Imaginem um grupo de pessoas.
Que tamanho pensam vocês que o grupo teria de ter
até haver mais de 50% de hipótese de duas pessoas desse grupo
terem o mesmo aniversário?
Suponham que não há gémeos no grupo,
que todos os aniversários são igualmente prováveis,
e ignorem os anos bissextos.
Pensem nisto por um momento.
A resposta pode parecer surpreendentemente baixa.
Num grupo de 23 pessoas,
há a hipótese de 50,73% de duas pessoas partilharem mesmo aniversário.
Mas com 365 dias num ano,
como é possível que precisemos apenas de um grupo tão pequeno
para termos hipóteses iguais de ter o mesmo aniversário?
Porque falha tanto a nossa intuição?
Para entender a resposta,
vamos ver como um matemático
pode calcular a probabilidade de aniversários coincidentes.
Podemos usar um campo da matemática conhecido como combinatória,
que lida com hipóteses de diferentes combinações
O primeiro passo é inverter o problema.
Tentar calcular a probabilidade
de uma coincidência diretamente pode ser difícil
uma vez que há muitas formas de haver o mesmo aniversário num grupo.
Em vez disso, é mais fácil calcular a probabilidade
de os aniversários serem todos diferentes
Como é que isso ajuda?
Ou há uma coincidência no grupo ou não há,
a probabilidade de uma coincidência e de não coincidência
têm de somar 100%.
Isto significa que temos a probabilidade de coincidência
subtraindo a probabilidade de não coincidência de 100%.
Para calcular a probabilidade de não coincidência comece pequeno.
Calcule a probabilidade de um par ter aniversários diferentes.
Um dia do ano será o aniversário da pessoa A,
o que deixa 364 dias possíveis para serem o aniversário da pessoa B.
A probabilidade de aniversários diferentes para A e B ou qualquer outro par,
é de 364 em 365,
cerca de 0,997 ou 99,7%, muito alta.
Vejamos a pessoa C.
A probabilidade de ela ter um aniversário único neste pequeno grupo
é de 363 em 365
uma vez que já estamos a contar com os aniversários de A e B.
A probabilidade de D será de 362 em 365 e por aí fora,
até chegarmos à probabilidade de W que é de 343 em 365.
Multipliquem todos os termos,
e vão ter a probabilidade de ninguém partilhar o aniversário.
O resultado é de 0,4927,
existe por isso 49,27% de probabilidade de ninguém
no grupo de 23 pessoas partilhar o mesmo aniversario.
Quando subtraímos esse valor de 100 ficamos com 50,73% de probabilidade
de haver pelo menos um aniversário partilhado,
melhor que 50/50.
A chave para ter este resultado num grupo relativamente pequeno
é o número surpreendente alto de pares possíveis.
Á medida que o grupo cresce, o número de combinações cresce rapidamente.
Um grupo de cinco pessoas tem dez pares possíveis.
Cada pessoa do grupo pode fazer par com qualquer uma das outras quatro.
Metade dessas combinações são redundantes
o par da Pessoa A com a Pessoa B é o mesmo da Pessoa B com a Pessoa A,
então dividimos por dois.
Pela mesma lógica,
um grupo de dez pessoas tem 45 pares,
e um grupo de 23 tem 253 pares.
O número de pares cresce ao quadrado,
ou seja, é proporcional ao quadrado do número de pessoas no grupo.
Infelizmente, os nossos cérebros são famosos
por serem maus a entender intuitivamente funções não lineares.
Por isso parece improvável que 23 pessoas possam ter 253 pares possíveis.
Assim que o nosso cérebro aceita isso, a questão do aniversário faz mais sentido.
Cada um desses 253 pares é uma hipótese de um aniversário igual.
Pela mesma razão num grupo de 70 pessoas,
existem 2415 pares possíveis,
e a probabilidade de duas pessoas terem o mesmo aniversário é de mais de 99,9%.
A questão do aniversário é apenas um exemplo em que a matemática
nos mostra que coisas que parecem impossíveis
como a mesma pessoa ganhar a lotaria duas vezes,
na verdade não são improváveis.
Por vezes as coincidências não são tão casuais como parecem.