Műveletek sorrendje

Műveletek sorrendje

Ebben a videóban a matematikai műveletek

sorrendjéről beszélek majd.

Szeretném ha nagyon figylnél,

mert minden matematikai probléma

megoldásának az alapja, hogy nagyon jól

kell ismerni a műveletek elvégzésének a sorrendjét.

Miről is van szó,

amikor a műveletek sorrendjéről beszélünk?

Hadd mutassak egy példát!

A lényeg, hogy egyféle módon

értelmezzük a matematikai kifejezéseket.

Mondjuk, hogy van egy kifejezésem:

hét meg három, szorozva öttel.

Ha nem állapodunk meg a műveletek sorrendjéről,

akkor kétféle módon értelmezhetjük ezt a kifejezést.

Egyszerűen olvashatjuk balról jobbra.

Mondhatod, hogy „hét, meg három”

„hét, meg három, aztán megszorozzuk öttel”.

Hét, meg három, az tíz.

Aztán azt megszorozzuk öttel.

Tízszer öt, ötvenet kapunk.

Ez egy lehetséges értelmezés, ha nem állapodunk

meg előre a műveletek sorrendjéről – ez természetes is lehetne,

ha csak balról jobbra olvasva hajtanánk végre a műveleteket.

Egy másik mód az, ha azt mondod:

„ó, én előbb a szorzást szeretném megcsinálni, az összeadás előtt".

Így is lehet értelmezni – megpróbálom színessel –

hét meg... előbb azonban a háromszor ötöt csinálod meg,

hét, meg három szorozva öttel, ami háromszor öt, az tizenöt,

hét, meg tizenöt, az huszonkettő.

Mind a kétféle módon lehet értelmezni a kifejezést.

Ez volt a balról jobbra,

először az összeadás, aztán a szorzás.

Ennél előbb a szorzást végeztük el, utána az összeadást.

Két eltérő eredményt kaptunk.

Ez nem túl szerencsés a matematikában.

Ha ez egy olyan feladatnak a része lenne, hogy valamit a Holdra juttassunk,

akkor ha két ember különböző módon értelmezné ezt,

vagy az egyik számítógép így,

a másik pedig amúgy számolná ki,

akkor a küldemény lehet, hogy a Marson köt ki!

Ez teljességgel elfogadhatatlan,

ezért kell megegyezni

a műveletek végrehajtási sorrendjéről,

hogy egyformán értelmezzük ezt a kifejezést.

A megegyezés szerint

először mindig a zárójelen belüli műveleteket hajtjuk végre.

– hadd írjam ide –

először a zárójeles kifejezések, aztán a hatványozás.

Ha fogalmad sincs, mi a hatványozás,

ne aggódj, ebben a videóban nem fogunk

hatványokat használni a példákban.

Tényleg nem kell emiatt aggódnod.

Aztán a szorzásokat csinálod --

rövidítve írom "mult.", szorzást jelent.

A szorzás után a következő az osztás,

egyébként ugyanolyan rendű művelet a kettő.

És végül az összeadást és a kivonást kell elvégezned.

Mi is az a műveletek sorredje?

Hadd címkézzem fel ezt itt,

a műveletek egyezményes sorrendje

és ha betartjuk ezt a sorrendet, akkor

kifejezések megoldásakor mindig ugyanarra a végeredményre jutunk.

Mit is mond ez itt nekünk? Hogyan kell értelmezni

ebben a feladatban?

Mivel nincs zárójel –

a zárójel így néz ki,

ilyen kis görbe valamik vannak a számok körül.

Nincs zárójel itt – majd csinálok olyan példát is,

ahol lesz zárójel.

Nincs hatványozás sem,

van viszont szorzás és osztás,

helysebben most csak szorzás van.

A műveleti sorrend azt mondja,

hogy először a szorzást és osztást végezzük el.

Ez itt azt mondja, hogy a szorzás csináljuk meg elsőként –

ez egy szorzás. Ez meg itt azt, mondja, hogy a szorzást csináljuk elsőnek.

Ez elsőbbséget élvez az összeadással és a kivonással szemben.

Ha ezt csináljuk elsőnek, akkor háromszor öt,

tizenötöt kapunk, és utána adjuk hozzá a hetet.

Az összeadás vagy kivonás – inkább itt csinálom,

csak összeadás van.

Először a szorzást végezzük el, kapunk tizenötöt,

aztán hozzáadjuk a hetet... huszonkettő.

A műveletek egyezményes sorrendje alapján

ez itt jobboldalt a jó megoldás,

a kifejezés értelmezésének ez a helyes módja.

Csináljuk egy másik példát.

Úgy gondolom, hogy ez majd még érthetőbbé teszi a dolgot.

Rózsaszínnel írom a példát.

Mondjuk, hogy hét meg három

– zárójelbe teszem–

szorozva néggyel, osztva kettővel, mínusz öt, szorozva hattal.

Ez egy őrület itt nem?

Viszont, ha követed a műveletek elvégzésének sorrendjét,

egyszerűsítheted az egészet

és remélhetőleg mindketten ugyanarra a végeredményre jutunk.

Kövessük a műveletek elvégzésének a sorrendjét.

Először zárójelet keresünk.

Van itt zárójel? Igen, van!

Zárójelben van a hét meg három.

Ez azt mondja: „csináljuk meg ezt először”. Hét, meg három, az tíz.

Ezt elvégezhetjük

– vessünk csak egy pillantást a műveleti sorrendre –

tíz lesz, szorozva a többivel. Gyorsan ide másolom ezt, hogy ne kelljen

még egyszer leírnom.

Lemásolom, beillesztem.

Egyszerűsítettük arra, hogy tíz, szorozva ezzel itt mind.

A zárójeles részt csináltuk meg elsőnek. Aztán mi is következik?

Már nincs zárójeles rész ebben a kifejezésben.

Most a hatványozást kellene megcsinálni.

Nem látok egyetlen egyet sem itt,

ha kíváncsi vagy, hogyan néz ki a hatványozás,

egy hatványt így írunk fel:

hét a négyzeten.

Ilyenkor ilyen kis számokat látsz jobbra fent.

Mivel nincs hatványozás,

nem is kell ezzel törődnünk.

Aztán azt mondja, hogy a szorzásokat és osztásokat kell elvégezni.

Hol is vannak? Van egy szorzás,

osztás és megint egy szorzás.

Na most, ha több műveleted is van, ami ugyanolyan rendű,

a szorzás és az osztás például ilyen,

akkor egyszerűen balról jobbra oldod meg őket.

Ebben az eseten, először néggyel szorzol,

és csak aztán osztod kettővel. Néggyel szorzol, kettővel osztod.

Aztán a öt szorozva hattal jön a kivonás előtt.

Nézzük ez mennyi.

Először tehát ezt a szorzást végezzük el.

Ezt a szorzást csináljuk meg először -

ezzel egy időben ezt a szorzást is megcsinálhatnánk,

ez nem változtatna a végeredményen,

de most egyszerre csak egy műveletet csinálunk.

A következő lépés, hogy megcsináljuk ezt a tízszer négyet.

Tízszer négy az negyven, tíz szorozva néggyel az negyven.

Azután a negyvenet osztjuk el kettővel

– megint idemásolom, hogy ne kelljen leírnom.

Ezzel leegyszerűsítettük erre, itt.

Ne feledd, a szorzás és az osztás

ugyanolyan rendű művelet,

ezért balról jobbra végezzük el őket.

Úgy is írhatnád, mint szorzás egy ketteddel

teljesen mindegy a sorrend, de az egyszerűség kedvéért

szorzás és osztás, balról jobbra megy.

Akkor a negyven osztva kettővel, mínusz öt, szorozva hattal.

Az osztás – csak egy osztás van itt,

ezt kell megcsinálni.

Itt van egy osztás és egy szorzás,

nincsenek egymás mellett, ezért

elvégezheted a műveleteket egyszerre.

Hogy világos legyen, ezt kell a kivonás előtt megcsinálni,

mert a szorzás és osztás magasabb rendű, mint

az összeadás és kivonás – zárójelbe is tehetnénk őket.

Azt mondhatjuk, hogy ezt és ezt csináljuk meg

a kivonás ELŐTT,

mert a szorzás és osztás magasabb rendű művelet.

Na akkor, negyven osztva kettővel, az húsz.

Itt van ez a kivonás jel,

mínusz öt szorozva hattal, az harminc.

Húszból harminc, az mínusz tíz.

Ez a helyes értelmezése ennek a kifejezésnek.

Valamit nagyon-nagyon-nagyon világosan kell látni:

ha ugyanolyan rendű műveletek vannak, például

1 + 2 – 3 + 4 – 1

az összeadás és kivonás egyenrangú műveletek,

ezért balról jobbra kell haladnod.

Így kell értelmezni, hogy egy, meg kettő az három.

Ez ugyanaz, mint háromból három, meg négyből egy.

Aztán megcsinálod a háromból hármat, az nulla, meg a négyből egyet.

VAGY ez ugyanaz, mint a négyből egy,

ami ugyanaz, mint ez itt, egyszerűen balról jobbra haladsz.

Ugyanígy, ha szorzások és osztások vannak,

azok is egyenrangúak.

Ha azt látod, hogy négy szorozva kettővel, osztva hárommal, szorozva kettővel,

akkor négyszer kettő, az nyolc, osztva hárommal, szorozva kettővel

a nyolc osztva hárommal tört szám lesz,

nyolc harmad. Nyolc harmad, szorozva kettővel.

A nyolc harmad szorozva kettővel, egyenlő tizenhat harmaddal.

Így kell elvégezni. Nem ezt a szorzást csinálod elsőnek,

aztán osztod kettővel ezt, aztán ezeket itt.

Amikor kicsit lazábban kezelheted a műveleti sorrendeket,

ha csak összeadás van, vagy csak szorzás.

Ha van 1 + 5 + 7 + 3 + 2,

akkor mindegy, milyen sorrendben csinálod meg.

Csinálhatod a kettő meg hármat,

csinálhatod jobbról balra,

csinálhatod balról jobbra,

kezdheted középről,

ha csak összeadás van.

Ugyanez igaz, ha csak szorzás van.

Ha ez egy, szorozva öttel, szorozva héttel, szorozva hárommal, szorozva kettővel -

akkor nem számít, milyen sorrendben csinálod.

Ez csak akkor igaz, ha mind összeadás vagy mind szorzás.

Ha van benne osztás vagy kivonás,

akkor jobban jársz, ha balról jobbra csinálod.