Nicht-lineare Funktionen: Teil 1 (Einführung)

Einführung in Grundlagen von Funktionen und Iteration.

Anmerkungen unter: https://gist.github.com/nibrahim/e71a442d36e571e9dfb8

Hallo und herzlich willkommen. Dies ist eine
Präsentation über nicht-lineare Funktionen.

Und ich habe diese als öffentlichen Kurs an der
Licium im Dezember 2014 entwickelt,

habe sie damals aber nicht aufgezeichnet.

Ich zeichne sie also als Screencast auf,
so dass ich sie hochladen kann

auf Youtube, um sie noch
besser zugänglich zu machen.

Es ist das erste Mal, dass ich
diese Konvertierung meines Kurses

in einen Screencast mache, daher würde
ich mich über Feedback freuen.

Dies ist eine Präsentation über
nicht-lineare Funktionen.

Nicht-lineare Funktionen sind Modelle,
mathematische Modelle von

physikalischen Phänomenen,
denen wir oft begegnen.

Aber im Gegensatz zu linearen Funktionen sind sie
ein wenig schwieriger zu analysieren und

vorherzusagen. Das Verhalten ist
schwieriger zu prognostizieren.

In vielen Fällen, wenn wir versuchen physikalische
Phänomene zu modellieren, sehen wir, dass

Ausdrücke höherer Ordnung sehr,
sehr kleine Koeffizienten haben.

Also ignorieren wir sie einfach, aber diese
kleinen Ausdrücke können tatsächlich

unter bestimmten Umständen das
Verhalten von Funktionen beeinflussen.

Diese Präsentation wird also eine
Einführung in diese Arten von

Funktionen sein, und wie sie sich verhalten
und was man damit machen kann.

Beginnen wir also mit einer kurzen
Zusammenfassung.

Eine Zusammenfassung von grundlegenden Konzepten,
mit denen viele von euch bereits vertraut sein dürften.

Wenn ihr bereits Bescheid wisst, könnt ihr diesen
Schritt überspringen und mit dem nächsten weiter
machen.

Die Grundkonzepte, die wir erörtern
werden, sind Funktionen.

Was sind Funktionen? Funktionen sind
mathematische Konzepte, die wir verwenden, um

zu beschreiben, wie sich die Elemente einer Menge
in Elemente einer anderen Menge ändern.

Zum Beispiel kann ich sagen
F von x gleich x Quadrat,

was eine Funktion ist, die
quadriert und recht einfach ist.

Oder man kann sagen:
F von x gleich Sinus von x.

Der trigonometrische Sinus von x, der in
Radianten ausgedrückt wird. Solche Sachen...

Dies sind Beispiele von Funktionen,
einfachen Funktionen.

Diese beiden sind nicht-linear, aber
wir können auch lineare haben.

Z.B. x + 5, oder etwas
wie 2x oder ähnlich.

Das sind lineare Funktionen.
Diese letzten beiden sind linear.

Die ersten beiden sind nicht-linear, denn sie
enthalten Ausdrücke höherer Ordnung.

"Ausdruck höherer Ordnung" bezeichnet Ausdrücke mit
einer Potenz größer als 1.

In der Regel, wenn wir über Funktionen sprechen,
geht es darum, sie zu lösen.

Also sagen wir: y gleich x Quadrat,
und man kann es grafisch darstellen.

Oder wir finden den Wert der Funktion für einen
gegebenen Wert von x, oder so.

Aber in dieser Serie werden wir v.a. über
Iterations-Funktionen sprechen.

Das ist etwas, was ihr vielleicht noch
nicht gemacht habt.

Die grundlegende Idee ist es also, eine Funktion zu
nehmen wie z.B. die hier oben

F von x gleich x Quadrat und diese
Funktion wiederholt anzuwenden.

Wenn ich also F(x) = x^2 nehme,
und sage F von 2 wird zu 4,

Und dann wendest du F auf diese an,
und sagst also F von 4 gleich 4 Quadrat, 16...

Und dann sagst du F von 16, das ist das
Quadrat von 16, dann das Quadrat davon,

dann das Quadrat davon,
dann das Quadrat davon...

Das nennt man Iteration. Man wendet
eine Funktion wiederholt auf etwas an.

Und das ergibt bestimmte
Arten von Verhalten,

die wir interessant finden werden, in
den kommenden Segmenten.

Also sagen wir mal ich wollte F(x) auf
eine Funktion anwenden, wie F(x) = x^2.

Wenn ich diese also drei Mal anwende,
wäre es F von F von F von x.

Ich möchte die Quadratfunktion auf eine
Zahl anwenden (z.B. 2), drei Mal.

Man kann das so schreiben. Man erhält die dritte
"Iteration" der Zahl 2 unter der Funktion F.

Und als eine Frage der Notation, neigen wir dazu,
zu schreiben wie hier, F drei Mal von 2.

Dies ist also F von F von F von 2.

Dies ist also die Schreibweise, die wir
in dieser Serie vielfach verwenden.

Dies sind also iterative Funktionen.

Und was uns interessiert, ist das Auffinden von
Verhaltensweisen von Funktionen, wenn wir dies tun.

Gehen wir zur nächsten Phase über.

Wir haben eine Schreibweise, und wir haben die
grundlegende Sache, die wir tun werden.

Was wir jetzt durchgehen, nenne ich Orbits.

Der Begriff klingt technisch,
aber es ist ganz einfach.

Es sind nur die aufeinander folgenden
Iterationen einer Zahl unter einer Funktion.

Wenn wir also eine Zahl nehmen, in
diesem Fall z.B. eine einfachere Funktion,

Nehmen wir einfach F von x gleich 2x
(Verdoppelung). Dann kann man mit 1 beginnen.

Beginnen wir mit dem Orbit von 1
unter F. Das erste wäre 1,

dann wendet man F einmal an, und es
würde zu 2. Man wendet darauf F an und erhält 4.

Man wendet darauf F an und erhält
8, 16, 32, 64, 128, etc.

Das sind die Iterationen von 1
unter der Funktion F(x) = 2x.

Und diese Reihe nennt man Orbit von 1.

Der Orbit von 1 ist also aufeinander folgende
Iterationen einer Zahl unter einer Funktion.

Es geht also darum,
was der Orbit dieser Zahl ist,

wie sich der Orbit verhält... Und so ähnlich. Wir
sind also an diesem Orbit-Ding interessiert.

Und wir können sogar Vorhersagen darüber
machen, wo diese Orbits hingehen werden,

wenn man mit der Iteration beginnt und so.

Jetzt, da wir wissen, was Orbits sind,
gibt es einige interessante Punkte...

Viele davon werden wir in den
kommenden Segmenten besprechen,

Aber der erste und einfachste
ist der sogenannte "Fixpunkt".

Es ist etwas Wichtiges, nur für
den Fall der Fälle.

Ein Fixpunkt ist ein Punkt, der fest ist. Das
bedeutet, dass F(x) gleich x ist,

für diesen Punkt. Und das ist etwas,
das variiert, je nach Funktionen.

Wenn ich F(x)=2x nehme - diese Funktion,
über die ich gerade gesprochen habe,

dann ist Null ein Fixpunkt.

Warum? Weil F(0) zu 0 wird, und dann
wendet ihr das so oft an, wie ihr möchtet...

Es bleibt da, es verändert sich
nicht, es ist fix.

Anderseits haben wir gerade hier drüben gesehen,
dass wenn man 1 nimmt, es nicht fix ist.

Es erhöht sich immer weiter.

Wenn man 0 nimmt, ist das
ein sogenannter Fixpunkt.

Und man kann sehen, wie es sich verhält, man kann
sehen, wie sich die Funktionen verhalten.

Nehmen wir uns ein paar einfache Beispiele
und sehen, wie das Ding funktioniert.

Nehmen wir also an, wir nehmen uns eine
Interpretation, so dass wir es einfacher machen...

Ich habe also die Quadratwurzel,
Sinus, Cosinus und ähnliche Dinge.

Und wir nehmen eine Zahl, sagen wir mal 5. Ich sage
Quadratwurzel aus 5, dann bekommen wir das...

Quadratwurzel davon, und wir bekommen dies.
Und ich mache das wieder und wieder.

Das ist also manuelle Iteration.

Und wir sehen, dass das Ding immer
kleiner wird, während ich iteriere.

Es nähert sich 1 an, oder? Und 1 ist
unter der Wurzel aus 1 ein Fixpunkt.

Denn die Wurzel aus 1 ist 1.

Ok, nun zu der anderen: Nehmen wir den Sinus
von etwas, in Radianten ausgedrückt.

Nehmen wir also den Sinus von Pi. Sinus
von Pi ist dieser hier, der ist unendlich klein.

Nehmen wir also den Sinus
von Pi/2. Dies ist 1.

Sinus von Pi/1.9, nur ein bisschen
weniger. Wenn man all diese iteriert...

Das ist der Sinus von irgendeiner Zufallszahl,
nehmen wir einfach 2 oder so...

Sinus von 3 und dann Sinus davon. Wenn man
also Sinus wiederholt auf eine Zahl anwendet,

sieht man, dass es langsam kleiner
und kleiner und kleiner wird,

und schließlich geht es gegen Null.

Man sieht, wie das geschieht, wenn
man eine kleine Funktion schreibt.

Die Iteration, dies ist die Funktion, dies ist der
Startpunkt, die Zahl der Iterationen.

Und man sieht S entspricht Start, und i
steht für den Bereich der Iterationen.

Und man kann sagen S gleich
die Funktion angewendet auf S.

Und einfach drucken.
Einfache Funktion.

Also einfach probieren, Iteration von
Sinus beginnend mit 2, ein hundert Mal.

Man sieht, dass es bei 0,9
beginnt und immer kleiner wird.

Kleiner, kleiner, kleiner...
so geht es runter.

Würde ich hier 1000 nehmen,
würde es viel tiefer runter gehen.

Bei 10.000 geht es sogar noch tiefer.

Es nähert sich langsam der 0 an. Und dies
scheint für viele der Punkte der Fall zu sein.

Zum Beispiel für 3, zum Beispiel für Pi.
Es geht runter fast bis 0.

Pi/2, egal was. Alles, was man
einsetzt, geht also gegen 0.

Und 0 ist natürlich ein Fixpunkt.

Null ist also ein Fixpunkt für diese Funktion.
0 ist auch ein Fixpunkt für Sinus von x.

Nehmen wir einen weiteren. Versuchen wir
es mit cos x, der sieht interessanter aus.

Nehmen wir nur Pi, und
wir nehmen Cosinus x.

Cos x und cos einer Funktion,
und jetzt probieren wir das.

Man sieht, es geht
gegen 0.739085133215

Und das scheint bei allem
zu passieren... 3, 2, 1, egal was...

Und dies ist ein Fixpunkt von cos x.

Diese scheinbar zufällige Zahl ist
ein Fixpunkt für cos x.

Aufgrund meiner Definition wisst ihr, dass dies ein
Punkt ist, an dem cos(x) gleich x ist.

Aber es ist nicht offensichtlich,
was so besonderes an dieser Zahl ist.

Dies ist also das Konzept
von einem Fixpunkt.

Damit endet unser erstes Segment, das
nur eine Einführung zu den Funktionen ist.

Was Iteration ist, was ein Orbit ist,
was ein Fixpunkt ist.

Wir werden weitere Arten von Punkten
im nächsten Segment besprechen.