Por que as tampas dos bueiros são redondas? - Marc Chamberland

Veja a lição completa: http://ed.ted.com/lessons/why-are-manhole-covers-round-marc-chamberland

Por que a maioria das tampas de bueiro são redondas? Claro que isto facilita sua rolagem e sua colocação no lugar, bem encaixadas, sem alinhamento preferencial. Mas há outra razão, bem maior e determinante, que envolve uma propriedade característica dos círculos e outras formas. Marc Chamberland explica as curvas de largura constante e o teorema de Barbier.

Lição de Marc Chamberland, animação de Pew36 Animation Studios.

Por que a maioria
das tampas de bueiro é redonda?

É claro que tal forma facilita rolá-las
e encaixá-las no lugar, de qualquer jeito,

mas existe uma outra razão determinante

que envolve uma propriedade geométrica

que é típica dos círculos
e de outras formas.

Imagine um quadrado que separa
duas linhas paralelas.

Quando ele gira, as linhas são afastadas
e depois voltam a se aproximar.

Mas faça isso com um círculo

e as linhas permanecem separadas
pela mesma distância,

o diâmetro do círculo.

Diferentemente do quadrado,

o círculo é uma forma matemática
chamada de curva de largura constante.

Outra forma com esta propriedade
é o triângulo de Releaux.

Para criar um,
comece com um triângulo equilátero.

Em seguida, tome um dos vértices
como o centro de um círculo

que é tangente aos outros dois vértices.

Desenhe mais dois círculos do mesmo modo,
centrados nos outros dois vértices,

e lá está ele, no espaço correspondente
à interseção de tudo.

Uma vez que os triângulos de Reuleaux
podem girar entre linhas paralelas,

sem alterar a distância entre elas,

eles podem funcionar como rodas,
pelo uso de uma engenharia criativa.

Girando simultaneamente um deles

e rolando seu ponto médio
em trajetória quase circular,

seu perímetro traça um quadrado
com cantos arredondados,

permitindo que brocas triangulares
cavem buracos quadrados.

Qualquer polígono
com número ímpar de lados

pode ser usado para gerar
uma curva de largura constante

adotando o método aplicado anteriormente,

embora existam muitas outras curvas
que não são produzidas deste modo.

Por exemplo, se você rolar
qualquer curva de largura constante

em volta de outra,

será criada uma terceira.

Essa coleção de curvas pontudas
fascina os matemáticos.

Eles nos deram o teorema de Barbier

que afirma que o perímetro
de qualquer curva de largura constante,

não exclusivamente o círculo,
é igual a pi vezes o diâmetro.

Um outro terorema afirma

que se tivermos um conjunto
de curvas de largura constante

com a mesma largura,

então todas elas teriam o mesmo perímetro,

mas o trrângulo de Reuleaux
teria a menor área.

O círculo, que é efetivamente
um polígono de Reuleaux

com um número infinito de lados,
tem a maior área.

Em três dimensões, é possível construir
superfícies de largura constante,

como o tetraedro de Reuleaux,

formado ao tomar um tetraedro,

expandir uma esfera
a partir de cada vértice

até que tangencie os vértices opostos,

e descartar tudo,
exceto a região de intersecção.

Superfícies de largura constante

mantêm uma distância constante
entre dois planos paralelos.

Poderíamos jogar
muitos tetraedros de Reuleaux no chão,

e deslizar suavemente
numa prancha sobre eles

como se fossem bolas de gude.

Voltemos às tampas de bueiro.

A menor distância entre dois vértices,
numa tampa quadrada,

pode alinhar-se com a parte mais larga
do buraco e cair dentro dele.

Mas uma curva
com largura constante não cairá,

qualquer que seja sua orientação.

Geralmente são circulares,

Mas fique atento
e poderá encontrar uma tampa

que tem a forma
de um triângulo de Reuleaux.