验证直觉：生日问题 - David Knuffke

观看完整视频： http://ed.ted.com/lessons/check-your-intuition-the-birthday-problem-david-knuffke

设想有一组人，当人数达到多少时组内有两人生日相同的概率会高于50%？答案的人数可能比你想象的要低很多。David Knuffke 通过生日问题向我们解释了我们的直觉并不善于应对概率问题。

课程讲解：David Knuffke，动画制作：TED-Ed。

设想有一组人。

当人数达到多少时，

其中两人生日相同的概率

会超过50%？

假设这人群中没有双胞胎，

所有人的生日概率都相等，

并且排除掉闰年的存在。

花一点时间想想。

所需要的人数其实是相当少的。

若一组有23个人，

那么两个人有相同生日的概率是50.73%。

但一年有365天这么多天，

为什么只需要这么少的人

就可以使其中两人生日相同？

为什么我们的直觉是如此错误的？

为了找到答案，

让我们看看数学家

是如何计算生日相同的概率的。

我们可以使用组合数学的分析方法，

它用来计算不同组合的概率。

首先我们需要转换问题，

直接计算生日相同的概率是很困难的，

因为二人相同的生日可能是在任一天。

相反，计算每个人生日不同的概率是更简单的。

这对于问题有什么帮助呢？

一组人中，要么有两人生日相同，要么没有，

所以这两种情况的概率

相加必然等于100%

这意味着我们可以通过

将无相同生日的概率从100%中减去
而得到有相同生日的概率。

让我们先考虑简单情况。

先从只有一对人拥有不同生日开始。

假定对象A的生日是某天，

那么对象B的生日就是其余364天之一。

对象A和B或是任何两人生日不同的概率就是

364/365，

大约是99.7%，非常高的概率。

我们再引入对象C。

她和其他人生日都不同的概率

是363/365，

因为已经有两个日期被对象A和B占用。

对象D不与他人生日相同的概率是362/365，

以此类推，到对象W是概率为343/365。

将这些数字相乘，

就会得到没有人生日相同的概率。

结果是0.4927，

所以23人当中，大家生日都不同的概率是49.27%。

再用100%减去这个数值，就得到50.73%，

这就是至少有两个人生日相同的概率，

已经超过了50%。

在人数如此少的小组中出现高概率，

其关键在于可能的组合数量巨大。

随着人数增加，可能出现的组合数量会快速增加。

5人当中就有10种不同的组合方式。

五个人的任何一人都可以和其他四人构成组合。

其中一半是重复计算，

因为对象A+对象B的组合与对象B+对象A相同，

所以我们将数字除以2。

相同的道理，

10个人当中就会出现45对组合，

23人当中会有253对组合。

组合的数量成倍增加，

即以小组人数的基数的成比例增长。

不幸的是，我们的大脑非常不擅长

直接处理非线性函数。

所以23人就有253种配对组合看上去是不可能的。

一旦明白了这个道理，生日问题就变得合理了。

253对组合中的人都能找到生日相同的另一半。

同样的，在70个人构成的小组中，

组合数量能达到2415个，

两个人拥有相同生日的概率超过了99.9%。

生日问题是一个很好的例子

展示出数学可以解释看起来不可能的事情，

例如同一个人中两次彩票，

不是几乎不可能的。

有时巧合并没有看上去那么巧。