设想有一组人。
当人数达到多少时，
其中两人生日相同的概率
会超过50%？
假设这人群中没有双胞胎，
所有人的生日概率都相等，
并且排除掉闰年的存在。
花一点时间想想。
所需要的人数其实是相当少的。
若一组有23个人，
那么两个人有相同生日的概率是50.73%。
但一年有365天这么多天，
为什么只需要这么少的人
就可以使其中两人生日相同？
为什么我们的直觉是如此错误的？
为了找到答案，
让我们看看数学家
是如何计算生日相同的概率的。
我们可以使用组合数学的分析方法，
它用来计算不同组合的概率。
首先我们需要转换问题，
直接计算生日相同的概率是很困难的，
因为二人相同的生日可能是在任一天。
相反，计算每个人生日不同的概率是更简单的。
这对于问题有什么帮助呢？
一组人中，要么有两人生日相同，要么没有，
所以这两种情况的概率
相加必然等于100%
这意味着我们可以通过
将无相同生日的概率从100%中减去 而得到有相同生日的概率。
让我们先考虑简单情况。
先从只有一对人拥有不同生日开始。
假定对象A的生日是某天，
那么对象B的生日就是其余364天之一。
对象A和B或是任何两人生日不同的概率就是
364/365，
大约是99.7%，非常高的概率。
我们再引入对象C。
她和其他人生日都不同的概率
是363/365，
因为已经有两个日期被对象A和B占用。
对象D不与他人生日相同的概率是362/365，
以此类推，到对象W是概率为343/365。
将这些数字相乘，
就会得到没有人生日相同的概率。
结果是0.4927，
所以23人当中，大家生日都不同的概率是49.27%。
再用100%减去这个数值，就得到50.73%，
这就是至少有两个人生日相同的概率，
已经超过了50%。
在人数如此少的小组中出现高概率，
其关键在于可能的组合数量巨大。
随着人数增加，可能出现的组合数量会快速增加。
5人当中就有10种不同的组合方式。
五个人的任何一人都可以和其他四人构成组合。
其中一半是重复计算，
因为对象A+对象B的组合与对象B+对象A相同，
所以我们将数字除以2。
相同的道理，
10个人当中就会出现45对组合，
23人当中会有253对组合。
组合的数量成倍增加，
即以小组人数的基数的成比例增长。
不幸的是，我们的大脑非常不擅长
直接处理非线性函数。
所以23人就有253种配对组合看上去是不可能的。
一旦明白了这个道理，生日问题就变得合理了。
253对组合中的人都能找到生日相同的另一半。
同样的，在70个人构成的小组中，
组合数量能达到2415个，
两个人拥有相同生日的概率超过了99.9%。
生日问题是一个很好的例子
展示出数学可以解释看起来不可能的事情，
例如同一个人中两次彩票，
不是几乎不可能的。
有时巧合并没有看上去那么巧。