Por que a maioria das tampas de bueiro é redonda?
É claro que tal forma facilita rolá-las e encaixá-las no lugar, de qualquer jeito,
mas existe uma outra razão determinante
que envolve uma propriedade geométrica
que é típica dos círculos e de outras formas.
Imagine um quadrado que separa duas linhas paralelas.
Quando ele gira, as linhas são afastadas e depois voltam a se aproximar.
Mas faça isso com um círculo
e as linhas permanecem separadas pela mesma distância,
o diâmetro do círculo.
Diferentemente do quadrado,
o círculo é uma forma matemática chamada de curva de largura constante.
Outra forma com esta propriedade é o triângulo de Releaux.
Para criar um, comece com um triângulo equilátero.
Em seguida, tome um dos vértices como o centro de um círculo
que é tangente aos outros dois vértices.
Desenhe mais dois círculos do mesmo modo, centrados nos outros dois vértices,
e lá está ele, no espaço correspondente à interseção de tudo.
Uma vez que os triângulos de Reuleaux podem girar entre linhas paralelas,
sem alterar a distância entre elas,
eles podem funcionar como rodas, pelo uso de uma engenharia criativa.
Girando simultaneamente um deles
e rolando seu ponto médio em trajetória quase circular,
seu perímetro traça um quadrado com cantos arredondados,
permitindo que brocas triangulares cavem buracos quadrados.
Qualquer polígono com número ímpar de lados
pode ser usado para gerar uma curva de largura constante
adotando o método aplicado anteriormente,
embora existam muitas outras curvas que não são produzidas deste modo.
Por exemplo, se você rolar qualquer curva de largura constante
em volta de outra,
será criada uma terceira.
Essa coleção de curvas pontudas fascina os matemáticos.
Eles nos deram o teorema de Barbier
que afirma que o perímetro de qualquer curva de largura constante,
não exclusivamente o círculo, é igual a pi vezes o diâmetro.
Um outro terorema afirma
que se tivermos um conjunto de curvas de largura constante
com a mesma largura,
então todas elas teriam o mesmo perímetro,
mas o trrângulo de Reuleaux teria a menor área.
O círculo, que é efetivamente um polígono de Reuleaux
com um número infinito de lados, tem a maior área.
Em três dimensões, é possível construir superfícies de largura constante,
como o tetraedro de Reuleaux,
formado ao tomar um tetraedro,
expandir uma esfera a partir de cada vértice
até que tangencie os vértices opostos,
e descartar tudo, exceto a região de intersecção.
Superfícies de largura constante
mantêm uma distância constante entre dois planos paralelos.
Poderíamos jogar muitos tetraedros de Reuleaux no chão,
e deslizar suavemente numa prancha sobre eles
como se fossem bolas de gude.
Voltemos às tampas de bueiro.
A menor distância entre dois vértices, numa tampa quadrada,
pode alinhar-se com a parte mais larga do buraco e cair dentro dele.
Mas uma curva com largura constante não cairá,
qualquer que seja sua orientação.
Geralmente são circulares,
Mas fique atento e poderá encontrar uma tampa
que tem a forma de um triângulo de Reuleaux.