맨홀뚜껑은 왜 동그랄까? - 마크 챔버랜드

전체 강의 보기: http://ed.ted.com/lessons/why-are-manhole-covers-round-marc-chamberland

왜 대부분의 맨홀뚜껑은 동그랄까요? 물론 뚜껑이 동그랗다면 굴리기도 쉽고 정리하기도 편하지요. 하지만 다른 흥미로운 이유가 있는데요, 바로 도형의 기하학적 특성 때문입니다. 이 영상에서 마크 챔버랜드는 정률도형과 바르비에 정리에 대해 설명합니다.

강의: Marc Chamberland, 애니메이션: Pew36 Animation Studios

대부분의 맨홀뚜껑은 왜 동그랄까요?

뚜껑이 동그랗다면
굴리기도 쉽고 정리도 편합니다.

하지만 그것보다 더
주목할만한 이유가 있습니다.

바로 원과 다른 도형들의
기하학적 속성입니다.

두 평행선을 분리하는
정사각형을 생각해 봅시다.

정사각형이 회전하면
두 선은 멀어졌다 가까워지죠.

하지만 원일 경우에는 어떨까요?

변함없이 같은 간격을 유지하게 됩니다.

원의 지름만큼 유지하면서 말이지요.

이처럼 사각형과는 다른 원의 특성으로

"정폭도형"이라는
개념이 만들어졌습니다.

"뢸로 삼각형" 역시 이러한
속성으로 만들어졌습니다.

뢸로 삼격형을 만들기 위해
정삼각형 두 개를 그립니다.

그리고 꼭지점 하나를 중심으로 나머지
두 꼭지점과 맞닿은 원을 그립니다.

다른 두 꼭지점을 중심으로 하는
두 개의 원을 같은 방식으로 그립니다.

그렇게 되면 모든 면이
겹치게 되는 부분이 생깁니다.

그렇게 만들어진
뢸로 삼각형은 두 평행선 사이를

간격의 차이가 없이
회전할 수 있게 됩니다.

상상력을 조금만 발휘해도 뢸로
삼각형을 바퀴로 만들 수도 있지요.

만약 뢸로 삼각형의 중심을
기준으로 원을 그리며 돌리면

꼭지점이 둥근 사각형이 만들어 집니다.

이 원리를 이용해 삼각형 모양의
드릴로 사각형의 구멍을 낼 수 있지요.

홀수 개의 변을 가진 다각형을 이용하면

앞에서 사용한 방법을 이용하여

정폭도형을 만들 수 있습니다.

이 방법 말고도 여러가지
다른 방법도 있습니다.

예를 들면, 정폭도형을
다른 정폭도형을 따라 돌리면

새로운 정폭도형도 만들 수 있지요.

이 정폭도형들은 수학자들을 매료시켰습니다.

수학자들은 이를 통해
"바르비에의 정리"를 만들어 냈습니다.

바르비에의 정리는
정폭도형의 어떤 둘레도

지름 x pi(파이)라는 사실입니다.

다른 법칙에 따르면
다양한 같은 너비를 가진

다양한 정폭도형이 있다고 했을 때,

그 도형의 둘레는 같다고 정의힙니다.

하지만 뢸로 삼각형의
넓이가 가장 작습니다.

원 또한 뢸로 다각형이라
할 수 있습니다.

무한개의 변을 가지고 있으며
면적이 가장 크지요.

삼차원에서는 우리는 같은 너비를
가진 표면을 만들 수 있습니다.

뢸로 사면체와 같은

사면체를 사용함으로써 말이죠.

각각의 꼭지점에서 구를 확장시켜
반대편 꼭지점에 접하는 구를 만듭니다.

그리고 겹치게 되는 부분을 제외한
다른 부분을 없애면 됩니다.

이렇게 만들어진 정률도형은

두 평행하는 선의 간격이
일정하게끔 합니다.

따라서 여러개의 뢸로
4면체를 바닥에 뿌리고

그 위에서 보드를 타도 구슬 위에서

미끄러지는 것처럼
부드럽게 탈 수 있습니다.

이제 다시 맨홀뚜껑으로 돌아가 봅시다.

사각형의 맨홀은 짧은 끝자리 부분이

더 넓은 부분과 접하게 되면
바로 구멍 아래로 떨어지게 됩니다.

하지만 정률도형의 맨홀뚜껑은
절대 구멍 아래로 떨어지지 않지요.

보통은 맨홀뚜껑이 동그랗지만
자세히 살펴보세요.

뢸로 삼각형 맨홀뚜껑을
찾을 수도 있으니까요.