Cos'è un vettore? - David Huynh

Vedi la lezione completa: http://ed.ted.com/lessons/what-is-a-vector-david-huynh

I fisici, i controllori del traffico aereo e gli sviluppatori di videogiochi hanno almeno una cosa in comune: i vettori. Ma cosa sono esattamente, e perché sono importanti? David Huynh spiega come i vettori costituiscano un ottimo esempio dell'eleganza, della bellezza e della fondamentale utilità della matematica.

Lezione di David Huynh, animazione di Anton Trofimov.

I fisici,

i controllori del traffico aereo

e gli sviluppatori di videogiochi

hanno tutti almeno una cosa in comune:

i vettori.

Cosa sono esattamente,
e perché sono importanti?

Per rispondere, dobbiamo prima capire
le grandezze scalari.

Gli scalari sono delle quantità
con un valore.

Misurano la quantità di qualcosa.

La distanza tra te e una panchina

e il volume e la temperatura
della bevanda nella tua tazza

sono misurati da scalari.

Anche le grandezze vettoriali hanno
un valore,

a cui si aggiunge un altro elemento:
la direzione.

Per andare verso la panchina,

devi sapere quanto è lontana
e in quale direzione,

non solo la distanza,
ma lo spostamento.

Ciò che rende i vettori speciali
e utili in qualsiasi campo

è che non variano in base alla prospettiva

ma sono invarianti rispetto
al sistema di riferimento.

Cosa significa?

Supponiamo che tu stia spostando
una tenda con un amico.

Siete uno di fronte all'altro e quindi
rivolti verso direzioni opposte.

Il tuo amico si sposta di due passi
verso destra e tre in avanti

mentre tu di due passi
verso sinistra e tre indietro.

Ma, anche se sembra
che vi stiate muovendo diversamente,

alla fine percorrete la stessa distanza
nella stessa direzione,

seguendo lo stesso vettore.

A prescindere dalla direzione
in cui siete rivolti

o dal sistema di riferimento
usato per lo spazio,

il vettore non cambia.

Usiamo il noto piano cartesiano
di coordinate

con gli assi x e y.

Queste due direzioni
vengono definite "coordinate base"

perché vengono usate per descrivere
qualsiasi cosa rappresentiamo.

Supponiamo che la tenda parta
dall'origine e arrivi al punto B.

La freccia rettilinea
che connette i due punti

è il vettore che va dall'origine a B.

Quando il tuo amico pensa
al movimento che deve fare,

esso può essere trascritto
matematicamente come 2x + 3y,

o così, con una matrice.

Visto che tu sei rivolto
verso il lato opposto,

la tua base è rivolta
verso direzioni opposte,

che possiamo chiamare x' primo e y',

e il tuo movimento
può essere descritto così,

o con questa matrice.

Se osserviamo le due matrici,
ovviamente non sono identiche,

ma una matrice da sola non descrive
completamente un vettore.

Ogni matrice ha bisogno di una base
per essere contestualizzata,

e quando le associamo correttamente

vediamo che, in realtà,
descrivono lo stesso vettore.

Possiamo pensare agli elementi
della matrice come se fossero lettere:

proprio come una sequenza
di lettere diventa una parola

solo nel contesto di una lingua precisa,

una matrice ha senso come vettore
quando associata a una base.

Proprio come parole diverse in due lingue
possono trasmettere la stessa idea,

rappresentazioni differenti in due basi
possono riferirsi allo stesso vettore.

Il vettore è la parte fondamentale
della comunicazione,

a prescindere dal linguaggio
usato per rappresentarlo.

Anche gli scalari condividono
questa proprietà di invarianza.

Di fatto, qualsiasi grandezza possieda
questa proprietà viene definita tensore.

Tipi diversi di tensori contengono
quantità diverse di informazioni.

Quindi c'è qualcosa
con più informazioni di un vettore?

Certamente.

Supponiamo che tu stia
sviluppando un videogioco

e che tu voglia rendere realistico
il movimento dell'acqua.

Anche se le forze sono esercitate
nella stessa direzione

con lo stesso valore,

potresti vedere onde o mulinelli
a seconda della loro orientazione.

Quando la forza, un vettore, è
combinata con un altro vettore orientato,

abbiamo una quantità fisica
chiamata sforzo,

che è un esempio di tensore di ordine 2.

I tensori, oltre che per i videogiochi,
sono usati per qualsiasi tipo di scopo,

tra cui simulazioni scientifiche,

progettazione di auto

e visione dell’attività cerebrale.

Scalari, vettori e tensori ci forniscono
un modo relativamente semplice

di capire idee complesse e interazioni,

e ciò li rende un ottimo esempio
dell'eleganza, della bellezza

e della fondamentale utilità
della matematica.