Les maths ont-elles été découvertes ou inventées ? - Jeff Dekofsky

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Les maths existeraient-elles si les gens n'existaient pas ? Avons-nous créé les concepts mathématiques pour comprendre le monde qui nous entoure, ou bien les maths sont-elles la langue maternelle de l'univers lui-même ? Dekorfsky retrace pour nous les arguments les plus connus sur cette ancienne question débattue avec tant de vigueur.

Leçon par Jeff Dekofsky. Animation : The Tremendousness Collective.

Les maths existeraient-elles
si les gens n'existaient pas ?

Depuis la nuit des temps,
l'humanité a débattu intensément

la question de savoir si les maths
ont été découvertes ou inventées.

Avons-nous créé des concepts mathématiques

pour nous aider à appréhender
l'univers qui nous entoure ?

Ou les maths sont-elles
la langue maternelle de l'Univers,

qui existe que nous découvrions
ses vérités ou pas ?

Les nombres, les polygones,
et les équations sont-ils bien réels ?

Ou bien sont-ils
la simple représentation immatérielle

de certains idéaux théoriques ?

La réalité indépendante des maths
a des défenseurs anciens.

Les Pythagoriciens de la Grèce
du Vème siècle croyaient

que les nombres étaient à la fois
des entités vivantes

et des principes universels.

Ils ont appelé le chiffre 1 « la monade »,

le générateur de tous les autres nombres,

et la source de toute création.

Les nombres étaient
des agent actifs dans la nature.

Platon a argumenté
que les concepts mathématiques

étaient des entités concrètes
aussi réelles que l'univers,

quel que soit
notre compréhension du sujet.

Euclide, le père de la géométrie,
croyait que la nature elle-même

était la manifestation physique
des lois mathématiques.

D'autres pensent que si un nombre
peut exister physiquement ou pas,

une phrase mathématique
ne peut jamais exister.

Leur vraie valeur réside dans les règles
que les hommes ont créées.

Les maths seraient donc
un exercice logique inventé,

sans existence propre
en dehors de la conscience humaine,

un langage de relations abstraites

fondées sur des modèles
décelés par l'esprit.

Celui-ci est en effet construit
pour inventer, à partir de ces modèles,

un ordre utile mais artificiel
à partir du chaos.

Un des défenseurs de ce type d'idées
est Leopold Kronecker,

un professeur de mathématiques allemand
du XIXème siècle.

Il a résumé sa conviction
dans une déclaration célèbre :

« Dieu a créé les nombres naturels.
Tous le reste est l'oeuvre de l'homme. »

Pendant la vie
du mathématicien David Hilbert,

la tendance était
de faire des mathématiques

une construction logique.

Hilbert a tenté d'axiomatiser
toutes les mathématiques,

à l'image de ce qu'Euclide
avait fait avec la géométrie.

Tout comme pour ses pairs
qui ont tenté ça,

pour lui, les maths étaient un jeu
profondément philosophique,

mais juste un jeu.

Henri Poincaré, un des pères
de la géométrie non-euclidienne,

croyait que l'existence même
de la géométrie non-euclidienne,

qui s'intéresse aux surfaces non plates

des courbes hyperboliques
ou elliptiques,

prouvait que la géométrie euclidienne,

cette bonne vieille géométrie
des surfaces planes,

n'était pas une vérité universelle,

mais était un résultat de l'usage
d'un groupe particulier de règles.

En 1960, le Prix Nobel de Physique
Eugène Wigner, a inventé l'expression :

« la déraisonnable efficacité
des mathématiques ».

Il a contribué à renforcer l'idée
que les mathématiques existent,

et ont été découvertes par l'homme.

Wigner a montré
que de nombreuses théories mathématiques,

développées ad nihilo,

souvent sans lien
avec un phénomène physique,

se sont révélées, des dizaines,
voire des siècles plus tard,

le cadre indispensable pour expliquer

comment l'univers fonctionne.

Par exemple, la théorie des nombres,

développée par le mathématicien anglais
Gottfried Hardy.

Hardy lui-même se gaussait
de l'inutilité de son travail

pour décrire des phénomènes physiques.

Cette théorie a contribué
à l'établissement de la cryptographie.

Un autre pan
de ses mathématiques théoriques,

connu aujourd'hui comme
la loi Hardy-Weinberg en génétique,

a reçu le Prix Nobel.

Fibonacci a découvert la suite
qui porte son nom par hasard,

en observant la croissance
d'une population idéale de lapins.

L'homme a ensuite trouvé cette séquence
partout dans la nature,

dans les graines de tournesol,
le nombre de pétales des fleurs,

la structure des ananas,

même dans les bronches dans les poumons.

Il y a aussi l'oeuvre non-euclidienne
de Bernhard Riemann dans les années 1850,

utilisée par Einstein pour son modèle
de relativité générale,

un siècle plus tard.

Un saut encore plus grand :

la théorie des nœuds,
développée vers 1771

pour décrire la géométrie de position,

était utilisée
à la fin du XXème siècle

pour expliquer
comment l'ADN se dénoue

pendant le processus de réplication.

La théorie des nœuds
pourrait même apporter

des explications clés
pour la théorie des cordes.

Certains des mathématiciens
et scientifiques les plus influents

de l'histoire de l'humanité
s'y sont intéressés aussi,

souvent de manière surprenante.

Les mathématiques sont-elles
une invention ou une découverte ?

Une construction artificielle
ou une vérité universelle ?

Un produit de l'homme,
ou une création naturelle, voire divine ?

Ces questions sont si profondes
que le débat devient vite spirituel.

La réponse peut dépendre
du concept spécifique étudié.

Elle peut aussi prendre
l'apparence d'un kōan zen :

S'il y a un certain nombre d'arbres
dans la forêt,

mais que personne n'est là
pour les compter,

ce nombre existe-t-il ?