สถิติ: ค่าเฉลี่ย

สถิติเชิงพรรณนา และแนวโน้มของศูนย์กลางเบื้องต้น. วิธีการวัดค่ากลางของข้อมูล: ค่าเฉลี่ย, มัธยฐาน และฐานนิยม

ยินดีต้อนรับสู่รายการวิชาสถิติครับ

มันคือสิ่งที่ผมอยากทำมาสักพักแล้ว

เอาล่ะ, ผมแค่อยากเข้าถึงเนื้อหา

และผมพยายามทำตัวอย่างให้มากที่สุด หวังว่า

จะให้คุณได้รู้สึกว่าสถิติมันเกี่ยวกับอะไร

ที่จริง, เพื่อเริ่มต้น หากคุณไม่คุ้น

กับสถิติ -- แม้ว่า, ผมคิดว่าหลายคน

น่าจะมีสัญชาตญาณบ้างว่าสถิติคืออะไร

และที่สุดแล้ว -- โดยทั่วไป มันก็คือ

การเข้าใจข้อมูล

และมันแบ่งเป็นประเภทได้กว้างๆ

มันมีอยู่ 3 ประเภทค

คุณมีแบบพรรณนา (descriptive)

สมมุติว่าคุณมีข้อมูลมากมาย แล้วคุณอยากบอกใครสักคน

เกี่ยวกับมันโดยไม่ได้บอกข้อมูลทั้งหมด

บางทีคุณอาจต้องการตัวเลขบ่งชี้ไม่กี่ตัว

ที่แทนข้อมูลทั้งหมดโดยไม่ต้อง

บอกข้อมูลทั้งหมดออกไป

นั่นคือสถิติเชิงพรรณนา

มันยังมีเชิงทำนาย (predictive)

ผมจะเริ่มพวกมันเข้าด้วยกันนะ

มันมีสถิติเชิงอนุมาน (inferential statistics)

นี่คือตอนที่คุณใช้ข้อมูล

เพื่อสรุปสิ่งต่างๆ

สมมุติว่าคุณสุ่มตัวอย่างข้อมูลจากประชากร --

และเราจะพูดถึงกลุ่มตัวอย่าง กับประชากร บ่อยๆ แต่

ผมว่าคุณคงพอเข้าใจว่ามันคืออะไร, จริงไหม?

ผมสำรวจคน 3 คนที่กำลังลงคะแนน

เลือกประธานาธิบดี, แน่นอนผมไม่ได้สำรวจประชากรทั้งหมด

ผมสำรวจแค่กลุ่มตัวอย่าง

แต่สิ่งที่สถิติเชิงอนุมานทำ ก็คือ ถ้าเรา

คิดเลขจากกลุ่มตัวอย่าง, บางทีเราสามารถอนุมาน

หรือสรุปเกี่ยวกับประชากรทั้งหมด

ทีนี้, เอาล่ะ, นั่นคือภาพกว้างของ

สถิติ

ลองเข้าไปดูเนื้อในกัน เราจะเริ่ม

ต้นด้วยเชิงพรรณนา

อย่างแรกคือว่า, ไม่รู้, ผมอยากทำ

หรือผมว่า คนส่วนใหญ่อยากทำ เวลาเขา

ได้ข้อมูลชุดใหญ่ แล้วมีคนบอกให้บรรยายมัน

บางที ผมควรเลือกตัวเลขขึ้นมา ที่

เป็นตัวแทนตัวเลขทั้งหมดในชุด

หรือตัวเลขที่แทน, ประมาณว่า, แนวโน้มของศูนย์กลาง

-- นี่คือคำที่คุณจะพบได้บ่อยในหนังสือสถิติ

แนวโน้มเข้าสู่ศูนย์กลางของชุดตัวเลข

นี่ยังเรียกว่า ค่าเฉลี่ย ได้ด้วย

และผมจะพูดเจาะจงกว่าที่ผม

พูดคำว่า "เฉลี่ย" โดยทั่วไป. เวลาผมพูดถึงมันในบริบทนี้

มันหมายความว่า ค่าเฉลี่ย เป็นตัวเลข

บอกเราถึงแนวโน้มเข้าสู่ศูนย์กลาง

หรือบางที คือตัวเลขที่เป็นตัวแทนของข้อมูล

และผมรู้ว่ามันฟังดูเป็นนามธรรม แต่

ลองทำตัวอย่างกันหน่อย

มันมีวิธีหลายอย่างที่คุณสามารถวัด

แนวโน้มเข้าสู่ศูนย์กลาง หรือค่าเฉลี่ยของเซตจำนวนได้

คุณอาจเคยเห็นมาก่อนแล้ว

พวกมันคือค่าเฉลี่ย

ที่จรริง, มันมีค่าเฉลี่ยหลายประเภท, แต่เราจะ

ใช้แค่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต และบางทีเราจะพูดถึง

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกสักวันหนึ่ง

มันมีค่าเฉลี่ย, ค่ามัธยฐาน และฐานนิยม

และถ้าพูดในแง่สถิติแล้ว, พวกนี้ทั้งหมดสามารถ

แทนชุดข้อมูล หรือแนวโน้มศูนย์กลางของประชากร

หรือแนวโน้มศูนย์กลางของกลุ่มตัวอย่างได้

และพวกมันรวมกันแล้ว -- พวกมันทั้งหมด

เป็นรูปของค่ากลางอย่างหนึ่ง

ผมว่าเวลาเราเห็นตัวอย่าง, เราคง

จะเข้าใจมากขึ้น

ถ้าพูดถึงในชีวิตประจำวัน, เวลาคนพูดถึงค่าเฉลี่ย, ผมว่า

คุณต้องเคยคำนวณค่าเฉลี่ยครั้งหนึ่งในชีวิตแล้ว, พวกมัน

มักเป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิต

โดยทั่วไป เวลามีคนบอกว่า "ลองหาค่าเฉลี่ย

ของเลขพวกนี้ดู" พวกเขามักคาดหวังให้คุณ, เขา

อยากให้คุณหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

เขาไม่อยากให้คุณหาค่ามัธยฐานหรือฐานนิยม

แต่ก่อนที่เราไปต่อ, ลองหาก่อนว่า

พวกนี้คืออะไร

ขอผมตั้งชุดตัวเลขขึ้นมาก่อนนะ

สมมุติว่าผมมีเลข 1

สมมุติว่าผมีเลข 1 อีกตัว, 2, 3

สมมุติว่าผมมี 4

ดีแล้ว

เราอยากได้ตัวอย่างง่ายๆ

ค่าเฉลี่ย หรือค่าเฉลี่ยเลขคณิต อาจเป็นสิ่งที่คุณ

คุ้นเคยที่สุดเวลาคนเขาพูดถึงค่าเฉลี่ย

มันก็คือ -- คุณบวกเลขทั้งหมดเข้า แล้วคุณ

หารด้วยจำนวนตัวเลขที่มี

ในกรณีนี้, มันก็คือ 1 บวก 1 บวก 2 บวก 3 บวก 4

แล้วคุณก็หารด้วย 1, 2, 3,

4, 5

ได้อะไร?

1 บวก 1 เป็น 2

2 บวก 2 เป็น 4

4 บวก 3 เป็น 7

7 บวก 4 เป็น 22

นี่จึงเท่ากับ 11/5

นั่นคืออะไร?

มันคือ 2 1/5 หรือเปล่า?

มันเท่ากับ 2.2

แล้วมึคนบอกว่า "เฮ้, รู้ไหม,

นี่คือตัวแทนที่ดีของ

ชุดข้อมูลนี้เลย

นั่นคือตัวเลขที่เลขพวกนี้ทุกตัวอยู่ใกล้

จะว่างั้นก็ได้" หรือ 2.2 แทนแนวโน้ม

ศูนย์กลางของชุดข้อมูลนี้

พูดโดยทั่วไปแล้ว, นั่นคือค่าเฉลี่ย

แต่ถ้าเราอาจระบุให้ชัด, นี่

คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของชุดตัวเลขนี้

แล้วคุณเห็นว่ามันเป็นตัวแทนข้อมูล

ถ้าผมไม่อยากให้ชุดตัวเลข 5 ตัวนี้, ผม

ก็บอกว่า "อืม, เธอก็รู้, ฉันมีชุดตัวเลข 5 ตัว และ

มันมีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 2.2" นี่บอกคุณนิดหน่อยว่า

อย่างน้อย, คุณก็รู้, ว่าตัวเลขพวกนี้อยู่แถวไหน

เราจะพูดถึงต่อไปว่า คุณจะรู้ว่า

เลขพวกนั้นห่าาจากค่าเฉลี่ยแค่ไหนในวิดีโอต่อไป

นั่นคือวิธีวัดอย่างหนึ่ง

วิธีวัดอีกอย่างหนึ่ง, แทนที่จะเฉลี่ยแบบนี้, คุณ

สามารถหาค่าเฉลี่ยได้ด้วยการเรียงลำดับเลข,

ซึ่งผมเรียงไว้แล้ว

งั้นลองเขียนมันตามลำดับอีกครั้งหนึ่ง

1, 1, 2, 3, 4

แล้วคุณเอาเลขตรงกลางมา

ลองดู, มันมีเลข 1, 2, 3, 4, 5 ตัว

เลขตัวกลางจะอยู่ตรงนี้, จริงไหม?

เลขตรงกลางคือ 2

มันมีเลขสองตัวมากกว่า 2 และมี

เลขสองตัวน้อยกว่า 2

และนี่เรียกว่ามัธยฐาน (median)

มันใช้การคำนวณน้อยมาก

คุณแค่ต้องเรียงเลขแค่นั้น

แล้วคุณหาเลขอะไรก็ตาม ที่มีจำนวนตัวเลขซึ่งมากกว่า

เท่ากับจำนวนตัวเลขซึ่งน้อยกว่า

ดังนั้นมัธยฐานของเลขชุดนี้คือ 2

และคุณเห็นว่า, ผมหมายถึงว่า, มัน

ใกล้กับค่าเฉลี่ยมาก

และมันไม่มีคำตอบที่ถูกต้อง

ไม่มีค่าเฉลี่ยไหนดีกว่าอีกอัน

พวกนั้นเป็แค่วิธีวัดค่ากลางแบบต่างๆ

ตรงนี้มันคือมัธยฐาน

และผมรู้ว่าคุณอาจคิดว่า "อืม, มันก็ง่าย

ถ้าเรามีเลข 5 ตัว

แต่ถ้าเรามีเลข 6 ตัวล่ะ?" ถ้าเกิดมันเป็นแบบนี้?

ถ้าเกิดนี่คือชุดตัวเลขของเราล่ะ?

1, 1, 2, 3 ลองเพิ่ม 4 เข้าไปอีกตัว

ทีนี้, มันไม่มีเลขตรงกลาง, จริงไหม?

ผมหมายความว่า 2 ไม่มีอยู่ตรงกลาง เพราะมีเลข 2 ตัวที่น้อยกว่า

และมีเลข 3 ตัวที่มากกว่า

แล้ว 3 ก็ไม่ใช่เลขกลาง เพราะมันมีเลข 3 ตัวที่

มากกว่า -- ขอโทษที มันมี 2 ตัวที่มากกว่า

และ 3 ตัวที่น้อยกว่า

มันจึงไม่มีเลขตรงกลาง

เมื่อคุณชุดที่มีตัวเลขเป็นจำนวนคู่ และมีคนบอก

ให้คุณหาค่ามัธยฐาน, สิ่งที่คุณทำคือคุณหาเลขตรงกลาง

สองตัว แล้วคุณหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต

ของเลขสองตัวนั้น

ในกรณีนี้ เซตนนี้, มัธยฐานจะเป็น 2.5

ใช้ได้

ลองเก็บนี้ไว้ก่อน เพราะผมอยากเปรียบเทียบ

ค่ามัธยฐาน ค่าเฉลี่ย และฐานนิยม

ของเลขชุดเดียวกัน

แต่มันเป็นเรื่องรู้ไว้ก็ดี เพราะบางครั้ง

มันก็ทำใหัสับสนได้

เจ้านิยามพวกนี้

นี่คือเครื่องมือทางคณิตศาสตร์

ที่ช่วยเรามองตัวเลขพวกนี้

มันไม่ใช่ว่า วันหนึ่งมีคนเห็นสูตรพวกนี้

บนดวงอาทิตย์ แล้วบอกว่า "โอ้, จักรวาล

บอกเราว่าค่าเฉลี่ยควรคิดแบบนี้"

พวกนี้คือสิ่งที่มนุษย์สร้างขึ้นเพื่อเข้าใจ

ข้อมูลขนาดใหญ่

นี่ไม่ใช่ข้อมูลขนาดใหญ่, แต่แทนที่จะเป็นเลขห้าตัว, ถ้า

เรามีตัวเลข 5 ล้านตัว, คุณคงนึกออกว่าคุณคง

ไม่อยากคิดถึงเลขไปทีละตัวแน่ๆ

เอาล่ะ, ก่อนที่ผมจะพูดมากไป, ขอผมบอกคุณก่อน

ว่าฐานนิยมคืออะไร

ฐานนิยม ที่จริงแล้ว, เป็นอันที่ผมว่า

คนส่วนใหญ่มักลืม หรือไม่เคยเรียน หรือเวลาเขาเจอมัน

ในข้อสอบ, มันมักทำให้งง, คนพวกนี้บอกว่า "โอ้,

มันฟังดูยากมาก" แต่ในแง่หนึ่ง, มันเป็นตัววัด

แนวโน้มของศูนย์กลาง หรือค่ากลางที่ง่ายที่สุดอันหนึ่ง

ฐานนิยมก็แค่ตัวเลขที่ปรากฏมากที่สุดในชุด

ในตัวอย่างนี้, มันมี 1 สองตัวและอย่างอื่นอย่างละ

หนึ่งตัว, จริงไหม?

ฐานนิยมตรงนี้จึงเป็น 1

ฐานนิยมคือเลขที่มีมากที่สุด

แล้วคุณอาจถามว่า "โว้ เฮ้ ซาล,

แล้วถ้านี่คือชุดข้อมูลเราล่ะ?

1, 1, 2, 3, 4, 4" ตรงนี้ผมมี 1 สองตัว และผมมี 4 สองตัว

และนี่คือที่ที่ฐานนิยมเริ่มไม่ตรงไปตรงมา เพราะ

ตัวใดตัวหนึ่งล้วนเป็นฐานนิยมได้

คุณอาจบอกว่าฐานนิยมของข้อมูลนี้ คือ 1 หรือ

ฐานนิยมของอันนี้คือ 4 แล้วมันก็เริ่มกำกวม

และคุณอาจถาม

คนที่ถามคุณอีกทีเพื่อความชัดเจน

ส่วนใหญ่ในข้อสอบ เวลาเขาถามคุณ, มันมัก

ไม่มีความกำกวมอย่างนี้

มันจะมีตัวเลขในชุดที่ปรากฎบ่อยที่สุดเสมอ

ทีนี้, คุณอาจสงสัยว่า, โอ้, คุณก็รู้, ทำไมอันเดียว

ถึงไม่ดีพอ?

คุณก็รู้ ทำไมเราถึงเรียนค่าเฉลี่ย, ทำไมเราไม่

ใช่แต่ค่าเฉลี่ย?

หรือทำไมเราถึงไม่ใช่ค่าเฉลี่ยเลขคณิตตลอด?

แล้วมัธยฐานกับฐานนิยมมีดีอะไร?

ทีนี้, ผมจะพยายามยกตัวอย่าง แล้วให้คุณดูว่า

มันช่วยให้คุณเห็นอะไรบ้าง

แล้วคุณค่อยคิดต่อไป

สมมุติว่า ผมมีชุดตัวเลข

3, 3, 3, 3, 3 และ, ไม่รู้สิ 100

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตตรงนี้คือะไร?

ผมมี 1, 2, 3, 4, 5 มี 3 ทั้งหมด 5 ตัว, กับ 100

นี่ก็คือ 115 หารด้วย 6, จริงไหม?

ผมมีเลข 1, 2, 3, 4, 5, 6 ตัว

115 ก็แค่ผลบวกทั้งหมดของมัน

นั่นจึงเท่ากับ -- 6 หาร 115 ได้กี่ครั้ง?

6 ไปหารมันได้ 1 ครั้ง

1 คูณ 6 ได้ 6

55 หารได้ 9 ครั้ง

9 คูณ 6 เป็น 54

มันจึงเท่ากับ 19 1/6

ใช้ได้

ผมแค่บวกเลขทั้งหมด แล้วหารด้วย

จำนวนที่มี

แต่คำถามของผมคือว่า, นี่คือตัวแทน

ของข้อมูลที่ดีหรือเปล่า?

ผมหมายความว่า, ผมมีเลข 3 เต็มไปหมด แล้วผมมี 100

ในทันใด, เรากำลังบอกว่าแนวโน้มสู่ศูนย์กลาง คือ 19 1/6

ผมหมายความว่า 19 1/6 ไม่ได้บ่งชี้

ถึงชุดตัวเลขเท่าไหร่

ผมหมายความว่า, บางที, มันขึ้นอยู่กับการนำไปใช้, แต่มันดู

เลยออกไป, จริงไหม?

ผมหมายถึงว่า, สัญชาตญาณผมบอกว่า แนวโน้มของศูนย์กลาง

ควรอยู่ใกล้ 3 เพราะมันมี 3 เป็นจำนวนมาก

แล้วมัธยฐานบอกเราว่าอะไร?

ผมเขียนเลขนี้เป็นลำดับอยู่แล้ว, จริงไหม?

ถ้าผมให้เลขคุณมาเป็นลำดับ, คุณอยากใส่มัน

ตามลำดับ แล้วคุณถามว่าเลขตรงกลางคืออะไร?

ลองดู, มีเลขตรงกลางสองตัว, เนื่องจาก

เป็นจำนวนคู่, ได้ 3 กับ 3

ถ้าผมหาค่าเฉลี่ยของ 3 กับ 3 -- หรือผมควร

ใช้คำให้เจาะจงกว่านี้

ถ้าผมหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ 3 กับ 3, ผมจะได้ 3

นี่คือวิธีการวัดแนวโน้ม

ของศูนย์กลางหรือค่าเฉลี่ยชุดตัวเลขที่ดีกว่า, จริงไหม?

ที่สุดแล้ว, สิ่งที่มันทำ เวลาหามัธยฐาน, คือมันไม่ได้

ผลกระทบจากเลขที่มีค่ามาก

ซึ่งต่างจากตัวอื่นอยู่มาก

ในสถิติ เราเรียกมันว่า ค่าผิดปกติ (outlier)

ตัวเลขที่, คุณก็รู้, ถ้าคุณพูดถึงค่าเฉลี่ย

ราคาบ้าน, บางทีบ้านทุกหลังในเมืองราคา $100,000 แล้ว

มันมีบ้านหลังหนึ่งราคา $1 ล้านล้าน

แล้วถ้ามีคนถามคุณว่าราคาบ้านโดยเฉลี่ยเป็นเท่าไหร่, ผม

ไม่รู้สิ, $1 ล้านเหรียญ, คุณอาจเข้าใจ

ภาพของเมืองนั้นผิดไป

แต่มัธยฐานของราคาบ้านอาจเป็น $100,000 แล้วคุณ

ก็เข้าใจได้ดีขึ้นว่า ราคาบ้านในเมืองเป็นอย่างไรกันแน่

เช่นเดียวกัน, ค่ามัธยฐานนี่, ช่วยให้คุณเข้าใจ

ว่าตัวเลขในเซตเป็นอย่างไร

เพราะค่าเฉลี่ยเลขคณิตนั้นบิดเบี้ยวได้, จากสิ่ง

ที่เขาเรียกกันว่า ค่าผิดปกติ

และการระบุค่าผิดปกตินี้, มันเป็น

หนึ่งในเรื่องที่นักสถิติจะบอกว่า, อืม,

เห็นแล้วก็จะรู้เอง

มันไม่มีนิยามชัดเจน แต่มันมัก

จะเป็นตัวเลขที่โดดออกมา และบางครั้ง

มันมาจาก, คุณก็รู้, ความผิดพลาดจากกรวัดหรืออะไรพวกนั้น

แล้วสุดท้าย, ค่าฐานนิยม

เลขที่มีมากที่สุดในชุดนี้คืออะไร?

มันมี 3 ห้าตัว, แล้วก็มี 100

ดังนั้นเลขที่ปรากฏมากสุด, เหมือนเดิม, มันคือ 3

ในกรรีนี้, เวลาคุณมีค่าผิดปกติ, มัธยฐานกับ

ฐานนิยมมักจะเป็น, คุณก็รู้, บางทีมัน

ช่วยบอกนิดหน่อยว่า

ตัวนี้เหล่านี้แทนอะไร

บางทีนี่อาจเป็นความผิดพลาดจากการวัด

แต่ผมไม่รู้, เรายังไม่รู้

ว่าพวกมันแทนอะไร

ถ้านี่คือราคาบ้าน, ผมอาจบอกว่า พวกนี้

เป็นตัววัดว่าราคาบ้านหลังหนึ่ง

ในพื้นที่นั้นราคาเท่าไหร่

แต่ถ้านี่เป็นอย่างอื่น, ถ้านี่เป็นคะแนนสอบ,

บางที, คุณก็รู้, บางทีมีเด็กคนหนึ่งในห้อง --

คนหนึ่งใน 6 คน, ทำได้ดีมาก และคนที่เหลือ

ไม่ได้เรียนเลย

นี่เป็นตัวบอก, ว่านักเรียน

ในชั้นทำได้ดีแค่ไหนโดยเฉลี่ย

เอาล่ะ, ผมพูดจบแล้ว

และผมแนะนำให้คุณลองเล่นกับตัวเลขเยอะๆ แล้ว

คิดตามหลักการด้วยตัวเอง

ในวิดีโอหน้า, เราจะมาสำรวจสถิติ

แบบพรรรณนากันต่อ

แทนที่จะพูดถึงแนวโน้มสู่ศูนย์กลาง, เราะจะพูด

ถึงว่า ข้อมูลกระจายตัวห่างจากแนวโน้ม

ของศูนย์กลางแค่ไหน

แล้วพบกันใหม่ในวิดีโอหน้าครับ