,

77
00:06:30,840 --> 00:06:33,060
Aber der erste und einfachste
ist der sogenannte "Fixpunkt".

78
00:06:33,248 --> 00:06:36,579
Es ist etwas Wichtiges, nur für
den Fall der Fälle.

79
00:06:36,768 --> 00:06:44,808
Ein Fixpunkt ist ein Punkt, der fest ist. Das
bedeutet, dass F(x) gleich x ist,

80
00:06:45,115 --> 00:06:54,695
für diesen Punkt. Und das ist etwas,
das variiert, je nach Funktionen.

81
00:06:54,808 --> 00:06:58,784
Wenn ich F(x)=2x nehme - diese Funktion,
über die ich gerade gesprochen habe,

82
00:06:58,929 --> 00:07:01,033
dann ist Null ein Fixpunkt.

83
00:07:01,455 --> 00:07:10,108
Warum? Weil F(0) zu 0 wird, und dann
wendet ihr das so oft an, wie ihr möchtet...

84
00:07:10,252 --> 00:07:12,471
Es bleibt da, es verändert sich
nicht, es ist fix.

85
00:07:12,612 --> 00:07:15,883
Anderseits haben wir gerade hier drüben gesehen,
dass wenn man 1 nimmt, es nicht fix ist.

86
00:07:16,032 --> 00:07:18,135
Es erhöht sich immer weiter.

87
00:07:18,373 --> 00:07:20,948
Wenn man 0 nimmt, ist das
ein sogenannter Fixpunkt.

88
00:07:21,239 --> 00:07:28,162
Und man kann sehen, wie es sich verhält, man kann
sehen, wie sich die Funktionen verhalten.

89
00:07:28,368 --> 00:07:32,388
Nehmen wir uns ein paar einfache Beispiele
und sehen, wie das Ding funktioniert.

90
00:07:32,679 --> 00:07:37,034
Nehmen wir also an, wir nehmen uns eine
Interpretation, so dass wir es einfacher machen...

91
00:07:37,310 --> 00:07:43,848
Ich habe also die Quadratwurzel,
Sinus, Cosinus und ähnliche Dinge.

92
00:07:44,068 --> 00:07:50,845
Und wir nehmen eine Zahl, sagen wir mal 5. Ich sage
Quadratwurzel aus 5, dann bekommen wir das...

93
00:07:51,005 --> 00:07:56,344
Quadratwurzel davon, und wir bekommen dies.
Und ich mache das wieder und wieder.

94
00:07:56,591 --> 00:07:58,533
Das ist also manuelle Iteration.

95
00:07:58,712 --> 00:08:03,048
Und wir sehen, dass das Ding immer
kleiner wird, während ich iteriere.

96
00:08:03,212 --> 00:08:10,837
Es nähert sich 1 an, oder? Und 1 ist
unter der Wurzel aus 1 ein Fixpunkt.

97
00:08:11,089 --> 00:08:12,963
Denn die Wurzel aus 1 ist 1.

98
00:08:13,128 --> 00:08:18,002
Ok, nun zu der anderen: Nehmen wir den Sinus
von etwas, in Radianten ausgedrückt.

99
00:08:18,228 --> 00:08:26,441
Nehmen wir also den Sinus von Pi. Sinus
von Pi ist dieser hier, der ist unendlich klein.

100
00:08:26,567 --> 00:08:30,520
Nehmen wir also den Sinus
von Pi/2. Dies ist 1.

101
00:08:30,895 --> 00:08:38,700
Sinus von Pi/1.9, nur ein bisschen
weniger. Wenn man all diese iteriert...

102
00:08:38,807 --> 00:08:49,285
Das ist der Sinus von irgendeiner Zufallszahl,
nehmen wir einfach 2 oder so...

103
00:08:57,368 --> 00:09:07,118
Sinus von 3 und dann Sinus davon. Wenn man
also Sinus wiederholt auf eine Zahl anwendet,

104
00:09:07,514 --> 00:09:11,206
sieht man, dass es langsam kleiner
und kleiner und kleiner wird,

105
00:09:11,508 --> 00:09:13,959
und schließlich geht es gegen Null.

106
00:09:14,199 --> 00:09:17,114
Man sieht, wie das geschieht, wenn
man eine kleine Funktion schreibt.

107
00:09:17,261 --> 00:09:21,743
Die Iteration, dies ist die Funktion, dies ist der
Startpunkt, die Zahl der Iterationen.

108
00:09:21,962 --> 00:09:33,907
Und man sieht S entspricht Start, und i
steht für den Bereich der Iterationen.

109
00:09:34,088 --> 00:09:39,953
Und man kann sagen S gleich
die Funktion angewendet auf S.

110
00:09:40,193 --> 00:09:50,984
Und einfach drucken.
Einfache Funktion.

111
00:09:51,335 --> 00:09:55,242
Also einfach probieren, Iteration von
Sinus beginnend mit 2, ein hundert Mal.

112
00:09:55,438 --> 00:10:02,866
Man sieht, dass es bei 0,9
beginnt und immer kleiner wird.

113
00:10:03,002 --> 00:10:06,242
Kleiner, kleiner, kleiner... 
so geht es runter.

114
00:10:06,397 --> 00:10:10,371
Würde ich hier 1000 nehmen,
würde es viel tiefer runter gehen.

115
00:10:10,595 --> 00:10:12,564
Bei 10.000 geht es sogar noch tiefer.

116
00:10:12,762 --> 00:10:18,293
Es nähert sich langsam der 0 an. Und dies
scheint für viele der Punkte der Fall zu sein.

117
00:10:18,486 --> 00:10:26,740
Zum Beispiel für 3, zum Beispiel für Pi.
Es geht runter fast bis 0.

118
00:10:26,907 --> 00:10:34,375
Pi/2, egal was. Alles, was man
einsetzt, geht also gegen 0.

119
00:10:34,542 --> 00:10:38,290
Und 0 ist natürlich ein Fixpunkt.

120
00:10:38,440 --> 00:10:49,926
Null ist also ein Fixpunkt für diese Funktion.
0 ist auch ein Fixpunkt für Sinus von x.

121
00:10:50,135 --> 00:10:56,802
Nehmen wir einen weiteren. Versuchen wir
es mit cos x, der sieht interessanter aus.

122
00:10:56,866 --> 00:11:00,802
Nehmen wir nur Pi, und
wir nehmen Cosinus x.

123
00:11:00,983 --> 00:11:05,426
Cos x und cos einer Funktion,
und jetzt probieren wir das.

124
00:11:05,635 --> 00:11:12,728
Man sieht, es geht
gegen 0.739085133215

125
00:11:12,915 --> 00:11:25,283
Und das scheint bei allem
zu passieren... 3, 2, 1, egal was...

126
00:11:25,416 --> 00:11:32,915
Und dies ist ein Fixpunkt von cos x.

127
00:11:33,175 --> 00:11:37,353
Diese scheinbar zufällige Zahl ist
ein Fixpunkt für cos x.

128
00:11:37,506 --> 00:11:44,800
Aufgrund meiner Definition wisst ihr, dass dies ein
Punkt ist, an dem cos(x) gleich x ist.

129
00:11:44,946 --> 00:11:50,206
Aber es ist nicht offensichtlich,
was so besonderes an dieser Zahl ist.

130
00:11:50,446 --> 00:11:53,915
Dies ist also das Konzept
von einem Fixpunkt.

131
00:11:54,539 --> 00:11:58,842
Damit endet unser erstes Segment, das
nur eine Einführung zu den Funktionen ist.

132
00:11:58,989 --> 00:12:02,353
Was Iteration ist, was ein Orbit ist,
was ein Fixpunkt ist.

133
00:12:02,547 --> 00:12:05,582
Wir werden weitere Arten von Punkten
im nächsten Segment besprechen.