Avaliem a vossa intuição: A questão do aniversário — David Knuffle

Vejam a lição completa: http://ed.ted.com/lessons/check-your-intuition-the-birthday-problem-david-knuffke

Imaginem um grupo de pessoas. Que tamanho teria de ter o grupo até haver mais de 50% de hipótese de duas pessoas desse grupo terem o mesmo aniversário? A resposta é... provavelmente menos do que imaginam. David Knuffle explica como este problema do aniversário revela a nossa intuição, muitas vezes pobre, no que diz respeito às probabilidades.

Lição de David Knuffle, animação de TED-Ed.

Imaginem um grupo de pessoas.

Que tamanho pensam vocês
que o grupo teria de ter

até haver mais de 50% de hipótese
de duas pessoas desse grupo

terem o mesmo aniversário?

Suponham que não há gémeos no grupo,

que todos os aniversários
são igualmente prováveis,

e ignorem os anos bissextos.

Pensem nisto por um momento.

A resposta pode parecer
surpreendentemente baixa.

Num grupo de 23 pessoas,

há a hipótese de 50,73% de duas pessoas
partilharem mesmo aniversário.

Mas com 365 dias num ano,

como é possível que precisemos
apenas de um grupo tão pequeno

para termos hipóteses iguais
de ter o mesmo aniversário?

Porque falha tanto a nossa intuição?

Para entender a resposta,

vamos ver como um matemático

pode calcular a probabilidade
de aniversários coincidentes.

Podemos usar um campo da matemática
conhecido como combinatória,

que lida com hipóteses
de diferentes combinações

O primeiro passo é inverter o problema.

Tentar calcular a probabilidade

de uma coincidência
diretamente pode ser difícil

uma vez que há muitas formas
de haver o mesmo aniversário num grupo.

Em vez disso, é mais fácil calcular
a probabilidade

de os aniversários serem todos diferentes

Como é que isso ajuda?

Ou há uma coincidência
no grupo ou não há,

a probabilidade de uma coincidência
e de não coincidência

têm de somar 100%.

Isto significa que temos
a probabilidade de coincidência

subtraindo a probabilidade
de não coincidência de 100%.

Para calcular a probabilidade
de não coincidência comece pequeno.

Calcule a probabilidade de um par
ter aniversários diferentes.

Um dia do ano será
o aniversário da pessoa A,

o que deixa 364 dias possíveis para serem
o aniversário da pessoa B.

A probabilidade de aniversários diferentes
para A e B ou qualquer outro par,

é de 364 em 365,

cerca de 0,997 ou 99,7%, muito alta.

Vejamos a pessoa C.

A probabilidade de ela ter um aniversário
único neste pequeno grupo

é de 363 em 365

uma vez que já estamos a contar
com os aniversários de A e B.

A probabilidade de D
será de 362 em 365 e por aí fora,

até chegarmos à probabilidade de W
que é de 343 em 365.

Multipliquem todos os termos,

e vão ter a probabilidade de ninguém
partilhar o aniversário.

O resultado é de 0,4927,

existe por isso 49,27%
de probabilidade de ninguém

no grupo de 23 pessoas partilhar
o mesmo aniversario.

Quando subtraímos esse valor de 100
ficamos com 50,73% de probabilidade

de haver pelo menos
um aniversário partilhado,

melhor que 50/50.

A chave para ter este resultado
num grupo relativamente pequeno

é o número surpreendente
alto de pares possíveis.

Á medida que o grupo cresce, o número
de combinações cresce rapidamente.

Um grupo de cinco pessoas
tem dez pares possíveis.

Cada pessoa do grupo pode fazer par
com qualquer uma das outras quatro.

Metade dessas combinações
são redundantes

o par da Pessoa A com a Pessoa B
é o mesmo da Pessoa B com a Pessoa A,

então dividimos por dois.

Pela mesma lógica,

um grupo de dez pessoas tem 45 pares,

e um grupo de 23 tem 253 pares.

O número de pares cresce ao quadrado,

ou seja, é proporcional ao quadrado
do número de pessoas no grupo.

Infelizmente, os nossos cérebros
são famosos

por serem maus a entender
intuitivamente funções não lineares.

Por isso parece improvável que 23 pessoas
possam ter 253 pares possíveis.

Assim que o nosso cérebro aceita isso,
a questão do aniversário faz mais sentido.

Cada um desses 253 pares é uma hipótese
de um aniversário igual.

Pela mesma razão
num grupo de 70 pessoas,

existem 2415 pares possíveis,

e a probabilidade de duas pessoas terem
o mesmo aniversário é de mais de 99,9%.

A questão do aniversário é apenas
um exemplo em que a matemática

nos mostra que coisas
que parecem impossíveis

como a mesma pessoa ganhar
a lotaria duas vezes,

na verdade não são improváveis.

Por vezes as coincidências não são
tão casuais como parecem.