1
00:00:10,048 --> 00:00:11,933
设想有一组人。

2
00:00:11,933 --> 00:00:14,304
当人数达到多少时，

3
00:00:14,304 --> 00:00:18,778
其中两人生日相同的概率

4
00:00:18,778 --> 00:00:21,218
会超过50%？

5
00:00:21,218 --> 00:00:24,187
假设这人群中没有双胞胎，

6
00:00:24,187 --> 00:00:26,748
所有人的生日概率都相等，

7
00:00:26,748 --> 00:00:29,977
并且排除掉闰年的存在。

8
00:00:29,977 --> 00:00:33,049
花一点时间想想。

9
00:00:33,049 --> 00:00:35,908
所需要的人数其实是相当少的。

10
00:00:35,908 --> 00:00:37,708
若一组有23个人，

11
00:00:37,708 --> 00:00:44,669
那么两个人有相同生日的概率是50.73%。

12
00:00:44,669 --> 00:00:47,239
但一年有365天这么多天，

13
00:00:47,239 --> 00:00:50,489
为什么只需要这么少的人

14
00:00:50,489 --> 00:00:53,700
就可以使其中两人生日相同？

15
00:00:53,700 --> 00:00:56,526
为什么我们的直觉是如此错误的？

16
00:00:58,156 --> 00:00:59,498
为了找到答案，

17
00:00:59,498 --> 00:01:01,389
让我们看看数学家

18
00:01:01,389 --> 00:01:04,348
是如何计算生日相同的概率的。

19
00:01:05,218 --> 00:01:09,110
我们可以使用组合数学的分析方法，

20
00:01:09,110 --> 00:01:12,719
它用来计算不同组合的概率。

21
00:01:14,419 --> 00:01:16,950
首先我们需要转换问题，

22
00:01:16,950 --> 00:01:20,670
直接计算生日相同的概率是很困难的，

23
00:01:20,670 --> 00:01:24,289
因为二人相同的生日可能是在任一天。

24
00:01:25,229 --> 00:01:30,979
相反，计算每个人生日不同的概率是更简单的。

25
00:01:31,389 --> 00:01:32,820
这对于问题有什么帮助呢？

26
00:01:32,820 --> 00:01:35,741
一组人中，要么有两人生日相同，要么没有，

27
00:01:35,741 --> 00:01:38,461
所以这两种情况的概率

28
00:01:38,461 --> 00:01:41,860
相加必然等于100%

29
00:01:41,860 --> 00:01:44,271
这意味着我们可以通过

30
00:01:44,271 --> 00:01:50,381
将无相同生日的概率从100%中减去
而得到有相同生日的概率。

31
00:01:50,381 --> 00:01:53,256
让我们先考虑简单情况。

32
00:01:53,806 --> 00:01:58,281
先从只有一对人拥有不同生日开始。

33
00:01:58,281 --> 00:02:00,632
假定对象A的生日是某天，

34
00:02:00,632 --> 00:02:06,022
那么对象B的生日就是其余364天之一。

35
00:02:06,022 --> 00:02:10,592
对象A和B或是任何两人生日不同的概率就是

36
00:02:10,592 --> 00:02:14,412
364/365，

37
00:02:14,412 --> 00:02:19,464
大约是99.7%，非常高的概率。

38
00:02:20,514 --> 00:02:22,562
我们再引入对象C。

39
00:02:22,562 --> 00:02:25,793
她和其他人生日都不同的概率

40
00:02:25,793 --> 00:02:29,532
是363/365，

41
00:02:29,532 --> 00:02:33,964
因为已经有两个日期被对象A和B占用。

42
00:02:33,964 --> 00:02:38,582
对象D不与他人生日相同的概率是362/365，

43
00:02:38,582 --> 00:02:44,474
以此类推，到对象W是概率为343/365。

44
00:02:44,474 --> 00:02:46,385
将这些数字相乘，

45
00:02:46,385 --> 00:02:50,942
就会得到没有人生日相同的概率。

46
00:02:50,942 --> 00:02:54,064
结果是0.4927，

47
00:02:54,064 --> 00:03:01,362
所以23人当中，大家生日都不同的概率是49.27%。

48
00:03:01,362 --> 00:03:05,955
再用100%减去这个数值，就得到50.73%，

49
00:03:05,955 --> 00:03:08,701
这就是至少有两个人生日相同的概率，

50
00:03:08,701 --> 00:03:11,955
已经超过了50%。

51
00:03:11,955 --> 00:03:16,144
在人数如此少的小组中出现高概率，

52
00:03:16,144 --> 00:03:20,325
其关键在于可能的组合数量巨大。

53
00:03:20,325 --> 00:03:26,017
随着人数增加，可能出现的组合数量会快速增加。

54
00:03:26,017 --> 00:03:29,196
5人当中就有10种不同的组合方式。

55
00:03:29,196 --> 00:03:32,905
五个人的任何一人都可以和其他四人构成组合。

56
00:03:32,905 --> 00:03:34,835
其中一半是重复计算，

57
00:03:34,835 --> 00:03:39,615
因为对象A+对象B的组合与对象B+对象A相同，

58
00:03:39,615 --> 00:03:41,685
所以我们将数字除以2。

59
00:03:41,685 --> 00:03:43,045
相同的道理，

60
00:03:43,045 --> 00:03:45,836
10个人当中就会出现45对组合，

61
00:03:45,836 --> 00:03:49,835
23人当中会有253对组合。

62
00:03:49,835 --> 00:03:52,905
组合的数量成倍增加，

63
00:03:52,905 --> 00:03:57,665
即以小组人数的基数的成比例增长。

64
00:03:57,665 --> 00:04:00,966
不幸的是，我们的大脑非常不擅长

65
00:04:00,966 --> 00:04:04,447
直接处理非线性函数。

66
00:04:04,447 --> 00:04:11,235
所以23人就有253种配对组合看上去是不可能的。

67
00:04:11,235 --> 00:04:15,267
一旦明白了这个道理，生日问题就变得合理了。

68
00:04:15,267 --> 00:04:20,135
253对组合中的人都能找到生日相同的另一半。

69
00:04:20,135 --> 00:04:22,897
同样的，在70个人构成的小组中，

70
00:04:22,897 --> 00:04:26,616
组合数量能达到2415个，

71
00:04:26,616 --> 00:04:33,337
两个人拥有相同生日的概率超过了99.9%。

72
00:04:33,337 --> 00:04:36,707
生日问题是一个很好的例子

73
00:04:36,707 --> 00:04:38,917
展示出数学可以解释看起来不可能的事情，

74
00:04:38,917 --> 00:04:41,410
例如同一个人中两次彩票，

75
00:04:41,410 --> 00:04:44,551
不是几乎不可能的。

76
00:04:44,551 --> 00:04:48,868
有时巧合并没有看上去那么巧。