TYTUŁ: Podstawy Trygonometrii II

One of the most popular Khan Academy videos, Basic Trigonometry doesn't have any subtitles - help translate it into as many languages possible!

Zróbmy mnóstwo przykładów, aby mieć pewność, że rozumiemy

dobrze tę funkcję trygonometryczną.

Skonstruujmy nieco trójkątów prostokątnych.

Skonstruujmy nieco trójkątów prostokątnych; chcę, aby jasny był sposób, jaki zdefiniowałem

dotychczas, będzie on działał jedynie w trójkątach prostokątnych, więc jeżeli próbujemy znaleźć

funcje trygonometryczne kątów nie będących kątami trójkątów prostokątnych, zobaczymy, że

musimy skonstrułować trójkąty prostokątne, ale teraz skupmy się jedynie na trójkątach prostokątnych.

Powiedzmy, że mamy trójkąt, w którym ta długość wynosi siedem

i powiedzmy, że długość tego boku wynosi cztery.

Zauważmy, czym będzie przeciwprostokątna tutaj. Wiemy, że

— nazwijmy przeciwprostokątną „h” —

wiemy, że h do kwadratu jest równe 7 do kwadratu dodać 7 do kwadratu,

wiemy z twierdzenia Pitagorasa,

że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy

sumie kwadratów

pozostałych dwóch boków. 8 do kwadratu jest równe 7 do kwadratu dodać 4 do kwadratu.

Jest to równe 49

49 + 16,

49 + 10 wynosi 59, dodać 6 wynosi

65. A więc h podniesione do kwadratu

napiszmy: h do kwadratu

— to inny odcień żółtego — a więc h do kwadratu jest równe

65. Czy zrobiłem to porpawnie? 49 dodać 10 wynosi 59, dodać jeszcze 6

wynosi 65; możemy powiedzieć, że jest równe h jeżeli wyciągniemy pierwiastek kwadratowy

pierwiastek kwadratowy

pierwiastek kwadratowy z 65. I naprawdę nie musimy tego wcale upraszczać

to jest 13

to to samo co 13 razy 5, obydwie nie są kwadratami

oraz obydwie są pierwsze, więc nie można uprościć zapisu bardziej.

Więc jest to równe pierwiastkowi kwadratowemu

Teraz znajdźmy funkcje trygonometryczne tego oto kąta. Nazwijmy ten kąt theta.

Zawsze kiedy to robicie

możecie zanotować — a przynajmniej u mnie to działa —

„soh cah toa”.

soh...

...soh cah toa. Mam niejasne wspomnienia

mojego

nauczyciela trygonometrii, być może przeczytałem to w jakiejś książce, nie wiem — jakaś

jakaś indiańska księżniczka nazywana „soh cah toa” lub jakoś tak, ale to bardzo przydatne

skróty pamięciowe, więc zastosujmy „soh cah toa”. Znajdźmy

powiedzmy, że chcemy znaleźć cosinus. Chcemy znaleźć cosinus naszego kąta.

chcemy znaleźć cosinus naszego kąta, mówimy: „soh cah toa!”

Więc „cah”. „Cah” mówi nam, co zrobić z cosinusem,

część „cah” mówi nam,

że cosinus jest równy stosunkowi przyprostokątnej przyległej do kąta do przeciwprostokątnej. [ang. adjacent, hypotenuse — stąd cah]

Cosinus jest równy stosunkowi przyprostokątnej przyległej do kąta

Spójrzmy na kąt theta. Którym bokiem jest przyprostokątna przyległa?

Wiemy, że przeciwprostokątna

Wiemy, że przeciwprostokątna jest tutaj, z tej strony

więc to nie może być ten bok. Jedynym innym bokiem, który jest przyległy do kąta i który

nie jest przeciwprostokątną, jest ten o długości 4.

A więc przyprostokątna przyległa jest tutaj,

jest dokładnie obok kąta, jest jednym z boków tworzących kąt.

Jest równa 4

Wiemy już, że przeciwprostokątna jest pierwiastkiem kwadratowym z 65, więc cosinus wynosi 4

podzielone przez

Czasem potrzebne jest uproszczenie mianowinika, co oznacza, że

w mianowniku nie powinna znaleźć się liczba niewymierna, jak pierwiastek z 65.

Jeśli jest taka konieczność — jeżeli chcemy przekształcić wyrażenie

usuwając niewymierność z mianownika, można pomnożyć licznik i mianownik

przez pierwiastek kwadratowy z 65.

To oczywiście nie zmieni wartości, ponieważ mnożymy wyrażenie przez liczbę podzieloną przez siebie samą, więc

w istocie mnożymy przez 1. To nie zmieni wartości, ale pozbywamy się

niewymierności z mianownika. Licznik przyjmie postać

4 razy pierwiastek z 65,

a mianownik pierwiastek z 65 razy pierwiastek z 65, czyli po prostu 65.

Nie pozbyliśmy się liczby niewymiernej, cały czas tu jest, ale teraz w liczniku.

Zajmijmy się teraz innymi funkcjami trygonometrycznymi,

a przynajmniej innymi podstawowymi funkcjami trygonometrycznymi. Nauczymy się w przyszłości wielu z nich,

ale one wszystkie pochodzą z nich,

więc pomyślmy, czym jest znak theta. Jeszcze raz wróćmy do „soh cah toa”

„soh” mówi, jak uzyskać sinus. Sinus to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej. [ang. opposite, hypotensue — „soh”]

Sinus jest równy

stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej.

Który bok jest przyprostokątną przeciwległą dla tego kąta?

Po prostu patrzymy naprzeciwko, na co otwiera się kąt, jest on naprzeciwko boku o długości 7

a więc przyprostokątną przeciwległą jest bok długości 7.

Właśnie tutaj — to jest przyprostokątna przeciwległa,

a następnie

przeciwprostokątna, to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej. Przeciwprostokątna ma długość

i ponownie, jeśli chcielibyśmy usunąć niewymierność z mianownika, moglibyśmy pomnożyć wartość pierwiastek z 65

podzielony przez pierwiastek z 65

i w licznikiu otrzymamy wtedy siedem pierwiastków z 65, a w mianowniku po prostu

ponownie 65.

Teraz zajmijmy się tangensem!

Zajmijmy się tangensem.

Jeżeli mielibyśmy obliczyć tangens

tangens kąta theta,

wracamy ponownie do soh cah

toa, fragment toa mówi nam, jak uzyskać tangens

mówi on nam

mówi nam, że tangens

jest równy stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do przyległej. Przeciwległej

do

przyprostokątnej przeciwległej do przyległej

więc dla tego kąta

wiemy już, że przyprostokątna przeciwległa to bok o długości 7, kąt jest narzeciw boku

o długości 7

więc to bok o długości 7

ten o długości 4 jest przyległy

bok o długości 4 jest przyległy, więc przyprostokątna przyległa to bok długości 4

a więc jest to 7

i zakończyliśmy

do przeciwprostokątnej.

dodać 16,

pierwiastek kwadratowy z 65

pierwiastek kwadratowy z 65.

podzielone przez 4

podzielone przez długość przeciwprostokątnej.

przez... który bok jest przyległy?

z 65.

z obydwu stron