Mi olyan szexis a matekban?

A rejtett igazságok áthatják világunkat: ezeket érzékszerveinkkel nem tudjuk fölfogni, de a matek képes kimozdítani minket ösztönös megérzésünkből, hogy föltárhassuk ezeket az igazságokat. A matematikai fölfedezések eme áttekintésében Cédric Villani, a Fields-érem díjazottja a fölfedezés keltette borzongásról szól, és azokról a részletekről, amelyek olykor zavarba ejtik a matematikust. "A gyönyörű matematikai magyarázatok nemcsak gyönyörködtetésünkre szolgálnak – mondja. Világlátásunkat is megváltoztatják."

Miben jobbak a franciák mindenki másnál?

Ha közvélemény-kutatást végeznénk,

talán három terület kerülne az élre:

a szerelem, a bor és a siránkozás.

(Nevetés)

Esetleg.

Én egy negyediket is javasolnék:

a matematikát.

Tudják-e, hogy Párizsban
több matematikus él,

mint a világ bármely más városában?

És több utca is van
matematikusról elnevezve.

Ha a Fields-érem statisztikáját megnézzük

– gyakran matematikai
Nobel-díjnak hívják,

és csak 40 évesnél fiatalabb
matematikus kaphatja,

kiderül, hogy Franciaországnak
lélekszámára vetítve több díjazottja van,

mint bármely más országnak.

Mit találunk mi olyan szexinek a matekban?

Végtére is, unalmasnak
és elvontnak látszik,

csak számok és számítások
és alkalmazandó szabályok.

Meglehet, hogy a matematika elvont,

de nem unalmas,

és nem a számolással foglalkozik.

Hanem a logikus gondolkodással

és annak bizonyításával,
hogy jó, amit csinálunk.

A képzelőerőről szól,

arról a képességről,
amit legtöbbre értékelünk.

Az igazság megtalálásáról.

Semmi sem hasonlítható ahhoz az érzéshez,

mint amikor több hónap
kemény gondolkodás után

végre megértjük, hogy miként
oldhatjuk meg a problémát.

André Weil, a kiváló matematikus ezt

– nem tréfálok –

a kéjes gyönyörhöz hasonlította.

De hozzátette, hogy ez az érzés
órákig, sőt napokig is eltarthat.

A jutalom nagy lehet.

Matematikai igazságok rejtőzködnek
egész anyagi világunkban.

Ezeket érzékszerveinkkel
nem tudjuk fölfogni,

ám a matematika lencséjén keresztül
azért láthatók.

Egy pillanatra hunyják be szemüket,

és gondoljanak arra,
mi van most körülöttük.

Milliárdnyi és milliárdnyi
láthatatlan részecske bombáz bennünket

a levegőből minden pillanatban,

teljes zűrzavarban.

De mégis,

a matematikai fizika pontosan
megjósolja együttes hatásukat.

Most pedig nézzük

e részecskék sebességét statisztikusan.

A híres Gauss-haranggörbe,

vagy a normális eloszlás sűrűségfüggvénye

az átlaghoz képesti szórást jellemzi.

Ez a görbe a részecskék sebességének
statisztikáját szemlélteti,

épp úgy, ahogy a demográfiában e görbe

az egyének kormegoszlását szemlélteti.

Ez az egyik legfontosabb görbe.

Minduntalan előfordul sok elméletben

és sok-sok kísérletben,

mint az egyetemesség remek példája,

amelyet mi, matematikusok
oly sokra tartunk.

E görbéről ezt mondta

Francis Galton, a híres matematikus:

"Ha ismerték volna a régi görögök,
istenítették volna.

Ez a káosz legfőbb törvénye."

Galton-deszkával lehet a legjobban
szemléltetni ezt a főistennőt.

Ezen a deszkán szűk csatornák vannak,

amelyeken át apró golyók
véletlenszerűen potyognak

hol jobbra, hol balra.

Teljesen véletlenszerűen és kaotikusan.

Nézzük, mi lesz, ha összességükben
figyeljük a véletlen pályákat.

(Megrázza a deszkát)

Kicsit olyan, mint valami videojáték,

mert úrrá kell lennünk a forgalmi dugókon.

Aha.

Azt gondoljuk, hogy a véletlen
tréfát fog űzni velem a színpadon.

Tessék.

A káosz főistennője,

a Gauss-görbe itt csapdába esett,

mint az Álom a "Sandman,
az Álmok Fejedelme" c. képregényben.

Önöknek épp csak megmutattam,

de diákjaimnak el is szoktam magyarázni,
miért nem lehet bármi más a görbe.

Ezzel a közel kerültünk
az istennő titkához,

mert a gyönyörű véletlen helyébe
a gyönyörű magyarázat lép.

Az egész tudomány ilyen.

A gyönyörű matematikai magyarázatok
nem csupán örömünkre szolgálnak.

Megváltoztatják világlátásunkat is.

Például

Einstein,

Perrin

és von Smoluchowski

véletlen pályák matematikai analízise

és a Gauss-görbe segítségével

magyarázták meg és igazolták,
hogy világunkat atomok alkotják.

Nem az első eset,

hogy a matematika
forradalmasította világlátásunkat.

Több mint 2000 éve,

az ókori görögök idején

már előfordult ilyen.

Abban az időben

a világnak csak töredékét ismerték,

és a Föld végtelennek látszott.

De az okos Eratoszthenész

a matematika segítségével

képes volt meghatározni a Föld méretét
2%-os, elképesztő pontossággal.

Íme egy másik példa.

1673-ban Jean Richer megfigyelte,

hogy Cayenne-ben az inga
egy kissé lassabban leng, mint Párizsban.

Csupán ebből a megfigyelésből
és okos matematikával

Newton helyesen vezette le,

hogy a Föld a sarkoknál
egy kissé be van lapulva,

mintegy 0,3%-kal,

oly csekély mértékben,
hogy a természetben észrevehetetlen.

Ezek a példák rámutatnak,
hogy a matematika

képes kimozdítani minket
ösztönös megérzésünkből,

megmérni a végtelennek tűnő Földet,

meglátni a láthatatlan atomokat,

vagy kimutatni
az észrevehetetlen alakváltozást.

Ha csupán egyetlen tanulságát
jegyeznének meg az előadásnak,

az a következő lenne:

a matematika lehetőséget nyújt,
hogy túljussunk megérzéseinken,

és felfedezzünk olyan területeket,
amelyeket másképp nem tudunk megragadni.

Íme, egy modern példa,
amelyhez mindannyiunknak közünk van:

keresés az interneten.

A világháló

több mint egymilliárd weboldal –

mindet meg akarjuk nézni?

A számítógép a segítségünkre van,

de nem mennénk semmire,
ha nem modelleznénk matematikailag

az adatokban elrejtett
információ keresését.

Nézzünk egy egyszerű problémát.

Tegyük föl, hogy valami
bűnügyben nyomozunk,

és a tényekről sok embernek
megvan a saját verziója.

Kit akarunk először meghallgatni?

Az értelmes válasz:

a közvetlen tanúkat.

Tegyük föl,

hogy a 7. számú tanú

elmond egy történetet,

de a "honnan tudja?" kérdésre

forrásként rábök a 3. sz. tanúra.

De lehet, hogy a 3. sz. tanú viszont

alapforrásként az 1. sz. személyre mutat.

Most az 1. számú a fontos tanú,

tehát én először őt akarom meghallgatni.

De a gráfból

az is látható, hogy a 4. számú
is közvetlen tanú.

Lehet, hogy először őt hallgatnám meg,

mert többen hivatkoznak rá.

Rendben, ez egyszerű volt.

De mi van akkor,
ha egy csomóan akarnak tanúskodni?

E gráfot fölfoghatom úgy is,

mint azok összességét, akik tanúskodni
akarnak egy bonyolult bűnügyben,

de lehetnének egymásra mutató,

tartalmilag egymásra
hivatkozó weboldalak is.

Melyek a leginkább mérvadók?

Nemigen világos.

Lépjünk be a PageRankbe,

ez a Google egyik előzménye.

Ez az algoritmus a matematikai
véletlen törvényeit használja

a legmérvadóbb weboldalak
meghatározására,

ugyanazon módszerrel, mint amit
a Galton-deszka kísérletében alkalmaztunk.

Küldjünk a gráfba

egy csomó pici digitális golyót,

hadd mozogjanak benne véletlenszerűen.

Valahányszor egy weboldalra érnek,

egy véletlen módon választott hivatkozáson
át mennek a következő oldalra.

Megint és megint és megint.

A növekvő kis kupacok alapján

följegyezhetjük, hogy e digitális golyók
hányszor keresték föl

az egyes oldalakat.

Tessék.

Véletlen, véletlen.

Időről időre ugorjunk is

teljesen véletlenszerűen,
hogy a dolog még murisabb legyen.

Nézzék csak ezt:

a zűrzavarból előjön a megoldás.

A legmagasabb kupacok
ama oldalaknak felelnek meg,

amelyek gyakrabban kapcsolódnak
más oldalakhoz,

amelyekre több hivatkozás mutat,
mint másokra.

Itt világosan látszik,

mely weboldalakat
akarunk először megnézni.

Ismétlem,

a megoldás a véletlenen alapul.

Persze, azóta

a Google kifinomultabb
algoritmusokkal jött elő,

de már ez is csodaszép volt.

Mégis, ez csak

egyike a milliónyi problémának.

A digitális korszak eljöttével

egyre több feladatnál folyamodnak
matematikai elemzéshez,

s így a matematikusok munkája
az elmúlt időszakhoz képest

még inkább hasznossá válik.

Több száz munka közül
az első helyre rangsorolták

egy tanulmányban, amelyet a legjobb
és a legpocsékabb munkákról

a The Wall Street Journal
tett közzé 2009-ben.

A matematikusi

a világ legjobb állása.

Az alkalmazási területek miatt:

kommunikáció-elmélet,

információelmélet,

játékelmélet,

tömörített érzékelés,

gépi tanulás,

gráfelemzés,

harmonikus analízis.

És a sztochasztikus folyamatok,

a lineáris programozás

vagy a folyadékmodellezés miért ne?

E területeknek rengeteg
ipari alkalmazásuk van.

Nekik köszönhetően

a matematikában sok pénz van.

Ismerjük el, ha arról van szó,

hogyan lehet pénzt keresni a matekkal,

ebben messze az amerikaiak a világbajnokok

a jellemzően okos milliárdosaikkal
és nagyszerű óriási cégeikkel;

ezek végül a jó algoritmusokon alapulnak.

Mindezzel a szépséggel,
hasznossággal és gazdagsággal

a matematika ugye, hogy szexis?

Ám ne higgyék,

hogy a matematikai kutató
élete fenékig tejfel.

Tele van nehézséggel,

csalódottsággal,

küzdelemmel. hogy megértse a lényeget.

Hadd idézzem föl

matematikusi létem
egyik legdöbbenetesebb napját.

Jobban mondva,

egyik legdöbbenetesebb estéjét.

Akkoriban

a princetoni Institute for
Advanced Studyban dolgoztam,

amely sokáig Einstein otthona volt,

és kétségtelenül a világ matematikai
kutatásának szent helye.

Aznap este egy fogós
bizonyításon dolgoztam,

ami még tökéletlen volt.

A téma kapcsolatos volt

a plazma paradox
stabilitási tulajdonságával.

A plazma egy rakás elektronból áll.

E tökéletes világban

nincs összeütközés,

és nincs a stabilitást adó
megszokott súrlódás sem,

De ennek ellenére,

ha egy kissé megbolygatjuk
a plazma egyensúlyát,

kiderül, hogy az eredő elektromos pajzs

magától eltűnik,

vagy lefogy

valami rejtélyes súrlódóerő miatt.

Ezt a paradox hatást

Landau-csillapodásnak hívják;

ez az egyik legfontosabb jelenség
a plazmafizikában,

és matematikai elmélet révén fedezték föl.

De még hiányzott

a jelenség teljes matematikai magyarázata.

Clément Mouhot-val, volt diákommal
és munkatársammal,

még Párizsban

hónapokig dolgoztunk a bizonyításon.

Egyébként

korábban tévesen kikürtöltem,
hogy talán megoldottuk.

De az az igazság,

hogy a bizonyítás nem volt jó.

Dacára a több mint százoldalnyi
bonyolult matematikai fejtegetésnek

és egy csomó fölfedezésnek

és rengeteg számításnak,

a bizonyítás hibás volt.

Aznap este Princetonban

az érvelés láncolatában egy bizonyos lyuk
az őrületbe kergetett.

Mindent erőmet, tapasztalatomat
és cselemet beleadtam,

de semmi sem használt.

Éjjel 1, éjjel 2, éjjel 3 –

nem megy és nem megy.

Éjjel 4 felé csüggedtem bújtam ágyba.

Aztán pár óra múlva

arra ébredtem:

"Ideje iskolába vinni a gyerekeket!"

De mi ez?

Megszólalt bennem egy hang, esküszöm:

"Vidd a második kifejezést
a másik oldalra,

Fourier-transzformáld,
és invertáld L2-ben."

(Nevetés)

A manóba!

Így indult a megoldás!

Azt hittem,

hogy pihentem egyet,

de az agyam tovább dolgozott a feladaton.

Eközben nem gondolunk

a karrierünkre vagy a munkatársainkra,

csak folyik a teljes csata
a feladat és közöttünk.

Egyáltalán nem baj,

ha az ember a derekas munkájáért
elismerésben részesül.

Miután befejeztük a Landau-csillapodás
terjedelmes elemzését,

volt szerencsém

átvenni az áhított Fields-érmet

India elnökétől

Hyderabadban 2010. augusztus 19-én.

Ilyen megtiszteltetésről matematikusok
álmodni sem mernek;

e napot életem végéig sem felejtem el.

Mi jut eszünkbe

egy ilyen eseményen?

A büszkeség, ugye?

Meg a munkatársakat megillető hála,
akik ezt lehetővé tették.

S mivel ez közös kaland volt,

nemcsak a munkatársakkal kell megosztanom.

Hiszem, hogy mindenki értékelheti
a matematikai kutatás keltette borzongást,

és osztozhat abban a szenvedélyben
és gondolatokban, amelyek mögötte vannak.

Csapatom az Henri Poincaré Intézetben
együtt dolgozik partnereinkkel, és azokkal

a világ minden tájáról, akik nagyok
a matematikai gondolatok megosztásában.

Így létre tudunk hozni egy különleges
múzeumot a matematikáról.

Pár év múlva,

ha Párizsba visz az útjuk,

a pompás ropogós bagett
és macaron megkóstolása után

látogassanak el hozzánk
az Henri Poincaré Intézetbe,

és osszák meg velünk
a matematikáról szőtt álmot.

Köszönöm.

(Taps)