Prioritätenregeln

Prioritätenregeln oder auch Vorrangregeln

Hallo

Wir wollen ein paar Aufgaben zur Prioritätsregel machen

aber nur jede zweite damit das nicht zu lange wird.

Wir beginnen mit 1b.

1b ist hier.

Da steht 2 plus 7 mal 11 minus 12 dividiert durch 3.

Also hier daran denken: die oberste Priorität hat

immer die Klammer.

Man hat also die Klammern -- ich schreibe das nochmal anderst.

Die oberste Prioriät hat immer die Klammer,

danach kommen die Exponenten,

danach kommt Multiplikation und Division

und danach kommt Addition und Subtraktion.

Daran müssen wir uns halten und damit können wir

diese Aufgaben knacken.

Also sehen wir nach den Prioritäten. Wir haben hier keine Klammern,

keine Exponenten, also haben zuerst Multiplikation

und Division priorität.

Man kann das auch wie folgt betrachten.

Wir machen zuerst die Multiplikation bevor wir addieren

oder subtrahieren, und wir machen zuerst die Division

bevor wir addieren oder subtrahieren.

Aufgabe 1b ist exakt gleich zu dieser Aufgabe,

mit den Klammern erzwingen wir nur die Reihenfolge

in der wir multiplizieren und dividieren

bevor wir addieren und subtrahieren.

Also: 7 mal 11 ist 77, dann kommt 12 dividiert durch 3 ist 4.

Und der Rest der Aufgabe war 2 plus dieses Ding,

was 77 ist, minus dieses Ding.

Und hier können wir, nachdem alles nur noch Addition oder Subtraktion ist,

einfach von links nach rechts vorgehen.

2 plus 77 ist 79 minus 4, das ergibt 75.

1b ergibt also 75.

Jetzt machen wir 1d.

Das ist eine nette, haarige Aufgabe.

Also 1d.

Da heißt es 2 mal 3 plus 2 minus 1.

Zwei Klammern schließen,
all das geteilt durch 4 minus 6 plus 2

minus 3 minus 5.

Mal sehen, ob wir das vereinfachen können.

Wie vorhin schon gesagt: die Klammern haben oberste Priorität.

Also berechnen wir zuerst die Klammern. 2 minus 1.

2 minus 1 ergibt 1.

3 minus 5.

Das ergibt minus 2.

6 plus 2

ergibt 8.

Nun schauen wir weiter nach den Klammern um zu sehen,

ob wir noch etwas vereinfachen können.

Wir haben hier diese Klammer.

3 plus diese 1 ergibt dann 4.

Das schreibe noch nochmal neu.

Wir haben also 2 mal diesen ganzen Ausdruck.

3 plus 1, das ist 2 mal 4.

Das da oben ist 4.

All das geteilt durch 4 minus 8, das ist minus 4.

Das da hier ist minus 4.

Und dann minus diese minus 2.

Also minus - 2.

2 mal 4 ist 8, dieses ganze Ding vereinfacht sich,

und hier diese zwei minus vereinfachen sich zu einem plus,

die Minuszeichen heben sich auf.

Das ganze Ding vereinfacht sich also zu
8 geteilt durch minus 4

das ist minus 2 plus 2.

Und das

ergibt Null.

Dises große, haarige Ding vereinfacht sich also zu 0.

Nun machen wir 2b.

2b.

Ich schaffe hier ein wenig Platz.

Die Prioritätenreihenfolge lasse ich hier.

Ich lösche das hier weg.

Ok,

nun kommt 2b.

Berechne folgenden

Ausdruck mit Variablen.

Ok

Also hier steht: 2y im Quadrat, und

x soll dabei 1 sein, was irrelevant ist,
denn da steht nirgend wo ein x.

und y ist gleich 5.

Wenn also y gleich 5 ist, wird aus dem Ausdruck

2 mal 5 im Quadrat.

Und aufgepasst: ich habe hier eine Klammer gesetzt.

Ich hätte das können auch so schreiben

2 mal 5 im Quadrat.

Und wenn man auf die Prioritätsregeln schaut, sieht man

dass Exponenten eine höhere Priorität haben als die Multiplikation.

Deshalb habe ich im Kopf einfach hier

diese Klammern gesetzt.

Wir potenzieren also zuerst.

Das ist 25, und so erhält man 2 mal 25 und das ist 50.

Das war die 2b -- ich verwende eine dunklere Farbe --

die Lösung hier ist 50.

Machen wir nun die 2d.

2d)

Da steht y Quadrat minus x, und das ganze noch im Quadrat.

x soll 2 sein und y gleich 1.

Wir setzen die Werte einfach ein.

Wo ein y steht, setzen wir eine 1 ein.

Das wird also zu 1 im Quadrat minus x

also minus 2.

Und das ist nur 2

ohne Potenz.

Und das alles zusammen im Quadrat.

Nun, 1 im Quadrat ist 1.

1 minus 2 ist minus 1.

Und nun wollen wir die -1 quadrieren.

Und das wird zu plus 1.

Das ist also dann 1.

Minus mal minus gibt plus.

Ok, nun machen wir die 3b.

3b.

Wir machen jede 2. Aufgabe.

Das mache ich in gelb.

Berechne folgenden Ausdruck

in dem Variablen vorkommen.

Ok.

Gleiche Idee.

Wir haben also 4x geteilt durch 9x im Quadrat.

Oh, ich habe die 3a anstelle der 3b genommen.

Also beginnen wir.

Wir haben z Quadrat geteilt durch x plus y plus x Quadrat

geteilt durch x minus y.

Und x soll gleich 1 sein und

y gleich minus 2, und z soll gleich 4 sein.

Wir ersetzen die Variablen zuerst.

z Quadrat, das ist das gleiche wie -- ich mache das

in einer anderen Farbe -- 4 Quadrat geteilt durch x, das ist 1, plus y, das ist minus 2,

plus x Quadrat, das ist 1 im Quadrat, geteilt durch x,

x ist 1, minus y.

y ist minus 2.

Das ganze ist gleich 4 im Quadrat, das ist 16 geteilt durch

1 plus (minus 2), das ist 1 minus 2 -- das gibt eine minus 1 --

plus 1 im Quadrat, das ist 1, geteilt durch 1 minus (minus 2).

Das ist das gleiche wie 1 plus 2.

Das ergibt also 1/3.

Das ergibt also: 16 geteilt durch minus 1.

Das ist das gleiche wie minus 16 plus 1/3.

Wenn wir diese zwei Brüche addieren wollen

brauchen wir einen gemeinsammen Nenner.

Minus 16 ist das gleiche wie minus 48 geteilt durch 3,

oder minus 48 geteilt durch 3.

Wenn man 48 durch 3 teilt bekomment man 16,

und das Minuszeichen bleibt einfach.

Und dann addiert man dieses 1/3.

Jetzt haben wir einen gemeinsamen Nenner.

Minus 48 plus 1 ist minus 47.

Die Lösung ist also minus 47 geteilt durch 3.

Aufgabe 3d.

3d

Gleiche Aufgabenstellung

x Quadrat minus z Quadrat geteilt durch xz minus 2x mal z minus x.

x soll gleich minus 1 sein, z ist gleich 3.

Wir ersetzen die Variablen.

Das hier ist x Quadrat.

Das ist minus 1 im Quadrat.

Minus z Quadrat, also minus 3 im Quadrat.

Das alles geteilt durch x mal z.

x mal z ist minus 1 mal 3, minus 2 mal x,

x ist minus 1, mal z minus x, mal 3 minus x.

und x ist minus 1 minus x.

Überall wo wir ein x gesehen haben haben wir eine minus 1 eingesetzt.

Das alles ergibt -- und dran denken,

die Exponenten kommen zuerst.

Nun, die Klammern kommen natürlich noch vorher, dann erst die Exponenten.

Wir haben also minus 1 im Quadrat, das ist eine positive 1.

3 im Quadrat, das ist plus 9.

Unser Zähler wird also zu 1 minus 9, das ist minus 8,

minus 8.

Und jetzt kommt der Nenner.

Minus 1 mal 3 ist minus 3.

Jetzt schauen wir nach unseren Klammern hier.

Hier haben wir 3 minus minus 1, und das ist

3 plus plus 1.

Das hier wird also zu 4.

Unser Nenner wird somit zu minus 3 minus 2 mal

minus 1 mal 4, das ergibt minus 8.

Minus minus 8.

Minus von einer negativen Zahl ist das gleiche wie ein plus.

Das ganze Ding wird also zu minus 8 geteilt durch

minus 3 plus 8 und das ist 5.

Das ist also minus 8/5, minus 8 geteilt durch 5.

Ich mache etwas Platz

damit wir die nächste Aufgabe sauber aufschreiben können.

Ich lösche das alles

hier weg.

Diese Aufgaben werden nun interessant.

Aufgabe 4: füge Klammern ein

damit daraus eine richtige Aussage wird.

Spannend.

Hm

Also 4b.

Wir haben also 12 geteilt durch 4 plus 10 minus 3 mal 3 plus 7

ist gleich 11.

Mal sehen was passiert wenn wir die normale

Reihenfolge verwenden. Und das mache ich im Kopf,

denn da muss man etwas herum experimentieren.

Oh, ja, ich habe die Aufgabe 4b. 12 geteilt durch 4 ...

Genau, das ist unsere Aufgabe.

Wenn wir zuerst 12 geteilt durch 4 rechnen, dann wäre das 3.

Das schreibe ich in gelb.

Wenn wir also die normale Prioritätsregeln anwenden, wäre das eine 3.

Das hier wäre eine 9.

Dann hätten wir 3 plus 10 - das wäre 13 - minus 9,

13 minus 9 ergibt 4 plus 7.

Das könnte stimmen.

Prüfen wir das nochmal nach.

3 plus 10 -- ja, das sieht gut aus.

Hier müssen wir also nur die normalen Prioritätsregeln anwenden.

Das sieht nach einer korrekten Gleichung aus.

Wenn man also 12 durch 4 teilt plus 10 minus 3 mal 3

plus 7, dann scheint das richtige heraus zu kommen.

Das überprüfen wir.

Aufpassen, dass kein Fehler passiert.

12 dividiert durch 4 ist 3 plus 10 minus 3 mal 3 ist 9 plus 7.

Das ergibt 13 minus 9, das ganze ergibt also

13 minus 9 und das ist gleich 4 plus 7

ergibt in der Tat 11.

Das war gar nicht so übel.

Man hätte nicht eine einzige Klammer setzen müssen

um daraus einen wahren Ausdruck zu machen.

Man muss nur die normalen Prioritätsregeln beachten.

Wenn man allerdings diese zwei Klammern hier setzt,

kann man das etwas einfacher lesen.

Versuchen wir die 4d.

4d.

12 minus 8 minus 4 mal 5 ist gleich minus 8.

Schauen wir wieder zuerst was passiert wenn wir

die normalen Prioritätsregeln anwenden.

Wenn wir die normalen Prioritätsregeln anwenden,

dann würden wir diese 4 mit 5 multiplizieren, das wäre hier drüben die 20.

Dann hätten wir die 12 minus 8 das wäre 4.

Und dann wäre das 4 minus 20 -- oh nein, das wäre falsch.

Das wäre minus 16.

Das ist nicht korrekt.

Also können wir nicht

die normalen Prioritätsregeln anwenden.

Upps, das hier ist eine minus 8.

Nun schauen wir mal, wie wir hier experimentieren können.

Wir probieren einfach ein paar Varianten aus.

Probieren wir mal das hier: 12 minus 8 minus 4 und das

dann multipliziert mit 5.

Mal sehen was dabei heraus kommt.

Ich experimentiere einfach mit den Klammern herum.

Wenn wir nun diese 8 minus 4 berechnen,

8 minus 4 ist 4.

Und 4 mal 5 wöre 20, und dann noch 12 minus 20 --

ja, das würde passen.

Überprüfen wir das.

Ich platziere also die Klammern genau hier

und noch da und dann rechnen wir das aus.

Das wäre hier 8 minus 4 ergibt 4.

Das ganze Ding vereinfacht sich dann zu

12 minus 4 mal 5.

Und wir verwenden hier einfach die normalen Prioritätsregeln,

wir multiplizieren zuerst. Das wird dann zu 20.

Und wenn ich das ganz eindeutig haben will,

dann schreibe ich das so.

Ich könnte eine weitere

Klammer genau hier setzen.

Aber die Prioritätsregeln würden uns das sowieso so vorschreiben.

Das wird also zu 12 minus 20 und das ist in der Tat

minus 8.