0:00:00.418,0:00:02.347
Ebben a videóban a matematikai műveletek

0:00:02.347,0:00:04.906
sorrendjéről beszélek majd.

0:00:04.906,0:00:06.990
Szeretném ha nagyon figylnél,

0:00:06.990,0:00:08.757
mert minden matematikai probléma

0:00:08.757,0:00:10.793
megoldásának az alapja, hogy nagyon jól

0:00:10.793,0:00:14.524
kell ismerni a műveletek elvégzésének a sorrendjét.

0:00:14.524,0:00:15.931
Miről is van szó,

0:00:15.931,0:00:17.554
amikor a műveletek sorrendjéről beszélünk?

0:00:17.554,0:00:18.808
Hadd mutassak egy példát!

0:00:18.808,0:00:21.420
A lényeg, hogy egyféle módon

0:00:21.420,0:00:23.650
értelmezzük a matematikai kifejezéseket.

0:00:23.650,0:00:26.239
Mondjuk, hogy van egy kifejezésem:

0:00:26.239,0:00:32.293
hét meg három, szorozva öttel.

0:00:32.293,0:00:36.511
Ha nem állapodunk meg a műveletek sorrendjéről,

0:00:36.511,0:00:39.335
akkor kétféle módon értelmezhetjük ezt a kifejezést.

0:00:39.335,0:00:41.424
Egyszerűen olvashatjuk balról jobbra.

0:00:41.424,0:00:44.506
Mondhatod, hogy „hét, meg három”

0:00:44.506,0:00:49.319
„hét, meg három, aztán megszorozzuk öttel”.

0:00:49.319,0:00:53.249
Hét, meg három, az tíz.

0:00:53.249,0:00:56.657
Aztán azt megszorozzuk öttel.

0:00:56.657,0:00:59.924
Tízszer öt, ötvenet kapunk.

0:00:59.924,0:01:01.645
Ez egy lehetséges értelmezés, ha nem állapodunk

0:01:01.645,0:01:03.597
meg előre a műveletek sorrendjéről – ez természetes is lehetne,

0:01:03.597,0:01:05.810
ha csak balról jobbra olvasva hajtanánk végre a műveleteket.

0:01:05.810,0:01:07.252
Egy másik mód az, ha azt mondod:

0:01:07.252,0:01:10.403
„ó, én előbb a szorzást szeretném megcsinálni, az összeadás előtt".

0:01:10.403,0:01:14.397
Így is lehet értelmezni – megpróbálom színessel –

0:01:14.397,0:01:17.926
hét meg... előbb azonban a háromszor ötöt csinálod meg,

0:01:17.926,0:01:27.915
hét, meg három szorozva öttel, ami háromszor öt, az tizenöt,

0:01:27.915,0:01:32.750
hét, meg tizenöt, az huszonkettő.

0:01:32.750,0:01:35.713
Mind a kétféle módon lehet értelmezni a kifejezést.

0:01:35.713,0:01:37.756
Ez volt a balról jobbra,

0:01:37.756,0:01:39.985
először az összeadás, aztán a szorzás.

0:01:39.985,0:01:41.916
Ennél előbb a szorzást végeztük el, utána az összeadást.

0:01:41.916,0:01:43.840
Két eltérő eredményt kaptunk.

0:01:43.840,0:01:45.868
Ez nem túl szerencsés a matematikában.

0:01:45.868,0:01:50.388
Ha ez egy olyan feladatnak a része lenne, hogy valamit a Holdra juttassunk,

0:01:50.388,0:01:52.233
akkor ha két ember különböző módon értelmezné ezt,

0:01:52.233,0:01:54.106
vagy az egyik számítógép így,

0:01:54.106,0:01:55.448
a másik pedig amúgy számolná ki,

0:01:55.448,0:01:57.301
akkor a küldemény lehet, hogy a Marson köt ki!

0:01:57.301,0:01:59.401
Ez teljességgel elfogadhatatlan,

0:01:59.401,0:02:00.721
ezért kell megegyezni

0:02:00.721,0:02:03.129
a műveletek végrehajtási sorrendjéről,

0:02:03.129,0:02:06.644
hogy egyformán értelmezzük ezt a kifejezést.

0:02:06.644,0:02:09.402
A megegyezés szerint

0:02:09.402,0:02:11.177
először mindig a zárójelen belüli műveleteket hajtjuk végre.

0:02:11.177,0:02:12.934
– hadd írjam ide –

0:02:12.934,0:02:19.913
először a zárójeles kifejezések, aztán a hatványozás.

0:02:19.913,0:02:21.258
Ha fogalmad sincs, mi a hatványozás,

0:02:21.258,0:02:24.021
ne aggódj, ebben a videóban nem fogunk

0:02:24.681,0:02:27.463
hatványokat használni a példákban.

0:02:27.913,0:02:30.409
Tényleg nem kell emiatt aggódnod.

0:02:30.409,0:02:31.974
Aztán a szorzásokat csinálod --

0:02:31.974,0:02:34.806
rövidítve írom "mult.", szorzást jelent.

0:02:35.686,0:02:37.928
A szorzás után a következő az osztás,

0:02:37.928,0:02:40.652
egyébként ugyanolyan rendű művelet a kettő.

0:02:40.652,0:02:45.373
És végül az összeadást és a kivonást kell elvégezned.

0:02:47.553,0:02:49.867
Mi is az a műveletek sorredje?

0:02:49.867,0:02:51.185
Hadd címkézzem fel ezt itt,

0:02:51.185,0:02:56.131
a műveletek egyezményes sorrendje

0:02:56.131,0:02:58.350
és ha betartjuk ezt a sorrendet, akkor

0:02:58.350,0:03:01.614
kifejezések megoldásakor mindig ugyanarra a végeredményre jutunk.

0:03:01.614,0:03:03.686
Mit is mond ez itt nekünk? Hogyan kell értelmezni

0:03:03.686,0:03:05.281
ebben a feladatban?

0:03:05.281,0:03:07.049
Mivel nincs zárójel –

0:03:07.049,0:03:08.811
a zárójel így néz ki,

0:03:08.811,0:03:10.637
ilyen kis görbe valamik vannak a számok körül.

0:03:10.637,0:03:12.329
Nincs zárójel itt – majd csinálok olyan példát is,

0:03:12.329,0:03:15.111
ahol lesz zárójel.

0:03:15.111,0:03:16.835
Nincs hatványozás sem,

0:03:16.835,0:03:18.983
van viszont szorzás és osztás,

0:03:18.983,0:03:20.853
helysebben most csak szorzás van.

0:03:20.853,0:03:22.862
A műveleti sorrend azt mondja,

0:03:22.862,0:03:25.351
hogy először a szorzást és osztást végezzük el.

0:03:25.351,0:03:28.320
Ez itt azt mondja, hogy a szorzás csináljuk meg elsőként –

0:03:28.320,0:03:32.402
ez egy szorzás. Ez meg itt azt, mondja, hogy a szorzást csináljuk elsőnek.

0:03:32.402,0:03:36.735
Ez elsőbbséget élvez az összeadással és a kivonással szemben.

0:03:36.735,0:03:39.508
Ha ezt csináljuk elsőnek, akkor háromszor öt,

0:03:39.508,0:03:42.679
tizenötöt kapunk, és utána adjuk hozzá a hetet.

0:03:42.679,0:03:44.723
Az összeadás vagy kivonás – inkább itt csinálom,

0:03:44.723,0:03:47.866
csak összeadás van.

0:03:47.866,0:03:49.901
Először a szorzást végezzük el, kapunk tizenötöt,

0:03:49.901,0:03:52.326
aztán hozzáadjuk a hetet... huszonkettő.

0:03:52.326,0:03:56.113
A műveletek egyezményes sorrendje alapján

0:03:56.113,0:03:59.375
ez itt jobboldalt a jó megoldás,

0:03:59.375,0:04:01.594
a kifejezés értelmezésének ez a helyes módja.

0:04:01.594,0:04:03.482
Csináljuk egy másik példát.

0:04:03.482,0:04:08.082
Úgy gondolom, hogy ez majd még érthetőbbé teszi a dolgot.

0:04:08.082,0:04:10.467
Rózsaszínnel írom a példát.

0:04:10.467,0:04:17.932
Mondjuk, hogy hét meg három

0:04:17.932,0:04:19.871
– zárójelbe teszem–

0:04:19.871,0:04:30.652
szorozva néggyel, osztva kettővel, mínusz öt, szorozva hattal.

0:04:30.652,0:04:32.435
Ez egy őrület itt nem?

0:04:32.435,0:04:34.836
Viszont, ha követed a műveletek elvégzésének sorrendjét,

0:04:34.836,0:04:37.767
egyszerűsítheted az egészet

0:04:37.767,0:04:39.409
és remélhetőleg mindketten ugyanarra a végeredményre jutunk.

0:04:39.409,0:04:41.631
Kövessük a műveletek elvégzésének a sorrendjét.

0:04:41.631,0:04:43.752
Először zárójelet keresünk.

0:04:43.752,0:04:46.023
Van itt zárójel? Igen, van!

0:04:46.023,0:04:48.798
Zárójelben van a hét meg három.

0:04:48.798,0:04:53.937
Ez azt mondja: „csináljuk meg ezt először”. Hét, meg három, az tíz.

0:04:53.937,0:04:55.339
Ezt elvégezhetjük

0:04:55.339,0:04:57.183
– vessünk csak egy pillantást a műveleti sorrendre –

0:04:57.183,0:05:01.256
tíz lesz, szorozva a többivel. Gyorsan ide másolom ezt, hogy ne kelljen

0:05:01.256,0:05:03.996
még egyszer leírnom.

0:05:03.996,0:05:06.870
Lemásolom, beillesztem.

0:05:06.870,0:05:10.079
Egyszerűsítettük arra, hogy tíz, szorozva ezzel itt mind.

0:05:10.079,0:05:13.330
A zárójeles részt csináltuk meg elsőnek. Aztán mi is következik?

0:05:13.330,0:05:15.362
Már nincs zárójeles rész ebben a kifejezésben.

0:05:15.362,0:05:16.686
Most a hatványozást kellene megcsinálni.

0:05:16.686,0:05:18.199
Nem látok egyetlen egyet sem itt,

0:05:18.199,0:05:20.145
ha kíváncsi vagy, hogyan néz ki a hatványozás,

0:05:20.145,0:05:21.423
egy hatványt így írunk fel:

0:05:21.423,0:05:23.153
hét a négyzeten.

0:05:23.153,0:05:25.699
Ilyenkor ilyen kis számokat látsz jobbra fent.

0:05:25.699,0:05:27.067
Mivel nincs hatványozás,

0:05:27.067,0:05:28.355
nem is kell ezzel törődnünk.

0:05:28.355,0:05:32.742
Aztán azt mondja, hogy a szorzásokat és osztásokat kell elvégezni.

0:05:32.742,0:05:34.199
Hol is vannak? Van egy szorzás,

0:05:34.199,0:05:38.826
osztás és megint egy szorzás.

0:05:38.826,0:05:43.795
Na most, ha több műveleted is van, ami ugyanolyan rendű,

0:05:43.795,0:05:46.164
a szorzás és az osztás például ilyen,

0:05:46.164,0:05:50.482
akkor egyszerűen balról jobbra oldod meg őket.

0:05:50.482,0:05:54.141
Ebben az eseten, először néggyel szorzol,

0:05:54.141,0:05:59.166
és csak aztán osztod kettővel. Néggyel szorzol, kettővel osztod.

0:05:59.166,0:06:03.717
Aztán a öt szorozva hattal jön a kivonás előtt.

0:06:03.717,0:06:06.504
Nézzük ez mennyi.

0:06:06.504,0:06:08.984
Először tehát ezt a szorzást végezzük el.

0:06:08.984,0:06:10.427
Ezt a szorzást csináljuk meg először -

0:06:10.427,0:06:12.422
ezzel egy időben ezt a szorzást is megcsinálhatnánk,

0:06:12.422,0:06:13.769
ez nem változtatna a végeredményen,

0:06:13.769,0:06:16.053
de most egyszerre csak egy műveletet csinálunk.

0:06:16.053,0:06:20.111
A következő lépés, hogy megcsináljuk ezt a tízszer négyet.

0:06:20.111,0:06:25.733
Tízszer négy az negyven, tíz szorozva néggyel az negyven.

0:06:25.733,0:06:28.433
Azután a negyvenet osztjuk el kettővel

0:06:28.433,0:06:32.204
– megint idemásolom, hogy ne kelljen leírnom.

0:06:32.204,0:06:34.414
Ezzel leegyszerűsítettük erre, itt.

0:06:34.414,0:06:35.992
Ne feledd, a szorzás és az osztás

0:06:35.992,0:06:38.426
ugyanolyan rendű művelet,

0:06:38.426,0:06:40.000
ezért balról jobbra végezzük el őket.

0:06:40.000,0:06:43.006
Úgy is írhatnád, mint szorzás egy ketteddel

0:06:43.006,0:06:45.510
teljesen mindegy a sorrend, de az egyszerűség kedvéért

0:06:45.510,0:06:49.333
szorzás és osztás, balról jobbra megy.

0:06:49.333,0:06:53.116
Akkor a negyven osztva kettővel, mínusz öt, szorozva hattal.

0:06:53.116,0:06:55.207
Az osztás – csak egy osztás van itt,

0:06:55.207,0:06:57.680
ezt kell megcsinálni.

0:06:57.680,0:07:00.183
Itt van egy osztás és egy szorzás,

0:07:00.183,0:07:01.229
nincsenek egymás mellett, ezért

0:07:01.229,0:07:03.671
elvégezheted a műveleteket egyszerre.

0:07:03.671,0:07:07.015
Hogy világos legyen, ezt kell a kivonás előtt megcsinálni,

0:07:07.015,0:07:09.465
mert a szorzás és osztás magasabb rendű, mint

0:07:09.465,0:07:13.191
az összeadás és kivonás – zárójelbe is tehetnénk őket.

0:07:13.191,0:07:16.387
Azt mondhatjuk, hogy ezt és ezt csináljuk meg

0:07:16.387,0:07:18.428
a kivonás ELŐTT,

0:07:18.428,0:07:22.355
mert a szorzás és osztás magasabb rendű művelet.

0:07:22.355,0:07:25.480
Na akkor, negyven osztva kettővel, az húsz.

0:07:25.480,0:07:27.317
Itt van ez a kivonás jel,

0:07:27.317,0:07:31.071
mínusz öt szorozva hattal, az harminc.

0:07:31.071,0:07:35.668
Húszból harminc, az mínusz tíz.

0:07:35.668,0:07:39.012
Ez a helyes értelmezése ennek a kifejezésnek.

0:07:39.012,0:07:41.035
Valamit nagyon-nagyon-nagyon világosan kell látni:

0:07:41.035,0:07:45.667
ha ugyanolyan rendű műveletek vannak, például

0:07:45.667,0:07:51.922
1 + 2 – 3 + 4 – 1

0:07:51.922,0:07:55.253
az összeadás és kivonás egyenrangú műveletek,

0:07:55.253,0:07:58.352
ezért balról jobbra kell haladnod.

0:07:58.352,0:08:01.455
Így kell értelmezni, hogy egy, meg kettő az három.

0:08:01.455,0:08:05.872
Ez ugyanaz, mint háromból három, meg négyből egy.

0:08:05.872,0:08:10.316
Aztán megcsinálod a háromból hármat, az nulla, meg a négyből egyet.

0:08:10.316,0:08:13.424
VAGY ez ugyanaz, mint a négyből egy,

0:08:13.424,0:08:16.675
ami ugyanaz, mint ez itt, egyszerűen balról jobbra haladsz.

0:08:16.675,0:08:20.529
Ugyanígy, ha szorzások és osztások vannak,

0:08:20.529,0:08:22.666
azok is egyenrangúak.

0:08:22.666,0:08:29.400
Ha azt látod, hogy négy szorozva kettővel, osztva hárommal, szorozva kettővel,

0:08:29.400,0:08:35.344
akkor négyszer kettő, az nyolc, osztva hárommal, szorozva kettővel

0:08:35.344,0:08:39.338
a nyolc osztva hárommal tört szám lesz,

0:08:39.338,0:08:44.353
nyolc harmad. Nyolc harmad, szorozva kettővel.

0:08:44.353,0:08:50.855
A nyolc harmad szorozva kettővel, egyenlő tizenhat harmaddal.

0:08:50.855,0:08:53.362
Így kell elvégezni. Nem ezt a szorzást csinálod elsőnek,

0:08:53.362,0:08:56.335
aztán osztod kettővel ezt, aztán ezeket itt.

0:08:56.335,0:08:59.815
Amikor kicsit lazábban kezelheted a műveleti sorrendeket,

0:08:59.815,0:09:03.184
ha csak összeadás van, vagy csak szorzás.

0:09:03.184,0:09:08.713
Ha van 1 + 5 + 7 + 3 + 2,

0:09:08.713,0:09:11.052
akkor mindegy, milyen sorrendben csinálod meg.

0:09:11.052,0:09:12.267
Csinálhatod a kettő meg hármat,

0:09:12.267,0:09:13.564
csinálhatod jobbról balra,

0:09:13.564,0:09:14.539
csinálhatod balról jobbra,

0:09:14.539,0:09:15.886
kezdheted középről,

0:09:15.886,0:09:17.917
ha csak összeadás van.

0:09:17.917,0:09:20.989
Ugyanez igaz, ha csak szorzás van.

0:09:20.989,0:09:24.933
Ha ez egy, szorozva öttel, szorozva héttel, szorozva hárommal, szorozva kettővel -

0:09:24.933,0:09:28.192
akkor nem számít, milyen sorrendben csinálod.

0:09:28.192,0:09:32.140
Ez csak akkor igaz, ha mind összeadás vagy mind szorzás.

0:09:32.140,0:09:34.682
Ha van benne osztás vagy kivonás,

0:09:34.682,0:09:39.267
akkor jobban jársz, ha balról jobbra csinálod.