Verifique sua intuição: O problema do aniversário - David Knuffke

Veja a lição completa: http://ed.ted.com/lessons/check-your-intuition-the-birthday-problem-david-knuffke

Imagine um grupo de pessoas. Quão grande você acha que o grupo teria que ser antes que haja mais de 50% de chances que duas pessoas no grupo façam aniversário no mesmo dia? A resposta é...provavelmente menor do que você imagina.
David Knuffe explica por que o problema do aniversário expõe nossa intuição frequentemente precária, quando falamos de probabilidade.

Lição de David Knuffke; animação de TED-Ed.

Imagine um grupo de pessoas.

Quão grande você acha
que o grupo teria que ser

antes que houvesse mais de 50% de chances
de que duas pessoas no grupo

fizessem aniversário no mesmo dia?

Considere, para fins argumentativos,
não haver gêmeos,

que cada aniversário
é igualmente provável,

e ignore anos bissextos.

Pense um pouco sobre isso.

A resposta pode parecer
surpreendentemente baixa.

Em um grupo de 23 pessoas,

há uma chance de 50,73%, que duas
pessoas façam aniversário no mesmo dia.

Mas com 365 dias no ano,

como é possível que você precise
de um grupo tão pequeno

para ter as mesmas chances
de coincidir um aniversário?

Por que nossa intuição é tão errada?

Para sabermos a resposta,

analisemos como um matemático

calcularia as probabilidades
de um aniversário coincidente.

Podemos usar um campo da matemática
chamado análise combinatória,

que trata das possibilidades
das diferentes combinações.

O primeiro passo é reverter o problema.

Tentando calcular as chances de uma
coincidência diretamente é desafiador,

pois há muitas maneiras de se achar
um aniversário coincidente num grupo.

Em vez disso,

é mais fácil calcular as chances
de cada um ter uma data diferente.

Como isso ajuda?

Ou há um aniversário coincidente
no grupo, ou não,

então, as chances
de uma coincidência ou não,

devem totalizar 100%.

Então, pode-se achar
a probabilidade coincidente,

subtraindo-se de 100 a probabilidade
de não-coincidência.

Para calcular as não-coincidências,
comece pequeno.

Calcule as chances de apenas
um pareamento ter aniversário diferente.

Um dia no ano será
o aniversário da pessoa A,

o que deixa apenas 364 possibilidades
para a pessoa B.

A probabilidade de diferentes aniversários
para A e B, ou qualquer pareamento,

é 364 de 365,

aproximadamente 0,997,
ou 99,7%, o que é alto.

Incluamos a pessoa C.

A probabilidade de que ela tenha
um aniversário exclusivo nesse grupo,

é 363 de 365,

pois há duas datas de aniversário
já consideradas para A e B.

As chances de D serão 362 de 365,
e assim por diante,

até chegar às chances de W de 343 de 365.

Multiplique todos esses termos
e você chegará à probabilidade

de que ninguém compartilhe
o mesmo aniversário.

O resultado chega a 0,4927,

assim, há 49,27% de chances nesse grupo,
de ninguém ter o mesmo dia de aniversário.

Quando subtraímos isso de 100,
chegamos a uma chance de 50,73%,

de que pelo menos um aniversário coincida,

o que é maior do que a chance
de não-coincidência.

A razão dessa alta probabilidade de
coincidência num grupo um tanto pequeno,

é o surpreendentemente número
elevado de pareamentos possíveis.

Conforme um grupo cresce, as possíveis
combinações aumentam muito rapidamente.

Um grupo de cinco pessoas
tem dez possíveis pareamentos.

Cada uma das cinco pessoas pode ser
pareada com qualquer uma das quatro.

Metade dessas combinações são redundantes,

pois pareando pessoa A com pessoa B
é o mesmo que parear B com A,

então, dividimos por dois.

Usando o mesmo raciocínio,

um grupo de dez pessoas tem 45 pares,

e um grupo de 23 tem 253.

O número de pareamentos
cresce de forma quadrática,

isso que dizer, que é proporcional
ao número de pessoas no grupo ao quadrado.

Infelizmente, nossos cérebros
são notavelmente ruins

no conceito intuitivo
de funções não lineares.

Assim, parece improvável, a princípio,

que 23 pessoas produzam
253 pares possíveis.

Uma vez que nossa cérebro aceita isso,

o problema do aniversário
faz mais sentido.

Cada um desses 253 pares é uma chance
de um aniversário coincidente.

Por esse mesmo motivo,
num grupo de 70 pessoas,

há 2,415 possíveis pareamentos

e a probabilidade de duas pessoas fazerem
aniversário no mesmo dia é mais de 99,9%.

O problema do aniversário é apenas
um exemplo no qual a matemática

mostra que coisas que parecem impossíveis,

como a mesma pessoa ganhar
na loteria duas vezes,

não é, na verdade,
nem um pouco improvável.

Às vezes, coincidências não são
tão por acaso como parecem.