Imagine um grupo de pessoas.
Quão grande você acha que o grupo teria que ser
antes que houvesse mais de 50% de chances de que duas pessoas no grupo
fizessem aniversário no mesmo dia?
Considere, para fins argumentativos, não haver gêmeos,
que cada aniversário é igualmente provável,
e ignore anos bissextos.
Pense um pouco sobre isso.
A resposta pode parecer surpreendentemente baixa.
Em um grupo de 23 pessoas,
há uma chance de 50,73%, que duas pessoas façam aniversário no mesmo dia.
Mas com 365 dias no ano,
como é possível que você precise de um grupo tão pequeno
para ter as mesmas chances de coincidir um aniversário?
Por que nossa intuição é tão errada?
Para sabermos a resposta,
analisemos como um matemático
calcularia as probabilidades de um aniversário coincidente.
Podemos usar um campo da matemática chamado análise combinatória,
que trata das possibilidades das diferentes combinações.
O primeiro passo é reverter o problema.
Tentando calcular as chances de uma coincidência diretamente é desafiador,
pois há muitas maneiras de se achar um aniversário coincidente num grupo.
Em vez disso,
é mais fácil calcular as chances de cada um ter uma data diferente.
Como isso ajuda?
Ou há um aniversário coincidente no grupo, ou não,
então, as chances de uma coincidência ou não,
devem totalizar 100%.
Então, pode-se achar a probabilidade coincidente,
subtraindo-se de 100 a probabilidade de não-coincidência.
Para calcular as não-coincidências, comece pequeno.
Calcule as chances de apenas um pareamento ter aniversário diferente.
Um dia no ano será o aniversário da pessoa A,
o que deixa apenas 364 possibilidades para a pessoa B.
A probabilidade de diferentes aniversários para A e B, ou qualquer pareamento,
é 364 de 365,
aproximadamente 0,997, ou 99,7%, o que é alto.
Incluamos a pessoa C.
A probabilidade de que ela tenha um aniversário exclusivo nesse grupo,
é 363 de 365,
pois há duas datas de aniversário já consideradas para A e B.
As chances de D serão 362 de 365, e assim por diante,
até chegar às chances de W de 343 de 365.
Multiplique todos esses termos e você chegará à probabilidade
de que ninguém compartilhe o mesmo aniversário.
O resultado chega a 0,4927,
assim, há 49,27% de chances nesse grupo, de ninguém ter o mesmo dia de aniversário.
Quando subtraímos isso de 100, chegamos a uma chance de 50,73%,
de que pelo menos um aniversário coincida,
o que é maior do que a chance de não-coincidência.
A razão dessa alta probabilidade de coincidência num grupo um tanto pequeno,
é o surpreendentemente número elevado de pareamentos possíveis.
Conforme um grupo cresce, as possíveis combinações aumentam muito rapidamente.
Um grupo de cinco pessoas tem dez possíveis pareamentos.
Cada uma das cinco pessoas pode ser pareada com qualquer uma das quatro.
Metade dessas combinações são redundantes,
pois pareando pessoa A com pessoa B é o mesmo que parear B com A,
então, dividimos por dois.
Usando o mesmo raciocínio,
um grupo de dez pessoas tem 45 pares,
e um grupo de 23 tem 253.
O número de pareamentos cresce de forma quadrática,
isso que dizer, que é proporcional ao número de pessoas no grupo ao quadrado.
Infelizmente, nossos cérebros são notavelmente ruins
no conceito intuitivo de funções não lineares.
Assim, parece improvável, a princípio,
que 23 pessoas produzam 253 pares possíveis.
Uma vez que nossa cérebro aceita isso,
o problema do aniversário faz mais sentido.
Cada um desses 253 pares é uma chance de um aniversário coincidente.
Por esse mesmo motivo, num grupo de 70 pessoas,
há 2,415 possíveis pareamentos
e a probabilidade de duas pessoas fazerem aniversário no mesmo dia é mais de 99,9%.
O problema do aniversário é apenas um exemplo no qual a matemática
mostra que coisas que parecem impossíveis,
como a mesma pessoa ganhar na loteria duas vezes,
não é, na verdade, nem um pouco improvável.
Às vezes, coincidências não são tão por acaso como parecem.